Четырехугольником называется многоугольник с четырьми сторонами и четырьмя вершинами (углами).

Виды четырехугольников Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Сумма углов произвольного четырехугольника составляет \(360^\circ\): \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)

Периметр четырехугольника \(P = a + b + c + d\)

Площадь четырехугольника \(S = \large\frac{1}{2}\normalsize{d_1}{d_1}\sin \varphi \), где \({d_1}\) и \({d_2}\) − диагонали четырехугольника, а \(\varphi\) − угол между ними.

Если суммы противоположных углов четырехугольника равны (и составляют \(180^\circ\)), то вокруг него можно описать окружность: \(\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180^\circ\)

Теорема Птолемея В четырехугольнике с описанной окружностью сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей: \(ac + bd = {d_1}{d_2}\)

Радиус описанной окружности \(R = \large\frac{1}{4}\normalsize\sqrt {\large\frac{{\left( {ac + bd} \right)\left( {ad + bc} \right)\left( {ab + cd} \right)}}{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\left( {p - d} \right)}}\normalsize} \), где \(p = \large\frac{P}{2}\normalsize\) − полупериметр четырехугольника.

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность: \(a + d = b + c\)

Радиус вписанной окружности \(r = \large\frac{{\sqrt {d_1^2d_2^2 - {{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {a + b - p} \right)}^2}} }}{{2p}}\normalsize\), где \(p = \large\frac{P}{2}\normalsize\) − полупериметр четырехугольника.