Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами \(n\)-го порядка записывается в виде \[ {\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {x'_i} } = {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{x_j}\left( t \right)} + {f_i}\left( t \right),}\;\; {i = 1,2, \ldots ,n,} \] где \({x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right), \ldots ,{x_n}\left( t \right)\) − неизвестные функции переменной \(t,\) которая часто имеет смысл времени, \({a_{ij}}\) − заданные постоянные коэффициенты, которые могут быть как действительными, так и комплексными, \({f_i}\left( t \right)\) − заданные (в общем случае комплексные) функции переменной \(t.\) Будем считать, что все указанные функции являются непрерывными на некотором интервале \(\left[ {a,b} \right]\) действительной числовой оси \(t.\) Полагая \[ {X\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {X'\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x'_1}\left( t \right)}\\ {{x'_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x'_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {f\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( t \right)}\\ {{f_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right),} \] систему дифференциальных уравнений можно переписать в матричной форме: \[X'\left( t \right) = AX\left( t \right) + f\left( t \right).\] Если вектор \(f\left( t \right)\) тождественно равен нулю: \(f\left( t \right) \equiv 0,\) то система называется однородной: \[X'\left( t \right) = AX\left( t \right).\] Однородные системы уравнений с постоянными коэффициентами можно решать различными способами. Чаще всего используются следующие методы решений: Ниже на данной странице мы обсудим детально метод исключения. Другие способы решения систем уравнений рассматриваются отдельно на соответствующих страницах.
Метод исключения
Используя метод исключения, нормальную линейную систему \(n\) уравнений можно привести к одному линейному уравнению \(n\)-го порядка. Этот метод удобно использовать для решения простых систем − прежде всего, для систем \(2\)-го порядка. Рассмотрим однородную систему двух уравнений с постоянными коэффициентами: \[\left\{ \begin{array}{l} {x'_1} = {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2}\\ {x'_2} = {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} \end{array} \right.,\] где функции \({x_1},{x_2}\) зависят от переменной \(t.\) Продифференцируем первое уравнение и подставим производную \({x'_2}\) из второго уравнения: \[ {{x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{x'_2},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}\left( {{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{a_{12}}{x_2}.} \] Из первого уравнения подставим \({a_{12}}{x_2}.\) Получаем линейное однородное уравнение \(2\)-го порядка: \[ {{x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}\left( {{x'_1} - {a_{11}}{x_1}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = {a_{11}}{x'_1} + {a_{12}}{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x'_1} - {a_{11}}{a_{22}}{x_1},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} - \left( {{a_{11}} + {a_{22}}} \right){x'_1} + \left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right){x_1} = 0.} \] Его решение легко построить, если известны корни характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^2} - \left( {{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + \left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow D = {\left( {{a_{11}} + {a_{22}}} \right)^2} - 4\left( {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}} \right) } ={ {\left( {{a_{11}} - {a_{22}}} \right)^2} + 4{a_{12}}{a_{21}},}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \frac{{{a_{11}} + {a_{22}} \pm \sqrt {{{\left( {{a_{11}} - {a_{22}}} \right)}^2} + 4{a_{12}}{a_{21}}} }}{2}.} \] В случае действительных коэффициентов \({a_{ij}}\) корни могут быть как действительными (различными или кратными), так и комплексными. В частности, если коэффициенты \({a_{12}}\) и \({a_{21}}\) одного знака, то дискриминант характеристического уравнения всегда будет положительным и, соответственно, корни будут действительными и различными. После определения функции \({x_1}\left( t \right)\) другую функцию \({x_2}\left( t \right)\) можно найти из первого уравнения системы. Метод исключения можно применять не только к однородным линейным системам. Его можно использовать также для решения неоднородных систем дифференциальных уравнений или систем уравнений с переменными коэффициентами.
Пример 1
Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения: \[{x'_1} = 2{x_1} + 3{x_2},\;\;\;{x'_2} = 4{x_1} - 2{x_2}.\]
Решение.
Продифференцируем первое уравнение, затем подставим производную \({x'_2}\) из второго уравнения: \[ {{x''_1} = 2{x'_1} + 3{x'_2},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = 2{x'_1} + 3\left( {4{x_1} - 2{x_2}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = 2{x'_1} + 12{x_1} - 6{x_2}.} \] Из первого уравнения системы выразим \(3{x_2}:\) \[3{x_2} = {x'_1} - 2{x_1}.\] Подставляя это в последнее уравнение, получаем: \[\require{cancel} {{x''_1} = 2{x'_1} + 12{x_1} - 2\left( {{x'_1} - 2{x_1}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = \cancel{2{x'_1}} + 12{x_1} - \cancel{2{x'_1}} + 4{x_1},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} - 16{x_1} = 0.} \] Найдем корни соответствующего характеристического уравнения: \[{\lambda ^2} - 16 = 0,\;\; \Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \pm 4.\] Следовательно, общее решение уравнения \(2\)-го порядка для переменной \({x_1}\) имеет вид: \[{x_1}\left( t \right) = {C_1}{e^{4t}} + {C_2}{e^{ - 4t}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные. Теперь вычислим производную \({x'_1}\) и подставим выражения для \({x_1},\) \({x'_1}\) в первое уравнение исходной системы: \[ {{x'_1}\left( t \right) = 4{C_1}{e^{4t}} - 4{C_2}{e^{ - 4t}},}\;\; {\Rightarrow 4{C_1}{e^{4t}} - 4{C_2}{e^{ - 4t}} = 2{C_1}{e^{4t}} + 2{C_2}{e^{ - 4t}} + 3{x_2},}\;\; {\Rightarrow 3{x_2} = 2{C_1}{e^{4t}} - 6{C_2}{e^{ - 4t}},}\;\; {\Rightarrow {x_2} = \frac{2}{3}{C_1}{e^{4t}} - 2{C_2}{e^{ - 4t}}.} \] Чтобы оставить целочисленные коэффициенты, удобно переобозначить: \({C_1} \to 3{C_1}.\) В результате получаем окончательное решение в следующем виде: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1}\left( t \right) = 3{C_1}{e^{4t}} + {C_2}{e^{ - 4t}}\\ {x_2}\left( t \right) = 2{C_1}{e^{4t}} - 2{C_2}{e^{ - 4t}} \end{array} \right..\]
Пример 2
Решить систему уравнений методом исключения: \[x' = 6x - y,\;\;\;y' = x + 4y.\]
Решение.
Приведем данную систему к одному уравнению \(2\)-го порядка для функции \(x\left( t \right).\) Дифференцируя первое уравнение и подставляя \(y'\) из второго уравнения, имеем: \[ {x'' = 6x' - y',}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - \left( {x + 4y} \right),}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - x - 4y.} \] Переменную \(y\) выразим через \(x\) и \(x'\) из первого уравнения системы: \[ {y = 6x - x',}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - x - 4\left( {6x - x'} \right),}\;\; {\Rightarrow x'' = 6x' - x - 24x + 4x',}\;\; {\Rightarrow x'' - 10x' + 25x = 0.} \] Вычислим корни характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^2} - 10\lambda + 25 = 0,\;\;\;D = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 5.} \] Итак, мы имеем один корень \(\lambda = 5\) кратности \(2.\) Следовательно, общее решение для функции \(x\left( t \right)\) записывается в виде: \[x\left( t \right) = \left( {{C_1} + {C_2}t} \right){e^{5t}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные числа. Найдем производную \(x'\left( t \right)\) и после подстановки в первое уравнение исходной системы определим функцию\(y\left( t \right):\) \[ {x'\left( t \right) = {C_2}{e^{5t}} + \left( {5{C_1} + 5{C_2}t} \right){e^{5t}} } = {\left( {5{C_1} + {C_2} + 5{C_2}t} \right){e^{5t}},}\;\; {\Rightarrow \left( {5{C_1} + {C_2} + 5{C_2}t} \right){e^{5t}} = \left( {6{C_1} + 6{C_2}t} \right){e^{5t}} - y,}\;\; {\Rightarrow y = \left( {{C_1} - {C_2} + {C_2}t} \right){e^{5t}}.} \] Таким образом, общее решение системы записывается как \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = \left( {{C_1} + {C_2}t} \right){e^{5t}}\\ y\left( t \right) = \left( {{C_1} - {C_2} + {C_2}t} \right){e^{5t}} \end{array} \right..\]
Пример 3
Найти общее решение системы уравнений \[{x'_1} = 5{x_1} + 2{x_2},\;\;\;{x'_2} = - 4{x_1} + {x_2}.\]
Решение.
Дифференцируя первое уравнение, получаем: \[{x''_1} = 5{x'_1} + 2{x'_2}.\] Подставим производную \({x'_2}\) из второго уравнения: \[ {{x''_1} = 5{x'_1} + 2\left( { - 4{x_1} + {x_2}} \right),}\;\; {\Rightarrow {x''_1} = 5{x'_1} - 8{x_1} + 2{x_2}.} \] Из первого уравнения выразим \(2{x_2}\) через \({x_1}:\) \[ {{x''_1} = 5{x'_1} - 8{x_1} + {x'_1} - 5{x_1},}\;\; {\Rightarrow {x''_1} - 6{x'_1} + 13{x_1} = 0.} \] Мы получили однородное уравнение \(2\)-го порядка с постоянными коэффициентами. Как обычно, строим общее решение с помощью характеристического уравнения: \[ {{\lambda ^2} - 6\lambda + 13 = 0,\;\;D = 36 - 52 = - 16,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \frac{{6 \pm \sqrt { - 16} }}{2} } = {\frac{{6 \pm 4i}}{2} = 3 \pm 2i.} \] Как видно, характеристическое уравнение имеет корни в виде пары комплексно-сопряженных чисел. Общее решение для функции \({x_1}\left( t \right)\) записывается как \[{x_1}\left( t \right) = {e^{3t}}\left( {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right),\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные. Найдем теперь другую функцию \({x_1}\left( t \right).\) Производная \({x'_1}\) равна: \[ {{x'_1}\left( t \right) = 3{e^{3t}}\left( {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right) } + {{e^{3t}}\left( { - 2{C_1}\sin 2t + 2{C_2}\cos 2t} \right) } = {{e^{3t}}\left[ {\left( {3{C_1} + 2{C_2}} \right)\cos 2t + \left( {3{C_2} - 2{C_1}} \right)\sin 2t} \right].} \] Подставляя \({x_1}\) и \({x'_1}\) в первое уравнение системы, получаем: \[ {{e^{3t}}\left[ {\left( {3{C_1} + 2{C_2}} \right)\cos 2t + \left( {3{C_2} - 2{C_1}} \right)\sin 2t} \right] } = {5{e^{3t}}\left( {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right) + 2{x_2},}\;\; {\Rightarrow 2{x_2} = {e^{3t}}\left[ {\left( {2{C_2} - 2{C_1}} \right)\cos 2t - \left( {2{C_2} + 2{C_1}} \right)\sin 2t} \right],}\;\; {\Rightarrow {x_2} = {e^{3t}}\left[ {\left( {{C_2} - {C_1}} \right)\cos 2t - \left( {{C_2} + {C_1}} \right)\sin 2t} \right].} \] Итак, общее решение системы имеет вид: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1}\left( t \right) = {e^{3t}}\left[ {{C_1}\cos 2t + {C_2}\sin 2t} \right]\\ {x_2}\left( t \right) = {e^{3t}}\left[ {\left( {{C_2} - {C_1}} \right)\cos 2t - \left( {{C_2} + {C_1}} \right)\sin 2t} \right] \end{array} \right..\]