Построение общего решения системы уравнений с помощью жордановой формы
Снова рассмотрим линейную однородную систему \(n\) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
\[\mathbf{X}'\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right),\]
где
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( t \right)}\\
{{x_2}\left( t \right)}\\
\vdots \\
{{x_n}\left( t \right)}
\end{array}} \right),}\;\;
{A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right).}
\]
Фундаментальная система решений такой системы должна включать в себя \(n\) линейно-независимых функций. При построении
решения с использованием метода собственных значений и собственных векторов
часто оказывается, что число собственных векторов меньше \(n,\) т.е. для таких систем не существует базиса, состоящего лишь из собственных векторов. В этом случае решение
можно искать, например, методом неопределенных коэффициентов.
Однако существует более общий и элегантный способ построения общего решения. Он основан на том факте, что любую квадратную матрицу можно привести к так называемой
жордановой нормальной форме (строго говоря, это справедливо над полем комплексных чисел). Зная жорданову форму матрицы и
жорданов базис, можно составить общее решение системы уравнений.
Рассмотрим эту технику решения более подробно. Предварительно введем некоторые базовые определения.
Теперь обсудим, как можно вычислить собственные и присоединенные векторы в указанных случаях и построить общее решение.
Жорданова форма матрицы
Жорданову форму можно рассматривать как обобщение квадратной диагональной матрицы. На ее диагонали размещаются т.н. жордановы клетки,
соответствующие собственным значениям \({\lambda _i}\) исходной матрицы. Собственные числа \({\lambda _i}\) могут быть равными в различных клетках. Структура жордановой матрицы может выглядеть, например, так:
\[
J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}& \color{blue}{1}&{0}&{0}&{0}&{0}\\
\color{blue}{0}&\color{blue}{{\lambda _1}}&{0}&{0}& 0 &{0}\\
{0}&{0}&\color{red}{{\lambda _2}}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&\color{Green}{{\lambda _3}}&\color{Green}1&\color{Green}0\\
{0}& 0 &{0}&\color{Green}0&\color{Green}{{\lambda _3}}&\color{Green}1\\
{0}&{0}&{0}&\color{Green}0&\color{Green}0&\color{Green}{{\lambda _3}}
\end{array}} \right),
\]
где разным цветом выделены элементы матрицы, соответствующие трем различным жордановым клеткам.
Сами собственные значения матрицы \({\lambda _i}\) находятся на главной диагонали, причем каждое
собственное число \({\lambda _i}\) встречается столько раз, какова его
алгебраическая кратность \({k_i}.\) В каждой клетке размером более \(1\) имеется
параллельный ряд над главной диагональю, состоящий из единиц. Все остальные элементы жордановой матрицы равны нулю. Порядок
расположения жордановых клеток в матрице определен неоднозначно.
Присоединенные векторы и жордановы цепочки
Рассмотрим жорданову клетку размером \(k\) с собственным значением \({\lambda}.\) Такой клетке соответствует \(k\) базисных векторов
\({\mathbf{V}_1},{\mathbf{V}_2}, \ldots ,{\mathbf{V}_k}.\) Вектор \({\mathbf{V}_1}\;\left( {{\mathbf{V}_1} \ne 0} \right)\)
среди них является собственным и удовлетворяет уравнению
\[A{\mathbf{V}_1} = \lambda {\mathbf{V}_1},\;\; \Rightarrow \left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\]
Вектор \({\mathbf{V}_2}\;\left( {{\mathbf{V}_2} \ne 0} \right)\) определяется из уравнения
\[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}\]
и называется присоединенным вектором первого порядка. Аналогично находятся другие
присоединенные векторы более высокого порядка:
\[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_3} = {\mathbf{V}_2},\]
\[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]
\[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_k} = {\mathbf{V}_{k-1}}.\]
Заметим, что из соотношений
\[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}\;\;\text{и}\;\;\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}\]
следует, что
\[{\left( {A - \lambda I} \right)^2}{\mathbf{V}_2} = \mathbf{0}.\]
Для присоединенного вектора \({\mathbf{V}_k}\) порядка \(k\) будет справедливо равенство
\[{\left( {A - \lambda I} \right)^k}{\mathbf{V}_k} = \mathbf{0}.\]
Цепочка векторов
\({\mathbf{V}_1},{\mathbf{V}_2}, \ldots ,{\mathbf{V}_k},\) состоящая из собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) и присоединенных векторов
\({\mathbf{V}_2}, \ldots ,{\mathbf{V}_k},\) является линейно-независимой и называется жордановой цепочкой.
Каждой жордановой цепочке длины \(k\) соответствует \(k\) линейно-независимых решений однородной системы в виде
\[{\mathbf{X}_1} = {e^{\lambda t}}{\mathbf{V}_1},\]
\[{\mathbf{X}_2} = {e^{\lambda t}}\left( {\frac{t}{{1!}}{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right),\]
\[{\mathbf{X}_3} = {e^{\lambda t}}\left( {\frac{{{t^2}}}{{2!}}{\mathbf{V}_1} + \frac{t}{{1!}}{\mathbf{V}_2} + {\mathbf{V}_3}} \right),\]
\[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]
\[{\mathbf{X}_k} = {e^{\lambda t}}\left( {\frac{{{t^{k - 1}}}}{{\left( {k - 1} \right)!}}{\mathbf{V}_1} + \cdots + \frac{t}{{1!}}{\mathbf{V}_{k - 1}} + {\mathbf{V}_k}} \right).\]
Полное число всех решений равно сумме длин жордановых цепочек для всех клеток, т.е. равно размеру матрицы \(n.\)
Совокупность таких линейно-независимых векторных функций составляет фундаментальную систему решений.
Общее решение системы для матриц \(2 \times 2\) и \(3 \times 3\)
На практике наиболее часто встречаются системы дифференциальных уравнений \(2\)-го и \(3\)-го порядка. Рассмотрим все случаи жордановых форм, которые могут встретиться в таких системах,
и соответствующие им формулы общего решения. Всего существует \(8\) различных случаев (\(3\) для матрицы \(2 \times 2\) и \(5\) для матрицы \(3 \times 3\)). Данную классификацию удобно проиллюстрировать
следующей таблицей:
\(\text{#}\)
\(\text{Размер}\\\text{матрицы}\)
\(\text{Характеристический}\\\text{многочлен}\)
\(\text{Алгебраическая }\left( {k} \right)\\ \text{и геометрическая }\left( {s} \right) \\ \text{кратность}\)
\(\text{Жорданова}\\\text{форма}\)
\(1\)
\(n = 2\)
\({\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)}\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 1}&{{s_1} = 1}\\
\hline
{{\lambda _2}}&{{k_2} = 1}&{{s_2} = 1}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&0\\
0&\color{red}{{\lambda _2}}
\end{array}} \right)\)
\(2\)
\(n = 2\)
\({\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^2}\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 2}&{{s_1} = 2}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&0\\
0&\color{red}{{\lambda _1}}
\end{array}} \right)\)
\(3\)
\(n = 2\)
\({\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^2}\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 2}&{{s_1} = 1}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&\color{blue}1\\
\color{blue}0&\color{blue}{{\lambda _1}}
\end{array}} \right)\)
\(4\)
\(n = 3\)
\({-\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)\left( {\lambda - {\lambda _3}} \right)}\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 1}&{{s_1} = 1}\\
\hline
{{\lambda _2}}&{{k_2} = 1}&{{s_2} = 1}\\
\hline
{{\lambda _3}}&{{k_3} = 1}&{{s_3} = 1}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&0&0\\
0&\color{red}{{\lambda _2}}&0\\
0&0&\color{green}{{\lambda _3}}
\end{array}} \right)\)
\(5\)
\(n = 3\)
\( - {\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^2}\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 2}&{{s_1} = 2}\\
\hline
{{\lambda _2}}&{{k_2} = 1}&{{s_2} = 1}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&0&0\\
0&\color{red}{{\lambda _1}}&0\\
0&0&\color{green}{{\lambda _2}}
\end{array}} \right)\)
\(6\)
\(n = 3\)
\( - {\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^2}\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 2}&{{s_1} = 1}\\
\hline
{{\lambda _2}}&{{k_2} = 1}&{{s_2} = 1}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&\color{blue}1&0\\
\color{blue}0&\color{blue}{{\lambda _1}}&0\\
0&0&\color{red}{{\lambda _2}}
\end{array}} \right)\)
\(7\)
\(n = 3\)
\({-\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^3}\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 3}&{{s_1} = 2}
\end{array}}
\)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{{\lambda _1}}&\color{blue}1&0\\
\color{blue}0&\color{blue}{{\lambda _1}}&0\\
0&0&\color{red}{{\lambda _1}}
\end{array}} \right)\)
\(8\)
\(n = 3\)
\({-\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^3}\)
\(
{\begin{array}{*{20}{c|c|c}}
{{\lambda _1}}&{{k_1} = 3}&{{s_1} = 1}
\end{array}}
\)
\(\left( \color{blue}{\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&1&0\\
0&{{\lambda _1}}&1\\
0&0&{{\lambda _1}}
\end{array}} \right)\)
Случай \(1.\) Матрица \(2 \times 2.\) Два различных собственных значения \({\lambda _1},{\lambda _2}\)
В этом случае жорданова форма имеет обычный диагональный вид. Каждому собственному значению \({\lambda _i}\) соответствует
один собственный вектор \({\mathbf{V}_i},\) который находится из матричного уравнения
\[\left( {A - {\lambda _i}I} \right){\mathbf{V}_i} = \mathbf{0}.\]
Общее решение выражается формулой
\[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2}.\]
Случай \(2.\) Матрица \(2 \times 2.\) Одно собственное значение \({\lambda _1}\left( {{k_1} = 2,{s_1} = 2} \right)\)
Данная матрица имеет единственное собственное значение кратностью \(2.\) Ранг матрицы при этом значении \({\lambda _1}\) равен 0. Поэтому
геометрическая кратность будет равна
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 0 = 2,\]
т.е. при решении уравнения
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}} = \mathbf{0}\]
получается два линейно-независимых собственных вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}.\) Общее решение системы имеет почти такой же вид,
как и в случае \(1:\)
\[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2}.\]
Случай \(3.\) Матрица \(2 \times 2.\) Одно собственное значение \({\lambda _1}\left( {{k_1} = 2,{s_1} = 1} \right)\)
Здесь ранг матрицы равен \(1.\) Следовательно, геометрическая кратность собственного числа \({\lambda _1}\) и количество собственных векторов
равно
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 1 = 1.\]
Этот собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) находится из уравнения
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\]
Для построения фундаментальной системы решений не хватает еще одного линейно-независимого вектора. Вкачестве такого вектора возьмем присоединенный вектор
\({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T},\) удовлетворяющий уравнению
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}.\]
Если из найденных собственного и присоединенного векторов составить матрицу \(H,\) равную
\[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}&{{V_{12}}}\\
{{V_{21}}}&{{V_{22}}}
\end{array}} \right),\]
то жорданова форма \(J\) находится с помощью соотношения
\[{H^{ - 1}}AH = J,\]
где \({H^{ - 1}}\) − матрица, обратная к \(H.\) Это свойство можно использовать для проверки правильности определения собственных и присоединенных
векторов.
Общее решение системы представляется в виде:
\[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right).\]
Случай \(4.\) Матрица \(3 \times 3.\) Три различных собственных значения \({\lambda _1},{\lambda _2}, {\lambda _3}\)
Здесь жорданова форма имеет диагональный вид. Каждому собственному числу \({\lambda _i}\) соответствует свой собственный вектор
\({\mathbf{V}_i},\) который определяется из уравнения
\[\left( {A - {\lambda _i}I} \right){\mathbf{V}_i} = \mathbf{0}.\]
Общее решение системы \(3\)-х дифференциальных уравнений записывается в виде:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} }
+ {{C_3}{e^{{\lambda _3}t}}{\mathbf{V}_3}.}
\]
Случай \(5.\) Матрица \(3 \times 3.\) Два собственных значения
\({\lambda _1}\left( {{k_1} = 2,{s_1} = 2} \right),\) \({\lambda _2}\left( {{k_2} = 1,{s_2} = 1} \right)\)
В данном случае характеристическое уравнение имеет два корня, один из которых кратный \(\left( {{k_1} = 2} \right).\) При подстановке этого кратного корня
\({\lambda _1}\) матрица \(A - {\lambda _1}I\) имеет ранг \(1.\) В результате у числа \({\lambda _1}\)
геометрическая кратность и количество ассоциированных с ним собственных векторов равно
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 1 = 2.\]
Оба линейно-независимых собственных вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}\) (им соответствуют две жордановы клетки) определяются из уравнения
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}} = \mathbf{0}.\]
Третья клетка в жордановой форме состоит из простого собственного значения \({\lambda _2}\left( {{k_2} = 1,{s_2} = 1} \right)\)
Собственный вектор \({\mathbf{V}_3}\) для этого числа находится из уравнения
\[\left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_3} = \mathbf{0}.\]
Общее решение системы выражается формулой
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2} }
+ {{C_3}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_3}.}
\]
Случай \(6.\) Матрица \(3 \times 3.\) Два собственных значения
\({\lambda _1}\left( {{k_1} = 2,{s_1} = 1} \right),\) \({\lambda _2}\left( {{k_2} = 1,{s_2} = 1} \right)\)
Этот случай отличается от предыдущего тем, что для первого собственного числа \({\lambda _1}\) удается найти лишь один собственный вектор \({\mathbf{V}_1},\)
который удовлетворяет уравнению
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\]
Здесь ранг матрицы для числа \({\lambda _1}\) равен \(2:\)
\[
{\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2,}\;\;
{\Rightarrow {s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.}
\]
Недостающий линейно-независимый вектор находится как вектор \({\mathbf{V}_2},\) присоединенный к \({\mathbf{V}_1}:\)
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}.\]
Другое собственное значение \({\lambda _2}\) (соответствующее второй жордановой клетке) обеспечивает еще один собственный вектор \({\mathbf{V}_3}.\)
Общее решение системы имеет вид:
\[\require{AMSmath.js}
{\mathbf{X}\left( t \right) = \underbrace {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right)}_{\substack{
\text{1-ая жорданова}\\
\text{клетка}}} }
+ {\underbrace {{C_3}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_3}}_{\substack{
\text{2-ая жорданова}\\
\text{клетка}}}.}
\]
Случай \(7.\) Матрица \(3 \times 3.\) Одно собственное значение \({\lambda _1}\left( {{k_1} = 3,{s_1} = 2} \right)\)
Здесь жорданова форма состоит из двух клеток с одинаковым собственным значением \({\lambda _1}.\) Первая клетка имеет один собственный вектор
\({\mathbf{V}_1}\) и один присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2}.\) Они находятся из соотношений
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}.}
\]
Первое уравнение имеет два решения в виде двух собственных векторов (поскольку \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 1\)).
Второй собственный вектор (обозначим его как \({\mathbf{V}_3}\)) связан со второй жордановой клеткой.
Общее решение системы описывается выражением
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \underbrace {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right)}_{\substack{
\text{1-ая жорданова}\\
\text{клетка}}} }
+ {\underbrace {{C_3}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_3}}_{\substack{
\text{2-ая жорданова}\\
\text{клетка}}}.}
\]
Случай \(8.\) Матрица \(3 \times 3.\) Одно собственное значение \({\lambda _1}\left( {{k_1} = 3,{s_1} = 1} \right)\)
В этом случае линейный оператор \(A\) имеет одно собственное значение \({\lambda _1}\) кратностью \({k_1} = 3.\)
При этом ранг матрицы \(\left( {A - {\lambda _1}I} \right)\) равен \(2.\) Это приводит к тому, что уравнение
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}\]
имеет решение в виде единственного собственного вектора \({\mathbf{V}_1}.\) Недостающие \(2\) линейно-независимых вектора определяются как
присоединенные векторы из цепочки соотношений
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\;
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_3} = {\mathbf{V}_2}.}
\]
Общее решение имеет вид:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) }
+ {{C_3}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {\frac{{{t^2}}}{{2!}}{\mathbf{V}_1} + t{\mathbf{V}_2} + {\mathbf{V}_3}} \right).}
\]
Ниже мы рассмотрим примеры систем уравнений, соответствующие случаям \(1 - 8.\) Случаи \(1,2,4,5\) с "достаточным"
количеством собственных векторов представлены также на странице Метод собственных значений и собственных векторов.
Пример 1
Решить систему уравнений
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 2x - 3y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - x + 4y.\]
Решение.
Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и найдем собственные значения:
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) }
= {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1}&{4 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) - 3 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2} - 4\lambda - 2\lambda + 8 - 3 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2} - 6\lambda + 5 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda _1} = 1,\;{\lambda _2} = 5.}
\]
Вычислим собственные векторы для каждого собственного числа.
Подставляя \({\lambda _1} = 1,\) найдем вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}:\)
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - 1}&{ - 3}\\
{ - 1}&{4 - 1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 3}\\
{ - 1}&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{11}} - 3{V_{21}} = 0}\\
{ - {V_{11}} + 3{V_{21}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow {V_{11}} - 3{V_{21}} = 0.}
\]
Видно, что ранг этой матрицы равен \(1.\) Следовательно, геометрическая кратность собственного значения \({\lambda _1} = 1\) составляет
\[{s_1} = n - \left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 1 = 1.\]
Соответственно, существует один собственный вектор. Его координаты равны:
\[
{{V_{21}} = t,\;\; \Rightarrow {V_{11}} = 3{V_{21}} = 3t,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3t}\\
t
\end{array}} \right) = t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1
\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Аналогично вычислим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\) для собственного числа
\({\lambda _2} = 5:\)
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - 5}&{ - 3}\\
{ - 1}&{4 - 5}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 3{V_{12}} - 3{V_{22}} = 0}\\
{ - {V_{12}} - {V_{22}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow {V_{12}} + {V_{22}} = 0.}
\]
Пусть \({V_{22}} = t.\) Тогда
\[
{{V_{12}} = - {V_{22}} = - t,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - t}\\
t
\end{array}} \right) = t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Как видно, здесь мы имеем случай простых собственных чисел (случай \(1\)). Общее решение системы выражается в виде
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} }
= {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1
\end{array}} \right) + {C_2}{e^{5t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Пример 2
Найти общее решение системы уравнений
\[\frac{{dx}}{{dt}} = - x,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - y.\]
Решение.
Как обычно, определим сначала собственные значения, решив характеристическое уравнение
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1 - \lambda }&0\\
0&{ - 1 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( { - 1 - \lambda } \right)^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda _1} = - 1.}
\]
Следовательно, матрица системы имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = - 1\) кратности \({k_1} = 2.\)
Найдем собственные векторы для этого значения \({\lambda _1}.\)
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1 - \left( { - 1} \right)}&0\\
0&{ - 1 - \left( { - 1} \right)}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0}\\
{0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow 0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0.}
\]
Как видно, в данном случае любой вектор является собственным. Поэтому в качестве пары линейно-независимых собственных векторов
можно выбрать единичные орты:
\[{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1
\end{array}} \right),\;\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right).\]
Здесь мы встречаемся со случаем \(2:\) у системы двух дифференциальных уравнений имеется одно собственное значение, алгебраическая и геометрическая
кратность которого равны \(2.\) Общее решение системы записывается в виде:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right) }
= {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2} }
= {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1
\end{array}} \right) + {C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right).}
\]
Пример 3
Найти общее решение системы уравнений
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 2x - y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + 4y.\]
Решение.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) }
= {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{4 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2} - 6\lambda + 5 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( {\lambda - 3} \right)^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda _1} = 3.}
\]
Матрица системы имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = 3\) с алгебраической кратностью \({k_1} = 2.\)
Определим собственные векторы, соответствующие числу \({\lambda _1} = 3.\) Пусть \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}.\) Получаем:
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - 3}&{ - 1}\\
1&{4 - 3}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {V_{11}} - {V_{21}} = 0}\\
{{V_{11}} + {V_{21}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow {V_{11}} + {V_{21}} = 0.}
\]
Пусть \({V_{21}} = t.\) Тогда координаты вектора \({\mathbf{V}_1}\) равны
\[
{{V_{11}} = - {V_{21}} = - t,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - t}\\
t
\end{array}} \right) = t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Проверим, правильно ли мы вычислили собственный вектор \({\mathbf{V}_1}.\) По определению, для собственного вектора должно быть
справедливо соотношение
\[A{\mathbf{V}_1} = {\lambda _1}{\mathbf{V}_1}.\]
Подставляя известные значения, получаем:
\[
{A{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
1&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2 - 1}\\
{ - 1 + 4}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}\\
3
\end{array}} \right) }
= {3\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right) }
= {{\lambda _1}{\mathbf{V}_1}.}
\]
Данная комбинация величин \(\left( {{k_1} = 2,{s_1} = 1} \right)\) соответствует случаю \(3,\) в котором
решение описывается одной жордановой клеткой. Для построения общего решения системы нужно определить присоединенный вектор
\({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}.\) Найдем его из матричного уравнения
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right),}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right),}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {V_{12}} - {V_{22}} = - 1}\\
{{V_{12}} + {V_{22}} = 1}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow {V_{12}} + {V_{22}} = 1,}\;\;
{\Rightarrow \text{для}\;{V_{22}} = 0,\;{V_{11}} = 1\;\text{имеем}\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right).}
\]
Сделаем еще одну проверку, чтобы убедиться, что присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2}\) вычислен верно. Воспользуемся формулой преобразования
исходной матрицы \(A\) к жордановой нормальной форме \(J:\)
\[{H^{ - 1}}AH = J.\]
Здесь матрица \(H\) составляется из найденных векторов:
\[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}&{{V_{12}}}\\
{{V_{21}}}&{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
1&0
\end{array}} \right).\]
Обратная матрица \({H^{ - 1}}\) будет равна:
\[
{{H^{ - 1}} = \frac{1}{\Delta }{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}\\
{{A_{21}}}&{{A_{22}}}
\end{array}} \right)^T} }
= {\frac{1}{{\left( { - 1} \right)}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right)^T} }
= { - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&1
\end{array}} \right).}
\]
где \({{A_{ij}}}\) − алгебраические дополнения к элементам матрицы \(H,\) \(\Delta\) − ее определитель.
После подстановки убеждаемся, что результатом преобразований является жорданова форма:
\[
{{H^{ - 1}}AH }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
1&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
1&0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 + 1}&{0 + 4}\\
{2 + 1}&{ - 1 + 4}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
1&0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&4\\
3&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
1&0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1 + 4}&{1 + 0}\\
{ - 3 + 3}&{3 + 0}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}3&\color{blue}1\\
\color{blue}0&\color{blue}3
\end{array}} \right) = J}
\]
Общее решение системы дифференциальных уравнений описывается формулой
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) }
= {{C_1}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right) + {C_2}{e^{3t}}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1
\end{array}} \right) }
+ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right)} \right].}
\]
Пример 4
Решить систему уравнений
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = - 4x - 6y - 6z,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = x + 3y + z,}\;\;
{\frac{{dz}}{{dt}} = 2x + 4z.}
\]
Решение.
Составим характеристическое уравнение и вычислим его корни:
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) }
= {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4 - \lambda }&{ - 6}&{ - 6}\\
1&{3 - \lambda }&1\\
2&0&{4 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0.}
\]
Раскладываем определитель по третьей строке:
\[
{2\left[ { - 6 + 6\left( {3 - \lambda } \right)} \right] + \left( {4 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - 4 - \lambda } \right)\left( {3 - \lambda } \right) + 6} \right] = 0,}\;\;
{\Rightarrow 2\left( { - 6\lambda + 12} \right) + \left( {4 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} + \lambda - 6} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow - 12\lambda + 24 + 4{\lambda ^2} - {\lambda ^3} + 4\lambda - {\lambda ^2} - 24 + 6\lambda = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} + 2\lambda = 0,}\;\;
{\Rightarrow \lambda \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - 2} \right) = 0.}
\]
Следовательно, матрица имеет три различных собственных значения: \({\lambda _1} = 0,\) \({\lambda _2} = 1,\) \({\lambda _3} = 2.\)
Вычислим собственные векторы \({\mathbf{V}_1},{\mathbf{V}_2},{\mathbf{V}_3}\) для этих собственных значений. Для собственного числа
\({\lambda _1} = 0\) находим \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}:\)
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\
1&3&1\\
2&0&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}\\
{{V_{31}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0}.}
\]
Определим ранг данной системы уравнений:
\[
{\left\{ \begin{array}{l}
\left. { - 4{V_{11}} - 6{V_{12}} - 6{V_{31}} = 0\;} \right| \cdot \small{\left( { - 1} \right)}\normalsize\\
{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\
2{V_{11}} + 0 + 4{V_{31}} = 0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left\{ \begin{array}{l}
{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\
4{V_{11}} + 6{V_{12}} + 6{V_{31}} = 0\\
2{V_{11}} + 0 + 4{V_{31}} = 0
\end{array} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{}\\
\small{{R_2} - 4{R_1}}\normalsize\\
\small{{R_3} - 2{R_1}}\normalsize
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\
{0 - 6{V_{21}} + 2{V_{31}} = 0}\\
{0 - 6{V_{21}} + 2{V_{31}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\
{3{V_{21}} - {V_{31}} = 0}
\end{array}} \right..}
\]
В этом случае ранг матрицы равен \(2,\) геометрическая кратность собственного значения \({\lambda _1}\) равна \(1.\) Чтобы найти
вектор \({\mathbf{V}_1},\) ассоциированный с числом \({\lambda _1},\) положим \({V_{31}} = t.\) В результате получаем:
\[
{3{V_{21}} = {V_{31}} = t,}\;\;
{\Rightarrow {V_{21}} = \frac{t}{3},}\;\;
{\Rightarrow {V_{11}} = - 3{V_{21}} - {V_{31}} }
= { - 3 \cdot \frac{t}{3} - t = - 2t.}
\]
Следовательно,
\[
{{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}\\
{{V_{31}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2t}\\
{\frac{t}{3}}\\
t
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6t}\\
t\\
{3t}
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
3
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
3
\end{array}} \right).}
\]
Правильность вычисления собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) можно проверить, используя определение собственного вектора. Подставляя координаты вектора
\({\mathbf{V}_1},\) получаем для \({\lambda _1} = 0:\)
\[
{A{\mathbf{V}_1} = {\lambda _1}{\mathbf{V}_1} = 0 \cdot {\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\
1&3&1\\
2&0&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
3
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{24 - 6 - 18}\\
{ - 6 + 3 + 3}\\
{ - 12 + 0 + 12}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
0
\end{array}} \right).}
\]
Аналогично определим вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T}:\) для собственного
числа \({\lambda _2} = 1:\)
\[
{\left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},\;\;
\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4 - 1}&{ - 6}&{ - 6}\\
1&{3 - 1}&1\\
2&0&{4 - 1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}\\
{{V_{32}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{12}} + 2{V_{22}} + {V_{32}} = 0}\\
{ - 5{V_{12}} - 6{V_{22}} - 6{V_{32}} = 0}\\
{2{V_{12}} + 0 + 3{V_{32}} = 0}
\end{array}} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{}\\
\small{{R_2} + 5{R_1}}\normalsize\\
\small{{R_3} - 2{R_1}}\normalsize
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{12}} + 2{V_{22}} + {V_{32}} = 0}\\
{0 + 4{V_{22}} - {V_{32}} = 0}\\
{0 + 4{V_{22}} - {V_{32}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{12}} + 2{V_{22}} + {V_{32}} = 0}\\
{4{V_{22}} - {V_{32}} = 0}
\end{array}} \right..}
\]
Таким образом, видно, что \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _2}I} \right) = 2.\) Геометрическая кратность корня
\({\lambda _2} = 1\) равна \({s_2} = 1.\) Положим \({V_{32}} = t\) и выразим другие координаты \({V_{12}}, {V_{22}}\)
через \(t:\)
\[
{4{V_{22}} = {V_{32}} = t,}\;\;
{\Rightarrow {V_{22}} = \frac{t}{4},}\;\;
{\Rightarrow {V_{12}} = - 2{V_{22}} - {V_{32}} }
= { - 2 \cdot \frac{t}{4} - t = - \frac{3}{2}t.}
\]
Итак, собственный вектор \({\mathbf{V}_2}\) равен:
\[
{{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}\\
{{V_{32}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \frac{3}{2}t}\\
{\frac{t}{4}}\\
t
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6t}\\
t\\
{4t}
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
4
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
4
\end{array}} \right).}
\]
Проверка:
\[
{A{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\
1&3&1\\
2&0&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
4
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{24 - 6 - 24}\\
{ - 6 + 3 + 4}\\
{ - 12 + 0 + 16}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
4
\end{array}} \right) }
= {1 \cdot {\mathbf{V}_2} = {\lambda _2}{\mathbf{V}_2}.}
\]
Теперь найдем вектор \({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T},\) ассоциированный
с собственным значением \({\lambda _3} = 2:\)
\[
{\left( {A - {\lambda _3}I} \right){\mathbf{V}_3} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4 - 2}&{ - 6}&{ - 6}\\
1&{3 - 2}&1\\
2&0&{4 - 2}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{13}}}\\
{{V_{23}}}\\
{{V_{33}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 6{V_{13}} - 6{V_{23}} - 6{V_{33}} = 0}\\
{{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\
{2{V_{13}} + 0 + 2{V_{33}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\
{{V_{13}} + 0 + {V_{33}} = 0}
\end{array}} \right..}
\]
Видно, что \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _3}I} \right) = 2.\) Полагая \({V_{33}} = t,\)
вычислим координаты \({V_{13}}, {V_{23}}:\)
\[
{{V_{13}} = - {V_{33}} = - t,}\;\;
{\Rightarrow {V_{23}} = - {V_{33}} - {V_{13}} = t - t = 0.}
\]
Следовательно,
\[
{{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{13}}}\\
{{V_{23}}}\\
{{V_{33}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - t}\\
0\\
t
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Снова сделаем проверку:
\[
{A{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\
1&3&1\\
2&0&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{4 + 0 - 6}\\
{ - 1 + 0 + 1}\\
{ - 2 + 0 + 4}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}\\
0\\
2
\end{array}} \right) }
= {2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right) }
= {2{\mathbf{V}_3} = {\lambda _3}{\mathbf{V}_3}.}
\]
Итак, найдены все собственные векторы. Теперь можно записать общее решение системы, которое в данном случае имеет вид:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) }
= {\sum\limits_{i = 1}^3 {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}{\mathbf{V}_i}} }
= {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
3
\end{array}} \right) }
+ {{C_2}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
4
\end{array}} \right) }
+ {{C_3}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Пример 5
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = x - y - z,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = - x + y - z,}\;\;
{\frac{{dz}}{{dt}} = - x - y + z.}
\]
Решение.
Вычислим корни характеристического уравнения:
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{1 - \lambda }&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&{1 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {1 - \lambda } \right)}^2} - 1} \right] }
+ {1 \cdot \left[ { - \left( {1 - \lambda } \right) - 1} \right] }
- {1 \cdot \left[ {1 + \left( {1 - \lambda } \right)} \right] = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 2\lambda } \right) + 2\lambda - 4 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2} - 2\lambda - {\lambda ^3} + 2{\lambda ^2} + 2\lambda - 4 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} + 4 = 0.}
\]
Можно заметить, что одним из корней кубического уравнения является число \({\lambda _1} = - 1.\)
Тогда, выделяя множитель \(\left( {\lambda + 1} \right),\) получаем:
\[
{{\lambda ^3} + {\lambda ^2} - 4{\lambda ^2} - 4\lambda + 4\lambda + 4 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda + 1} \right) - 4\lambda \left( {\lambda + 1} \right) + 4\left( {\lambda + 1} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {\lambda + 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 4} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {\lambda + 1} \right){\left( {\lambda - 2} \right)^2} = 0.}
\]
Таким образом, данная система имеет два собственных значения: \({\lambda _1} = - 1\) кратностью \({k_1} = 1\)
и \({\lambda _2} = 2\) кратностью \({k_2} = 2.\)
Определим собственные векторы. Для числа \({\lambda _1} = - 1\) ранг матрицы равен:
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + 1}&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{1 + 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&{1 + 1}
\end{array}} \right) }
\sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
2&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&2&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&2
\end{array}} \right)} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{}\\
\small{2{R_2} + {R_1}}\normalsize\\
\small{2{R_3} + {R_1}}\normalsize
\end{array}} \right. }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
2&{ - 1}&{ - 1}\\
0&3&{ - 3}\\
0&{ - 3}&3
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
2&{ - 1}&{ - 1}\\
0&1&{ - 1}
\end{array}} \right).}
\]
Поскольку \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2,\) то данному собственному значению
соответствует один собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}:\)
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\]
Найдем его координаты из системы уравнений
\[\left\{ \begin{array}{l}
2{V_{11}} - {V_{21}} - {V_{31}} = 0\\
0 + {V_{21}} - {V_{31}} = 0
\end{array} \right..\]
Пусть \({V_{31}} = t.\) Тогда
\[
{{V_{21}} = {V_{31}} = t,}\;\;
{\Rightarrow 2{V_{11}} = {V_{21}} + {V_{31}} = t + t = 2t,}\;\;
{\Rightarrow {V_{11}} = t.}
\]
Таким образом, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) равен
\[
{{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}\\
{{V_{31}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
t\\
t
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
1
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Рассмотрим теперь второе собственное значение \({\lambda _2} = 2,\) алгебраическая кратность которого \({k_2} = 2.\)
Определим ранг матрицы \(A - {\lambda _2}I\) и геометрическую кратность \({s_2}:\)
\[
{A - {\lambda _2}I }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - 2}&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{1 - 2}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&{1 - 2}
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1
\end{array}} \right).}
\]
Следовательно,
\[{s_2} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _2}I} \right) = 3 - 1 = 2.\]
В этом случае матрица имеет два собственных вектора (т.е. мы имеем случай \(5\)). Если обозначить
\({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T},\)
\({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T},\)
то координаты обоих этих векторов будут удовлетворять уравнениям
\[
{{V_{12}} + {V_{22}} + {V_{32}} = 0}\;\;\;
{\text{и}\;\;\;{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0.}
\]
Выбирая координаты \(y, z\) в виде свободных переменных и полагая их равными \(\left( {0,1} \right)\) для \({\mathbf{V}_2}\)
и \(\left( {1,0} \right)\) для \({\mathbf{V}_3},\) получаем следующие линейно-независимые векторы:
\[
{{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}\\
{{V_{32}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right),}\;\;
{{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{13}}}\\
{{V_{23}}}\\
{{V_{33}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1\\
0
\end{array}} \right).}
\]
Собирая все компоненты общего решения, можно представить его в виде
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
1
\end{array}} \right) }
+ {{C_2}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
0\\
1
\end{array}} \right) }
+ {{C_3}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
1\\
0
\end{array}} \right).}
\]
Пример 6
Найти общее решение системы уравнений
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = - 3x - 6y + 6z,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = x + 6z,}\;\;
{\frac{{dz}}{{dt}} = - y + 4z.}
\]
Решение.
Вычислим собственные значения:
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3 - \lambda }&{ - 6}&6\\
1&{0 - \lambda }&6\\
0&{ - 1}&{4 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( { - 3 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 6} \right] }
- {1 \cdot \left[ {\left( { - 6} \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 6} \right] = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {\lambda + 3} \right)\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 6} \right) + 6\lambda - 18 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^3} + 3{\lambda ^2} - 4{\lambda ^2} - 12\lambda + 6\lambda + 18 + 6\lambda - 18 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^3} - {\lambda ^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) = 0.}
\]
Видно, что существуют два собственных значения: \({\lambda _1} = 0\) кратностью \({k_1} = 2\)
и \({\lambda _2} = 1\) кратностью \({k_2} = 1.\)
Вычислим ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I:\)
\[
{A - {\lambda _1}I = \left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 3}&{ - 6}&6\\
1&0&6\\
0&{ - 1}&4
\end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{:\small{\left( { - 3} \right)}\normalsize}\\
{}\\
{}
\end{array} }
\sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&2&{ - 2}\\
1&0&6\\
0&{ - 1}&4
\end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{}\\
\small{{R_2} - {R_1}}\normalsize\\
{}
\end{array} }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&2&{ - 2}\\
0&{ - 2}&8\\
0&{ - 1}&4
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&2&{ - 2}\\
0&{ - 1}&4
\end{array}} \right).}
\]
Следовательно, \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2\) и, соответственно, геометрическая кратность \({s_1}\)
собственного числа \({\lambda _1} = 0\) равна:
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\]
Ясно, что мы имеем дело со случаем \(6,\) где жорданова форма содержит \(2\) клетки, одна из которых ассоциируется с одним собственным и одним присоединенным вектором.
Найдем сначала собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T},\)
решив матричное уравнение
\[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},\]
которое эквивалентно системе
\[\left\{ \begin{array}{l}
{V_{11}} + 2{V_{21}} - 2{V_{31}} = 0\\
0 - {V_{21}} + 4{V_{31}} = 0
\end{array} \right..\]
Пусть \({V_{31}} = t.\) Тогда
\[
{{V_{21}} = 4{V_{31}} = 4t,}\;\;
{\Rightarrow {V_{11}} = - 2{V_{21}} + 2{V_{31}} }
= { - 2 \cdot 4t + 2t = - 6t.}
\]
Получаем
\[
{{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}\\
{{V_{31}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6t}\\
{4t}\\
t
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
4\\
1
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
4\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Теперь вычислим присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T}:\)
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&{ - 6}&6\\
1&0&6\\
0&{ - 1}&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}\\
{{V_{32}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
4\\
1
\end{array}} \right),}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 3{V_{12}} - 6{V_{22}} + 6{V_{32}} = - 6}\\
{{V_{12}} + 0 + 6{V_{32}} = 4}\\
{0 - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{12}} + 2{V_{22}} - 2{V_{32}} = 2}\\
{{V_{12}} + 0 + 6{V_{32}} = 4}\\
{0 - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1}
\end{array}} \right.\;} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{}\\
\small{{R_2} - {R_1}}\normalsize\\
{}
\end{array},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{12}} + 2{V_{22}} - 2{V_{32}} = 2}\\
{0 - 2{V_{22}} + 8{V_{32}} = 2}\\
{0 - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{12}} + 2{V_{22}} - 2{V_{32}} = 2}\\
{ - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1}
\end{array}} \right..}
\]
Мы можем выбрать любой вектор, удовлетворяющий данным уравнениям. Полагаем \({V_{32}} = 0.\)
Тогда остальные координаты равны:
\[
{{V_{22}} = 4{V_{32}} - 1 = - 1,}\;\;\;
{{V_{12}} = 2{V_{32}} - 2{V_{22}} + 2 }
= {0 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 = 4.}
\]
Итак, координаты присоединенного вектора \({\mathbf{V}_2}\) равны
\[
{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}\\
{{V_{32}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
{ - 1}\\
0
\end{array}} \right).\]
Рассмотрим теперь собственное значение \({\lambda _2} = 1.\) Для него собственный вектор
\({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T}\) равен:
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3 - 1}&{ - 6}&6\\
1&{0 - 1}&6\\
0&{ - 1}&{4 - 1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{13}}}\\
{{V_{23}}}\\
{{V_{33}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 4{V_{13}} - 6{V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\
{{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\
{0 - {V_{23}} + 3{V_{33}} = 0}
\end{array}} \right.\;} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{:\small{\left( { - 2} \right)}\normalsize}\\
{}\\
{}
\end{array},}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\
{2{V_{13}} + 3{V_{23}} - 3{V_{33}} = 0}\\
{0 - {V_{23}} + 3{V_{33}} = 0}
\end{array}} \right.\;} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{}\\
\small{{R_2} - 2{R_1}}\normalsize\\
{}
\end{array},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\
{0 + 5{V_{23}} - 15{V_{33}} = 0}\\
{0 - {V_{23}} + 3{V_{33}} = 0}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\
{{V_{23}} - 3{V_{33}} = 0}
\end{array}} \right..}
\]
Пусть \({V_{33}} = t.\) Тогда
\[
{{V_{23}} = 3{V_{33}} = 3t,}\;\;
{\Rightarrow {V_{13}} = {V_{23}} - 6{V_{33}} }
= {3t - 6t = - 3t.}
\]
Следовательно,
\[
{{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{13}}}\\
{{V_{23}}}\\
{{V_{33}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3t}\\
{3t}\\
t
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}\\
3\\
1
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}\\
3\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Проверим правильность нахождения собственных и присоединенных векторов, используя формулу преобразования матрицы \(A\) к жордановой
форме \(J:\)
\[
{{H^{ - 1}}AH = J,}\;\;
{\text{где}\;\;H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&4&{ - 3}\\
4&{ - 1}&3\\
1&0&1
\end{array}} \right).}
\]
Определитель матрицы \(H\) равен:
\[
{\Delta \left( H \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&4&{ - 3}\\
4&{ - 1}&3\\
1&0&1
\end{array}} \right| }
= {1 \cdot \left( {12 - 3} \right) + 1 \cdot \left( {6 - 16} \right) }
= {9 - 10 = - 1.}
\]
Составим матрицу \(B\) из алгебраических дополнений:
\[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\
{{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\
{{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}}
\end{array}} \right),\]
\[
{{A_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3\\
0&1
\end{array}} \right| = - 1 - 0 = - 1,}\;\;
{{A_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&3\\
1&1
\end{array}} \right| = - \left( {4 - 3} \right) = - 1,}\;\;
{{A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&{ - 1}\\
1&0
\end{array}} \right| = 0 + 1 = 1,}\;\;
{{A_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&{ - 3}\\
0&1
\end{array}} \right| = - \left( {4 - 0} \right) = - 4,}\;\;
{{A_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&{ - 3}\\
1&1
\end{array}} \right| = - 6 + 3 = - 3,}\;\;
{{A_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&4\\
1&0
\end{array}} \right| = - \left( {0 - 4} \right) = 4,}\;\;
{{A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&{ - 3}\\
{ - 1}&3
\end{array}} \right| = 12 - 3 = 9,}\;\;
{{A_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&{ - 3}\\
4&3
\end{array}} \right| = - \left( { - 18 + 12} \right) = 6,}\;\;
{{A_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&4\\
4&{ - 1}
\end{array}} \right| = 6 - 16 = - 10.}
\]
Следовательно,
\[
{B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\
{{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\
{{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 1}&{ - 1}&1\\
{ - 4}&{ - 3}&4\\
9&6&{ - 10}
\end{array}} \right).}
\]
Транспонируя матрицу \(B,\) запишем обратную матрицу \({H^{ - 1}}:\)
\[
{{H^{ - 1}} = \frac{1}{{\Delta \left( H \right)}}{B^T}
= \left( { - 1} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 1}&{ - 4}&9\\
{ - 1}&{ - 3}&6\\
1&4&{ - 10}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&4&{ - 9}\\
1&3&{ - 6}\\
{ - 1}&{ - 4}&{10}
\end{array}} \right).}
\]
Вычислим произведение трех матриц:
\[
{{H^{ - 1}}AH }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&4&{ - 9}\\
1&3&{ - 6}\\
{ - 1}&{ - 4}&{10}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 3}&{ - 6}&6\\
1&0&6\\
0&{ - 1}&4
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 6}&4&{ - 3}\\
4&{ - 1}&3\\
1&0&1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3 + 4 + 0}&{ - 6 + 0 + 9}&{6 + 24 - 36}\\
{ - 3 + 3 + 0}&{ - 6 + 0 + 6}&{6 + 18 - 24}\\
{3 - 4 + 0}&{6 + 0 - 10}&{ - 6 - 24 + 40}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 6}&4&{ - 3}\\
4&{ - 1}&3\\
1&0&1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&3&{ - 6}\\
0&0&0\\
{ - 1}&{ - 4}&{10}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 6}&4&{ - 3}\\
4&{ - 1}&3\\
1&0&1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6 + 12 - 6}&{4 - 3 + 0}&{ - 3 + 9 - 6}\\
0&0&0\\
{6 - 16 + 10}&{ - 4 + 4 + 0}&{3 - 12 + 10}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}0&\color{blue}1&0\\
\color{blue}0&\color{blue}0&0\\
0&0&\color{red}1
\end{array}} \right) = J.}
\]
Мы получили жорданову форму \(J,\) у которой в первой клетке на диагонали стоят собственные числа
\({\lambda _1} = 0,\) а во второй клетке − число \({\lambda _2} = 1.\)
Общее решение системы выражается формулой
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) }
= {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) }
+ {{C_3}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_3} }
= {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
4\\
1
\end{array}} \right) + {C_2}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
4\\
1
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
{ - 1}\\
0
\end{array}} \right)} \right] }
+ {{C_3}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}\\
3\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Пример 7
Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = 4x + 6y - 15z,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = x + 3y - 5z,}\;\;
{\frac{{dz}}{{dt}} = x + 2y - 4z.}
\]
Решение.
Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения:
\[\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{4 - \lambda }&6&{ - 15}\\
1&{3 - \lambda }&{ - 5}\\
1&2&{ - 4 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,\]
\[
{\Rightarrow \left( {4 - \lambda } \right)\left[ {\left( {3 - \lambda } \right)\left( { - 4 - \lambda } \right) + 10} \right] }
- {1 \cdot \left[ {6\left( { - 4 - \lambda } \right) + 30} \right] }
+ {1 \cdot \left[ { - 30 + 15\left( {3 - \lambda } \right)} \right] = 0,}
\]
\[
{\Rightarrow \left( {4 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} + \lambda - 2} \right) }
- {\left( { - 6\lambda + 6} \right) }
+ {\left( {15 - 15\lambda } \right) = 0,}
\]
\[
{\Rightarrow 4{\lambda ^2} - {\lambda ^3} + 4\lambda }
- {{\lambda ^2} - 8 }
+ {2\lambda + 6\lambda }
- {6 + 15 }
- {15\lambda = 0,}
\]
\[
{\Rightarrow {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} + 3\lambda - 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( {\lambda - 1} \right)^3} = 0.}
\]
Уравнение имеет один корень \({\lambda _1} = 1\) кратностью \({k_1} = 3.\) Определим ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I:\)
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{4 - 1}&6&{ - 15}\\
1&{3 - 1}&{ - 5}\\
1&2&{ - 4 - 1}
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&6&{ - 15}\\
1&2&{ - 5}\\
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right).}
\]
Ранг равен \(1.\) Поэтому геометрическая кратность собственного значения \({\lambda _1} = 1\) равна
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 1 = 2.\]
Отсюда следует, что жорданова форма состоит из двух клеток, т.е. соответствует случаю \(7.\)
Найдем собственные векторы \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2},\) ассоциированные с числом \({\lambda _1} = 1.\)
Пусть вектор \({\mathbf{V}_1}\) имеет координаты \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}.\) Решаем уравнение
\[
{\det \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow {V_{11}} + 2{V_{21}} - 5{V_{31}} = 0.}
\]
Мы можем выбрать две координаты произвольно. Простейшая линейно-независимая пара векторов получается, если положить
\(y = 1,z = 0\) для вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \(y = 0,z = 1\) для вектора \({\mathbf{V}_2}.\) Подставляя эти значения в последнее уравнение,
находим координаты \(x\) собственных векторов \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}:\)
\[{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}\\
1\\
0
\end{array}} \right),\;\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
0\\
1
\end{array}} \right).\]
Здесь нужно иметь ввиду, что в данной системе с рангом \(1\) существует бесконечное множество собственных векторов (лежащих в плоскости
\(x + 2y - 5z = 0\)). При этом на данном шаге необязательно, чтобы найденные векторы \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}\)
входили в жорданов базис.
Рассмотрим жорданову клетку \(2 \times 2.\) Очевидно, что жорданова цепочка состоит из одного собственного вектора и одного присоединенного вектора.
Обозначим эти векторы как \({\mathbf{U}_1}\) и \({\mathbf{U}_2}.\) Они должны удовлетворять следующим матричным уравнениям:
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{U}_2} = {\mathbf{U}_1},}\;\;
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{U}_1} = \mathbf{0}.}
\]
Проверим, что \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2} = 0:\)
\[
{{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2} }
= {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&6&{ - 15}\\
1&2&{ - 5}\\
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right)^2} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&6&{ - 15}\\
1&2&{ - 5}\\
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&6&{ - 15}\\
1&2&{ - 5}\\
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{9 + 6 - 15}&{18 + 12 - 30}&{ - 45 - 30 + 75}\\
{3 + 2 - 5}&{6 + 4 - 10}&{ - 15 - 10 + 25}\\
{3 + 2 - 5}&{6 + 4 - 10}&{ - 15 - 10 + 25}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}} \right) = 0.}
\]
Таким образом, любой ненулевой вектор принадлежит ядру оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}.\)
Поскольку первый столбец матрицы \({A - {\lambda _1}I}\) не равен нулю, то в качестве присоединенного вектора \({\mathbf{U}_2}\)
можно взять единичный орт оси \(Ox:\) \({\mathbf{U}_2} = {\left( {1,0,0} \right)^T}.\)
Вычислим вектор \({\mathbf{U}_1}:\)
\[
{{\mathbf{U}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&6&{ - 15}\\
1&2&{ - 5}\\
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 + 0 + 0}\\
{1 + 0 + 0}\\
{1 + 0 + 0}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Убедимся, что найденный вектор \({\mathbf{U}_1}\) принадлежит ядру оператора \({A - {\lambda _1}I},\)
т.е. является собственным вектором матрицы \(A:\)
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{U}_1} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&6&{ - 15}\\
1&2&{ - 5}\\
1&2&{ - 5}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1\\
1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{9 + 6 - 15}\\
{3 + 2 - 5}\\
{3 + 2 - 5}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
0
\end{array}} \right) = \mathbf{0}.}
\]
Итак, мы определили два базисных вектора \({\mathbf{U}_1}\) и \({\mathbf{U}_2},\) связанных с жордановой клеткой \(2 \times 2.\) Другая элементарная клетка
\(1 \times 1\) содержит еще один собственный вектор, в качестве которого можно взять любой собственный вектор матрицы \(A,\) который не будет коллинеарен вектору
\({\mathbf{U}_1} = {\left( {3,1,1} \right)^T}.\) Возьмем, например, найденный в начале решения вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {5,0,1} \right)^T}.\)
Вычисленные три линейно-независимых вектора \({\mathbf{U}_1},\) \({\mathbf{U}_2}\) и \({\mathbf{V}_2}\) образуют
жорданов базис. Общее решение системы уравнений выражается в виде
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) }
= {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{U}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{U}_1} + {\mathbf{U}_2}} \right) + {C_3}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2} }
= {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1\\
1
\end{array}} \right) + {C_2}{e^t}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
1\\
1
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right)} \right] }
+ {{C_3}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
0\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Пример 8
Решить систему линейных однородных уравнений
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = - 7x - 5y - 3z,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = 2x - 2y - 3z,}\;\;
{\frac{{dz}}{{dt}} = y.}
\]
Решение.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
\[
{\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 7 - \lambda }&{ - 5}&{ - 3}\\
2&{ - 2 - \lambda }&{ - 3}\\
0&1&{ - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( { - 7 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - 2 - \lambda } \right)\left( { - \lambda } \right) + 3} \right] - 2\left( {5\lambda + 3} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {\lambda + 7} \right)\left( {{\lambda ^2} + 2\lambda + 3} \right) + 10\lambda + 6 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^3} + 7{\lambda ^2} + 2{\lambda ^2} + 14\lambda + 3\lambda + 21 + 10\lambda + 6 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^3} + 9{\lambda ^2} + 27\lambda + 27 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( {\lambda + 3} \right)^3} = 0.}
\]
Следовательно, матрица \(A\) имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = - 3\) с алгебраической кратностью \({k_1} = 3.\)
Вычислим ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I:\)
\[
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 7 + 3}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&{ - 2 + 3}&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right) }
\sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{ \cdot \small{\left( { - 1} \right)}\normalsize}\\
{}\\
{}
\end{array} }
\sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
2&1&{ - 3}\\
4&5&3\\
0&1&3
\end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}}
{}\\
\small{{R_2} - 2{R_1}}\normalsize\\
{}
\end{array} }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
2&1&{ - 3}\\
0&3&9\\
0&1&3
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right).}
\]
Видно, что \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2,\) геометрическая кратность числа \({\lambda _1} = - 3\) равна
\[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\]
Здесь мы встречаемся со случаем \(8,\) где имеется жорданова клетка размером \(3 \times 3.\) Соответствующая жорданова цепочка будет состоять
из одного собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) и двух присоединенных векторов \({\mathbf{V}_2},\) \({\mathbf{V}_3}.\)
Для этих векторов, образующих жорданов базис, будут выполняться следующие соотношения:
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;\;
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\;\;
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_3} = {\mathbf{V}_2}.}
\]
Убедимся, что \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3} = 0:\)
\[
{{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2} }
= {{\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right)^2} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{16 - 10 + 0}&{20 - 5 - 3}&{12 + 15 - 9}\\
{ - 8 + 2 + 0}&{ - 10 + 1 - 3}&{ - 6 - 3 - 9}\\
{0 + 2 + 0}&{0 + 1 + 3}&{0 - 3 + 9}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
6&{12}&{18}\\
{ - 6}&{ - 12}&{ - 18}\\
2&4&6
\end{array}} \right),}
\]
\[
{{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
6&{12}&{18}\\
{ - 6}&{ - 12}&{ - 18}\\
2&4&6
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 24 + 24 + 0}&{ - 30 + 12 + 18}&{ - 18 - 36 + 54}\\
{24 - 24 + 0}&{ - 30 + 12 + 18}&{18 + 36 - 54}\\
{ - 8 + 8 + 0}&{ - 10 + 4 + 6}&{ - 6 - 12 + 18}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}} \right) = 0.}
\]
Таким образом
\[\ker {\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3} = {R^3},\]
т.е. ядро оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3}\) совпадает со всем пространством.
Поэтому мы можем выбрать произвольный ненулевой вектор \({\mathbf{V}_3}\) для формирования жордановой цепочки. Возьмем, например, вектор
\({\mathbf{V}_3} = {\left( {1,0,0} \right)^T}\) и убедимся, что он не принадлежит ядру оператора
\({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}:\)
\[
{{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}{\mathbf{V}_3} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
6&{12}&{18}\\
{ - 6}&{ - 12}&{ - 18}\\
2&4&6
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{6 + 0 + 0}\\
{ - 6 + 0 + 0}\\
{2 + 0 + 0}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
{ - 6}\\
2
\end{array}} \right) \ne \mathbf{0}.}
\]
Вычислим теперь векторы \({\mathbf{V}_2}\) и \({\mathbf{V}_1}\) из цепочки соотношений
\[{\mathbf{V}_1} = \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}{\mathbf{V}_3}.\]
Наша цель − получить ненулевой вектор \({\mathbf{V}_1},\) т.е. построить жорданов базис. Если вектор
\({\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},\) то в качестве начального вектора \({\mathbf{V}_3}\) можно взять вектор
\({\left( {0,1,0} \right)^T}\) или \({\left( {0,0,1} \right)^T}.\) В одном из трех вариантов мы обязательно
получим ненулевой вектор \({\mathbf{V}_1}.\) Это следует из того, что ядро оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}\) не совпадает со
всем пространством и, поэтому, не может иметь три линейно-независимых вектора.
Продолжая вычисления, находим \({\mathbf{V}_2}\) и \({\mathbf{V}_1}:\)
\[
{{\mathbf{V}_2} = \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_3} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4 + 0 + 0}\\
{2 + 0 + 0}\\
{0 + 0 + 0}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
2\\
0
\end{array}} \right),}
\]
\[
{{\mathbf{V}_1} = \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&1&{ - 3}\\
0&1&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-4\\
2\\
0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{16 - 10 + 0}\\
{-8 + 2 + 0}\\
{0 + 2 + 0}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{6}\\
{-6}\\
2
\end{array}} \right),}
\]
Итак, мы определили жорданов базис, состоящий из векторов
\[
{{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
{ - 6}\\
2
\end{array}} \right),}\;\;
{{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
2\\
0
\end{array}} \right),}\;\;
{{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right).}
\]
Сделаем проверку, используя формулу преобразования матрицы \(A\) к жордановой форме \(J:\)
\[{H^{ - 1}}AH = J.\]
Здесь матрица \(H\) составляется из базисных векторов \({\mathbf{V}_1},\) \({\mathbf{V}_2},\) \({\mathbf{V}_3}:\)
\[H = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}
6&{ - 4}&1\\
{ - 6}&2&0\\
2&0&0
\end{array}} \right).\]
Обратная матрица \({H^{ - 1}}\) равна:
\[{H^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{\frac{1}{2}}\\
0&{\frac{1}{2}}&{\frac{3}{2}}\\
1&2&3
\end{array}} \right).\]
Перемножая матрицы, получаем
\[
{{H^{ - 1}}AH }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{\frac{1}{2}}\\
0&{\frac{1}{2}}&{\frac{3}{2}}\\
1&2&3
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 7}&{ - 5}&{ - 3}\\
2&{ - 2}&{ - 3}\\
0&1&0
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
6&{ - 4}&1\\
{ - 6}&2&0\\
2&0&0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
0&{\frac{1}{2}}&0\\
1&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{3}{2}}\\
{ - 3}&{ - 6}&{ - 9}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
6&{ - 4}&1\\
{ - 6}&2&0\\
2&0&0
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
\color{blue}{ - 3}&\color{blue}1&\color{blue}0\\
\color{blue}0&\color{blue}{ - 3}&\color{blue}1\\
\color{blue}0&\color{blue}0&\color{blue}{ - 3}
\end{array}} \right) = J}
\]
В результате мы получили жорданову форму с одной клеткой размером \(3 \times 3.\)
Общее решение системы имеет вид:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) }
+ {{C_3}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {\frac{{{t^2}}}{{2!}}{\mathbf{V}_1} + t{\mathbf{V}_2} + {\mathbf{V}_3}} \right) }
= {{C_1}{e^{ - 3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
{ - 6}\\
2
\end{array}} \right) }
+ {{C_2}{e^{ - 3t}}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
{ - 6}\\
2
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
2\\
0
\end{array}} \right)} \right] }
+ {{C_3}{e^{ - 3t}}\left[ {\frac{{{t^2}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
{ - 6}\\
2
\end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
2\\
0
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right)} \right].}
\]