Построение общего решения системы уравнений с помощью жордановой формы

Снова рассмотрим линейную однородную систему \(n\) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: \[\mathbf{X}'\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right),\] где \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right).} \] Фундаментальная система решений такой системы должна включать в себя \(n\) линейно-независимых функций. При построении решения с использованием метода собственных значений и собственных векторов часто оказывается, что число собственных векторов меньше \(n,\) т.е. для таких систем не существует базиса, состоящего лишь из собственных векторов. В этом случае решение можно искать, например, методом неопределенных коэффициентов. Однако существует более общий и элегантный способ построения общего решения. Он основан на том факте, что любую квадратную матрицу можно привести к так называемой жордановой нормальной форме (строго говоря, это справедливо над полем комплексных чисел). Зная жорданову форму матрицы и жорданов базис, можно составить общее решение системы уравнений. Рассмотрим эту технику решения более подробно. Предварительно введем некоторые базовые определения. Жорданову форму можно рассматривать как обобщение квадратной диагональной матрицы. На ее диагонали размещаются т.н. жордановы клетки, соответствующие собственным значениям \({\lambda _i}\) исходной матрицы. Собственные числа \({\lambda _i}\) могут быть равными в различных клетках. Структура жордановой матрицы может выглядеть, например, так: \[ J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \color{blue}{{\lambda _1}}& \color{blue}{1}&{0}&{0}&{0}&{0}\\ \color{blue}{0}&\color{blue}{{\lambda _1}}&{0}&{0}& 0 &{0}\\ {0}&{0}&\color{red}{{\lambda _2}}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&\color{Green}{{\lambda _3}}&\color{Green}1&\color{Green}0\\ {0}& 0 &{0}&\color{Green}0&\color{Green}{{\lambda _3}}&\color{Green}1\\ {0}&{0}&{0}&\color{Green}0&\color{Green}0&\color{Green}{{\lambda _3}} \end{array}} \right), \] где разным цветом выделены элементы матрицы, соответствующие трем различным жордановым клеткам. Сами собственные значения матрицы \({\lambda _i}\) находятся на главной диагонали, причем каждое собственное число \({\lambda _i}\) встречается столько раз, какова его алгебраическая кратность \({k_i}.\) В каждой клетке размером более \(1\) имеется параллельный ряд над главной диагональю, состоящий из единиц. Все остальные элементы жордановой матрицы равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице определен неоднозначно. Рассмотрим жорданову клетку размером \(k\) с собственным значением \({\lambda}.\) Такой клетке соответствует \(k\) базисных векторов \({\mathbf{V}_1},{\mathbf{V}_2}, \ldots ,{\mathbf{V}_k}.\) Вектор \({\mathbf{V}_1}\;\left( {{\mathbf{V}_1} \ne 0} \right)\) среди них является собственным и удовлетворяет уравнению \[A{\mathbf{V}_1} = \lambda {\mathbf{V}_1},\;\; \Rightarrow \left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\] Вектор \({\mathbf{V}_2}\;\left( {{\mathbf{V}_2} \ne 0} \right)\) определяется из уравнения \[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}\] и называется присоединенным вектором первого порядка. Аналогично находятся другие присоединенные векторы более высокого порядка: \[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_3} = {\mathbf{V}_2},\] \[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\] \[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_k} = {\mathbf{V}_{k-1}}.\] Заметим, что из соотношений \[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}\;\;\text{и}\;\;\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}\] следует, что \[{\left( {A - \lambda I} \right)^2}{\mathbf{V}_2} = \mathbf{0}.\] Для присоединенного вектора \({\mathbf{V}_k}\) порядка \(k\) будет справедливо равенство \[{\left( {A - \lambda I} \right)^k}{\mathbf{V}_k} = \mathbf{0}.\] Цепочка векторов \({\mathbf{V}_1},{\mathbf{V}_2}, \ldots ,{\mathbf{V}_k},\) состоящая из собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) и присоединенных векторов \({\mathbf{V}_2}, \ldots ,{\mathbf{V}_k},\) является линейно-независимой и называется жордановой цепочкой. Каждой жордановой цепочке длины \(k\) соответствует \(k\) линейно-независимых решений однородной системы в виде \[{\mathbf{X}_1} = {e^{\lambda t}}{\mathbf{V}_1},\] \[{\mathbf{X}_2} = {e^{\lambda t}}\left( {\frac{t}{{1!}}{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right),\] \[{\mathbf{X}_3} = {e^{\lambda t}}\left( {\frac{{{t^2}}}{{2!}}{\mathbf{V}_1} + \frac{t}{{1!}}{\mathbf{V}_2} + {\mathbf{V}_3}} \right),\] \[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\] \[{\mathbf{X}_k} = {e^{\lambda t}}\left( {\frac{{{t^{k - 1}}}}{{\left( {k - 1} \right)!}}{\mathbf{V}_1} + \cdots + \frac{t}{{1!}}{\mathbf{V}_{k - 1}} + {\mathbf{V}_k}} \right).\] Полное число всех решений равно сумме длин жордановых цепочек для всех клеток, т.е. равно размеру матрицы \(n.\) Совокупность таких линейно-независимых векторных функций составляет фундаментальную систему решений. На практике наиболее часто встречаются системы дифференциальных уравнений \(2\)-го и \(3\)-го порядка. Рассмотрим все случаи жордановых форм, которые могут встретиться в таких системах, и соответствующие им формулы общего решения. Всего существует \(8\) различных случаев (\(3\) для матрицы \(2 \times 2\) и \(5\) для матрицы \(3 \times 3\)). Данную классификацию удобно проиллюстрировать следующей таблицей:

Теперь обсудим, как можно вычислить собственные и присоединенные векторы в указанных случаях и построить общее решение. В этом случае жорданова форма имеет обычный диагональный вид. Каждому собственному значению \({\lambda _i}\) соответствует один собственный вектор \({\mathbf{V}_i},\) который находится из матричного уравнения \[\left( {A - {\lambda _i}I} \right){\mathbf{V}_i} = \mathbf{0}.\] Общее решение выражается формулой \[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2}.\] Данная матрица имеет единственное собственное значение кратностью \(2.\) Ранг матрицы при этом значении \({\lambda _1}\) равен 0. Поэтому геометрическая кратность будет равна \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 0 = 2,\] т.е. при решении уравнения \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}} = \mathbf{0}\] получается два линейно-независимых собственных вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}.\) Общее решение системы имеет почти такой же вид, как и в случае \(1:\) \[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2}.\] Здесь ранг матрицы равен \(1.\) Следовательно, геометрическая кратность собственного числа \({\lambda _1}\) и количество собственных векторов равно \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 1 = 1.\] Этот собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) находится из уравнения \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\] Для построения фундаментальной системы решений не хватает еще одного линейно-независимого вектора. Вкачестве такого вектора возьмем присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T},\) удовлетворяющий уравнению \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}.\] Если из найденных собственного и присоединенного векторов составить матрицу \(H,\) равную \[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}&{{V_{12}}}\\ {{V_{21}}}&{{V_{22}}} \end{array}} \right),\] то жорданова форма \(J\) находится с помощью соотношения \[{H^{ - 1}}AH = J,\] где \({H^{ - 1}}\) − матрица, обратная к \(H.\) Это свойство можно использовать для проверки правильности определения собственных и присоединенных векторов. Общее решение системы представляется в виде: \[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right).\] Здесь жорданова форма имеет диагональный вид. Каждому собственному числу \({\lambda _i}\) соответствует свой собственный вектор \({\mathbf{V}_i},\) который определяется из уравнения \[\left( {A - {\lambda _i}I} \right){\mathbf{V}_i} = \mathbf{0}.\] Общее решение системы \(3\)-х дифференциальных уравнений записывается в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} } + {{C_3}{e^{{\lambda _3}t}}{\mathbf{V}_3}.} \] В данном случае характеристическое уравнение имеет два корня, один из которых кратный \(\left( {{k_1} = 2} \right).\) При подстановке этого кратного корня \({\lambda _1}\) матрица \(A - {\lambda _1}I\) имеет ранг \(1.\) В результате у числа \({\lambda _1}\) геометрическая кратность и количество ассоциированных с ним собственных векторов равно \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 1 = 2.\] Оба линейно-независимых собственных вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}\) (им соответствуют две жордановы клетки) определяются из уравнения \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}} = \mathbf{0}.\] Третья клетка в жордановой форме состоит из простого собственного значения \({\lambda _2}\left( {{k_2} = 1,{s_2} = 1} \right)\) Собственный вектор \({\mathbf{V}_3}\) для этого числа находится из уравнения \[\left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_3} = \mathbf{0}.\] Общее решение системы выражается формулой \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2} } + {{C_3}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_3}.} \] Этот случай отличается от предыдущего тем, что для первого собственного числа \({\lambda _1}\) удается найти лишь один собственный вектор \({\mathbf{V}_1},\) который удовлетворяет уравнению \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\] Здесь ранг матрицы для числа \({\lambda _1}\) равен \(2:\) \[ {\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2,}\;\; {\Rightarrow {s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.} \] Недостающий линейно-независимый вектор находится как вектор \({\mathbf{V}_2},\) присоединенный к \({\mathbf{V}_1}:\) \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}.\] Другое собственное значение \({\lambda _2}\) (соответствующее второй жордановой клетке) обеспечивает еще один собственный вектор \({\mathbf{V}_3}.\) Общее решение системы имеет вид: \[\require{AMSmath.js} {\mathbf{X}\left( t \right) = \underbrace {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right)}_{\substack{ \text{1-ая жорданова}\\ \text{клетка}}} } + {\underbrace {{C_3}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_3}}_{\substack{ \text{2-ая жорданова}\\ \text{клетка}}}.} \] Здесь жорданова форма состоит из двух клеток с одинаковым собственным значением \({\lambda _1}.\) Первая клетка имеет один собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) и один присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2}.\) Они находятся из соотношений \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1}.} \] Первое уравнение имеет два решения в виде двух собственных векторов (поскольку \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 1\)). Второй собственный вектор (обозначим его как \({\mathbf{V}_3}\)) связан со второй жордановой клеткой. Общее решение системы описывается выражением \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \underbrace {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right)}_{\substack{ \text{1-ая жорданова}\\ \text{клетка}}} } + {\underbrace {{C_3}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_3}}_{\substack{ \text{2-ая жорданова}\\ \text{клетка}}}.} \] В этом случае линейный оператор \(A\) имеет одно собственное значение \({\lambda _1}\) кратностью \({k_1} = 3.\) При этом ранг матрицы \(\left( {A - {\lambda _1}I} \right)\) равен \(2.\) Это приводит к тому, что уравнение \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}\] имеет решение в виде единственного собственного вектора \({\mathbf{V}_1}.\) Недостающие \(2\) линейно-независимых вектора определяются как присоединенные векторы из цепочки соотношений \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\; {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_3} = {\mathbf{V}_2}.} \] Общее решение имеет вид: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) } + {{C_3}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {\frac{{{t^2}}}{{2!}}{\mathbf{V}_1} + t{\mathbf{V}_2} + {\mathbf{V}_3}} \right).} \] Ниже мы рассмотрим примеры систем уравнений, соответствующие случаям \(1 - 8.\) Случаи \(1,2,4,5\) с "достаточным" количеством собственных векторов представлены также на странице Метод собственных значений и собственных векторов.

Пример 1

Решить систему уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = 2x - 3y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - x + 4y.\] Составим характеристическое уравнение для данной матрицы и найдем собственные значения: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - \lambda }&{ - 3}\\ { - 1}&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) - 3 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 4\lambda - 2\lambda + 8 - 3 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 6\lambda + 5 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 1,\;{\lambda _2} = 5.} \] Вычислим собственные векторы для каждого собственного числа. Подставляя \({\lambda _1} = 1,\) найдем вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 1}&{ - 3}\\ { - 1}&{4 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 1}&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{11}} - 3{V_{21}} = 0}\\ { - {V_{11}} + 3{V_{21}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} - 3{V_{21}} = 0.} \] Видно, что ранг этой матрицы равен \(1.\) Следовательно, геометрическая кратность собственного значения \({\lambda _1} = 1\) составляет \[{s_1} = n - \left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 1 = 1.\] Соответственно, существует один собственный вектор. Его координаты равны: \[ {{V_{21}} = t,\;\; \Rightarrow {V_{11}} = 3{V_{21}} = 3t,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3t}\\ t \end{array}} \right) = t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right).} \] Аналогично вычислим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\) для собственного числа \({\lambda _2} = 5:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 5}&{ - 3}\\ { - 1}&{4 - 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 3{V_{12}} - 3{V_{22}} = 0}\\ { - {V_{12}} - {V_{22}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow {V_{12}} + {V_{22}} = 0.} \] Пусть \({V_{22}} = t.\) Тогда \[ {{V_{12}} = - {V_{22}} = - t,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - t}\\ t \end{array}} \right) = t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right).} \] Как видно, здесь мы имеем случай простых собственных чисел (случай \(1\)). Общее решение системы выражается в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{5t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right).} \]

Пример 2

Найти общее решение системы уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = - x,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - y.\] Как обычно, определим сначала собственные значения, решив характеристическое уравнение \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \lambda }&0\\ 0&{ - 1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( { - 1 - \lambda } \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = - 1.} \] Следовательно, матрица системы имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = - 1\) кратности \({k_1} = 2.\) Найдем собственные векторы для этого значения \({\lambda _1}.\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \left( { - 1} \right)}&0\\ 0&{ - 1 - \left( { - 1} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0}\\ {0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow 0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0.} \] Как видно, в данном случае любой вектор является собственным. Поэтому в качестве пары линейно-независимых собственных векторов можно выбрать единичные орты: \[{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right),\;\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right).\] Здесь мы встречаемся со случаем \(2:\) у системы двух дифференциальных уравнений имеется одно собственное значение, алгебраическая и геометрическая кратность которого равны \(2.\) Общее решение системы записывается в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2} } = {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right).} \]

Пример 3

Найти общее решение системы уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = 2x - y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + 4y.\] Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - \lambda }&{ - 1}\\ 1&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 6\lambda + 5 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 3} \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 3.} \] Матрица системы имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = 3\) с алгебраической кратностью \({k_1} = 2.\) Определим собственные векторы, соответствующие числу \({\lambda _1} = 3.\) Пусть \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}.\) Получаем: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 3}&{ - 1}\\ 1&{4 - 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {V_{11}} - {V_{21}} = 0}\\ {{V_{11}} + {V_{21}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} + {V_{21}} = 0.} \] Пусть \({V_{21}} = t.\) Тогда координаты вектора \({\mathbf{V}_1}\) равны \[ {{V_{11}} = - {V_{21}} = - t,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - t}\\ t \end{array}} \right) = t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right).} \] Проверим, правильно ли мы вычислили собственный вектор \({\mathbf{V}_1}.\) По определению, для собственного вектора должно быть справедливо соотношение \[A{\mathbf{V}_1} = {\lambda _1}{\mathbf{V}_1}.\] Подставляя известные значения, получаем: \[ {A{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - 1}\\ { - 1 + 4} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 3 \end{array}} \right) } = {3\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) } = {{\lambda _1}{\mathbf{V}_1}.} \] Данная комбинация величин \(\left( {{k_1} = 2,{s_1} = 1} \right)\) соответствует случаю \(3,\) в котором решение описывается одной жордановой клеткой. Для построения общего решения системы нужно определить присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}.\) Найдем его из матричного уравнения \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {V_{12}} - {V_{22}} = - 1}\\ {{V_{12}} + {V_{22}} = 1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow {V_{12}} + {V_{22}} = 1,}\;\; {\Rightarrow \text{для}\;{V_{22}} = 0,\;{V_{11}} = 1\;\text{имеем}\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right).} \] Сделаем еще одну проверку, чтобы убедиться, что присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2}\) вычислен верно. Воспользуемся формулой преобразования исходной матрицы \(A\) к жордановой нормальной форме \(J:\) \[{H^{ - 1}}AH = J.\] Здесь матрица \(H\) составляется из найденных векторов: \[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}&{{V_{12}}}\\ {{V_{21}}}&{{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 1&0 \end{array}} \right).\] Обратная матрица \({H^{ - 1}}\) будет равна: \[ {{H^{ - 1}} = \frac{1}{\Delta }{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{12}}}\\ {{A_{21}}}&{{A_{22}}} \end{array}} \right)^T} } = {\frac{1}{{\left( { - 1} \right)}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right)^T} } = { - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&1 \end{array}} \right).} \] где \({{A_{ij}}}\) − алгебраические дополнения к элементам матрицы \(H,\) \(\Delta\) − ее определитель. После подстановки убеждаемся, что результатом преобразований является жорданова форма: \[ {{H^{ - 1}}AH } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 1&0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 1}&{0 + 4}\\ {2 + 1}&{ - 1 + 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 1&0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 3&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 1&0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 + 4}&{1 + 0}\\ { - 3 + 3}&{3 + 0} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \color{blue}3&\color{blue}1\\ \color{blue}0&\color{blue}3 \end{array}} \right) = J} \] Общее решение системы дифференциальных уравнений описывается формулой \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) } = {{C_1}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{3t}}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) } + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)} \right].} \]

Пример 4

Решить систему уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - 4x - 6y - 6z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + 3y + z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = 2x + 4z.} \] Составим характеристическое уравнение и вычислим его корни: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4 - \lambda }&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&{3 - \lambda }&1\\ 2&0&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0.} \] Раскладываем определитель по третьей строке: \[ {2\left[ { - 6 + 6\left( {3 - \lambda } \right)} \right] + \left( {4 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - 4 - \lambda } \right)\left( {3 - \lambda } \right) + 6} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow 2\left( { - 6\lambda + 12} \right) + \left( {4 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} + \lambda - 6} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow - 12\lambda + 24 + 4{\lambda ^2} - {\lambda ^3} + 4\lambda - {\lambda ^2} - 24 + 6\lambda = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} + 2\lambda = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - 2} \right) = 0.} \] Следовательно, матрица имеет три различных собственных значения: \({\lambda _1} = 0,\) \({\lambda _2} = 1,\) \({\lambda _3} = 2.\) Вычислим собственные векторы \({\mathbf{V}_1},{\mathbf{V}_2},{\mathbf{V}_3}\) для этих собственных значений. Для собственного числа \({\lambda _1} = 0\) находим \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&3&1\\ 2&0&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.} \] Определим ранг данной системы уравнений: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \left. { - 4{V_{11}} - 6{V_{12}} - 6{V_{31}} = 0\;} \right| \cdot \small{\left( { - 1} \right)}\normalsize\\ {V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\ 2{V_{11}} + 0 + 4{V_{31}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ \begin{array}{l} {V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\ 4{V_{11}} + 6{V_{12}} + 6{V_{31}} = 0\\ 2{V_{11}} + 0 + 4{V_{31}} = 0 \end{array} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - 4{R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} - 2{R_1}}\normalsize \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\ {0 - 6{V_{21}} + 2{V_{31}} = 0}\\ {0 - 6{V_{21}} + 2{V_{31}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\ {3{V_{21}} - {V_{31}} = 0} \end{array}} \right..} \] В этом случае ранг матрицы равен \(2,\) геометрическая кратность собственного значения \({\lambda _1}\) равна \(1.\) Чтобы найти вектор \({\mathbf{V}_1},\) ассоциированный с числом \({\lambda _1},\) положим \({V_{31}} = t.\) В результате получаем: \[ {3{V_{21}} = {V_{31}} = t,}\;\; {\Rightarrow {V_{21}} = \frac{t}{3},}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} = - 3{V_{21}} - {V_{31}} } = { - 3 \cdot \frac{t}{3} - t = - 2t.} \] Следовательно, \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2t}\\ {\frac{t}{3}}\\ t \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6t}\\ t\\ {3t} \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right).} \] Правильность вычисления собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) можно проверить, используя определение собственного вектора. Подставляя координаты вектора \({\mathbf{V}_1},\) получаем для \({\lambda _1} = 0:\) \[ {A{\mathbf{V}_1} = {\lambda _1}{\mathbf{V}_1} = 0 \cdot {\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&3&1\\ 2&0&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24 - 6 - 18}\\ { - 6 + 3 + 3}\\ { - 12 + 0 + 12} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right).} \] Аналогично определим вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T}:\) для собственного числа \({\lambda _2} = 1:\) \[ {\left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},\;\; \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4 - 1}&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&{3 - 1}&1\\ 2&0&{4 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{12}} + 2{V_{22}} + {V_{32}} = 0}\\ { - 5{V_{12}} - 6{V_{22}} - 6{V_{32}} = 0}\\ {2{V_{12}} + 0 + 3{V_{32}} = 0} \end{array}} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ \small{{R_2} + 5{R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} - 2{R_1}}\normalsize \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{12}} + 2{V_{22}} + {V_{32}} = 0}\\ {0 + 4{V_{22}} - {V_{32}} = 0}\\ {0 + 4{V_{22}} - {V_{32}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{12}} + 2{V_{22}} + {V_{32}} = 0}\\ {4{V_{22}} - {V_{32}} = 0} \end{array}} \right..} \] Таким образом, видно, что \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _2}I} \right) = 2.\) Геометрическая кратность корня \({\lambda _2} = 1\) равна \({s_2} = 1.\) Положим \({V_{32}} = t\) и выразим другие координаты \({V_{12}}, {V_{22}}\) через \(t:\) \[ {4{V_{22}} = {V_{32}} = t,}\;\; {\Rightarrow {V_{22}} = \frac{t}{4},}\;\; {\Rightarrow {V_{12}} = - 2{V_{22}} - {V_{32}} } = { - 2 \cdot \frac{t}{4} - t = - \frac{3}{2}t.} \] Итак, собственный вектор \({\mathbf{V}_2}\) равен: \[ {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{2}t}\\ {\frac{t}{4}}\\ t \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6t}\\ t\\ {4t} \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 4 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 4 \end{array}} \right).} \] Проверка: \[ {A{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&3&1\\ 2&0&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 4 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24 - 6 - 24}\\ { - 6 + 3 + 4}\\ { - 12 + 0 + 16} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 4 \end{array}} \right) } = {1 \cdot {\mathbf{V}_2} = {\lambda _2}{\mathbf{V}_2}.} \] Теперь найдем вектор \({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T},\) ассоциированный с собственным значением \({\lambda _3} = 2:\) \[ {\left( {A - {\lambda _3}I} \right){\mathbf{V}_3} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4 - 2}&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&{3 - 2}&1\\ 2&0&{4 - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 6{V_{13}} - 6{V_{23}} - 6{V_{33}} = 0}\\ {{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {2{V_{13}} + 0 + 2{V_{33}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {{V_{13}} + 0 + {V_{33}} = 0} \end{array}} \right..} \] Видно, что \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _3}I} \right) = 2.\) Полагая \({V_{33}} = t,\) вычислим координаты \({V_{13}}, {V_{23}}:\) \[ {{V_{13}} = - {V_{33}} = - t,}\;\; {\Rightarrow {V_{23}} = - {V_{33}} - {V_{13}} = t - t = 0.} \] Следовательно, \[ {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - t}\\ 0\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right).} \] Снова сделаем проверку: \[ {A{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}&{ - 6}&{ - 6}\\ 1&3&1\\ 2&0&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 + 0 - 6}\\ { - 1 + 0 + 1}\\ { - 2 + 0 + 4} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 0\\ 2 \end{array}} \right) } = {2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) } = {2{\mathbf{V}_3} = {\lambda _3}{\mathbf{V}_3}.} \] Итак, найдены все собственные векторы. Теперь можно записать общее решение системы, которое в данном случае имеет вид: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {\sum\limits_{i = 1}^3 {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}{\mathbf{V}_i}} } = {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 4 \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right).} \]

Пример 5

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = x - y - z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = - x + y - z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = - x - y + z.} \] Вычислим корни характеристического уравнения: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&{1 - \lambda }&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {1 - \lambda } \right)}^2} - 1} \right] } + {1 \cdot \left[ { - \left( {1 - \lambda } \right) - 1} \right] } - {1 \cdot \left[ {1 + \left( {1 - \lambda } \right)} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 2\lambda } \right) + 2\lambda - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 2\lambda - {\lambda ^3} + 2{\lambda ^2} + 2\lambda - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} + 4 = 0.} \] Можно заметить, что одним из корней кубического уравнения является число \({\lambda _1} = - 1.\) Тогда, выделяя множитель \(\left( {\lambda + 1} \right),\) получаем: \[ {{\lambda ^3} + {\lambda ^2} - 4{\lambda ^2} - 4\lambda + 4\lambda + 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda + 1} \right) - 4\lambda \left( {\lambda + 1} \right) + 4\left( {\lambda + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 4} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 1} \right){\left( {\lambda - 2} \right)^2} = 0.} \] Таким образом, данная система имеет два собственных значения: \({\lambda _1} = - 1\) кратностью \({k_1} = 1\) и \({\lambda _2} = 2\) кратностью \({k_2} = 2.\) Определим собственные векторы. Для числа \({\lambda _1} = - 1\) ранг матрицы равен: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 1}&{ - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&{1 + 1}&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&{1 + 1} \end{array}} \right) } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&2&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&2 \end{array}} \right)} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ \small{2{R_2} + {R_1}}\normalsize\\ \small{2{R_3} + {R_1}}\normalsize \end{array}} \right. } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ 0&3&{ - 3}\\ 0&{ - 3}&3 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ 0&1&{ - 1} \end{array}} \right).} \] Поскольку \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2,\) то данному собственному значению соответствует один собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}:\) \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\] Найдем его координаты из системы уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} 2{V_{11}} - {V_{21}} - {V_{31}} = 0\\ 0 + {V_{21}} - {V_{31}} = 0 \end{array} \right..\] Пусть \({V_{31}} = t.\) Тогда \[ {{V_{21}} = {V_{31}} = t,}\;\; {\Rightarrow 2{V_{11}} = {V_{21}} + {V_{31}} = t + t = 2t,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} = t.} \] Таким образом, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) равен \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ t\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Рассмотрим теперь второе собственное значение \({\lambda _2} = 2,\) алгебраическая кратность которого \({k_2} = 2.\) Определим ранг матрицы \(A - {\lambda _2}I\) и геометрическую кратность \({s_2}:\) \[ {A - {\lambda _2}I } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 2}&{ - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&{1 - 2}&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&{1 - 2} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&{ - 1} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&{ - 1} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1 \end{array}} \right).} \] Следовательно, \[{s_2} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _2}I} \right) = 3 - 1 = 2.\] В этом случае матрица имеет два собственных вектора (т.е. мы имеем случай \(5\)). Если обозначить \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T},\) \({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T},\) то координаты обоих этих векторов будут удовлетворять уравнениям \[ {{V_{12}} + {V_{22}} + {V_{32}} = 0}\;\;\; {\text{и}\;\;\;{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0.} \] Выбирая координаты \(y, z\) в виде свободных переменных и полагая их равными \(\left( {0,1} \right)\) для \({\mathbf{V}_2}\) и \(\left( {1,0} \right)\) для \({\mathbf{V}_3},\) получаем следующие линейно-независимые векторы: \[ {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 0 \end{array}} \right).} \] Собирая все компоненты общего решения, можно представить его в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 0 \end{array}} \right).} \]

Пример 6

Найти общее решение системы уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - 3x - 6y + 6z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + 6z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = - y + 4z.} \] Вычислим собственные значения: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 - \lambda }&{ - 6}&6\\ 1&{0 - \lambda }&6\\ 0&{ - 1}&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( { - 3 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 6} \right] } - {1 \cdot \left[ {\left( { - 6} \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 6} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 3} \right)\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 6} \right) + 6\lambda - 18 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} + 3{\lambda ^2} - 4{\lambda ^2} - 12\lambda + 6\lambda + 18 + 6\lambda - 18 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} - {\lambda ^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) = 0.} \] Видно, что существуют два собственных значения: \({\lambda _1} = 0\) кратностью \({k_1} = 2\) и \({\lambda _2} = 1\) кратностью \({k_2} = 1.\) Вычислим ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I:\) \[ {A - {\lambda _1}I = \left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 3}&{ - 6}&6\\ 1&0&6\\ 0&{ - 1}&4 \end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {:\small{\left( { - 3} \right)}\normalsize}\\ {}\\ {} \end{array} } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&2&{ - 2}\\ 1&0&6\\ 0&{ - 1}&4 \end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - {R_1}}\normalsize\\ {} \end{array} } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&2&{ - 2}\\ 0&{ - 2}&8\\ 0&{ - 1}&4 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&2&{ - 2}\\ 0&{ - 1}&4 \end{array}} \right).} \] Следовательно, \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2\) и, соответственно, геометрическая кратность \({s_1}\) собственного числа \({\lambda _1} = 0\) равна: \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\] Ясно, что мы имеем дело со случаем \(6,\) где жорданова форма содержит \(2\) клетки, одна из которых ассоциируется с одним собственным и одним присоединенным вектором. Найдем сначала собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T},\) решив матричное уравнение \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},\] которое эквивалентно системе \[\left\{ \begin{array}{l} {V_{11}} + 2{V_{21}} - 2{V_{31}} = 0\\ 0 - {V_{21}} + 4{V_{31}} = 0 \end{array} \right..\] Пусть \({V_{31}} = t.\) Тогда \[ {{V_{21}} = 4{V_{31}} = 4t,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} = - 2{V_{21}} + 2{V_{31}} } = { - 2 \cdot 4t + 2t = - 6t.} \] Получаем \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6t}\\ {4t}\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 4\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 4\\ 1 \end{array}} \right).} \] Теперь вычислим присоединенный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T}:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 6}&6\\ 1&0&6\\ 0&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 4\\ 1 \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 3{V_{12}} - 6{V_{22}} + 6{V_{32}} = - 6}\\ {{V_{12}} + 0 + 6{V_{32}} = 4}\\ {0 - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{12}} + 2{V_{22}} - 2{V_{32}} = 2}\\ {{V_{12}} + 0 + 6{V_{32}} = 4}\\ {0 - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1} \end{array}} \right.\;} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - {R_1}}\normalsize\\ {} \end{array},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{12}} + 2{V_{22}} - 2{V_{32}} = 2}\\ {0 - 2{V_{22}} + 8{V_{32}} = 2}\\ {0 - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{12}} + 2{V_{22}} - 2{V_{32}} = 2}\\ { - {V_{22}} + 4{V_{32}} = 1} \end{array}} \right..} \] Мы можем выбрать любой вектор, удовлетворяющий данным уравнениям. Полагаем \({V_{32}} = 0.\) Тогда остальные координаты равны: \[ {{V_{22}} = 4{V_{32}} - 1 = - 1,}\;\;\; {{V_{12}} = 2{V_{32}} - 2{V_{22}} + 2 } = {0 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 = 4.} \] Итак, координаты присоединенного вектора \({\mathbf{V}_2}\) равны \[ {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1}\\ 0 \end{array}} \right).\] Рассмотрим теперь собственное значение \({\lambda _2} = 1.\) Для него собственный вектор \({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T}\) равен: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 - 1}&{ - 6}&6\\ 1&{0 - 1}&6\\ 0&{ - 1}&{4 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 4{V_{13}} - 6{V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\ {{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\ {0 - {V_{23}} + 3{V_{33}} = 0} \end{array}} \right.\;} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {:\small{\left( { - 2} \right)}\normalsize}\\ {}\\ {} \end{array},}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\ {2{V_{13}} + 3{V_{23}} - 3{V_{33}} = 0}\\ {0 - {V_{23}} + 3{V_{33}} = 0} \end{array}} \right.\;} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - 2{R_1}}\normalsize\\ {} \end{array},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\ {0 + 5{V_{23}} - 15{V_{33}} = 0}\\ {0 - {V_{23}} + 3{V_{33}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} - {V_{23}} + 6{V_{33}} = 0}\\ {{V_{23}} - 3{V_{33}} = 0} \end{array}} \right..} \] Пусть \({V_{33}} = t.\) Тогда \[ {{V_{23}} = 3{V_{33}} = 3t,}\;\; {\Rightarrow {V_{13}} = {V_{23}} - 6{V_{33}} } = {3t - 6t = - 3t.} \] Следовательно, \[ {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3t}\\ {3t}\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 3\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 3\\ 1 \end{array}} \right).} \] Проверим правильность нахождения собственных и присоединенных векторов, используя формулу преобразования матрицы \(A\) к жордановой форме \(J:\) \[ {{H^{ - 1}}AH = J,}\;\; {\text{где}\;\;H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&4&{ - 3}\\ 4&{ - 1}&3\\ 1&0&1 \end{array}} \right).} \] Определитель матрицы \(H\) равен: \[ {\Delta \left( H \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&4&{ - 3}\\ 4&{ - 1}&3\\ 1&0&1 \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left( {12 - 3} \right) + 1 \cdot \left( {6 - 16} \right) } = {9 - 10 = - 1.} \] Составим матрицу \(B\) из алгебраических дополнений: \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\ {{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\ {{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}} \end{array}} \right),\] \[ {{A_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3\\ 0&1 \end{array}} \right| = - 1 - 0 = - 1,}\;\; {{A_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3\\ 1&1 \end{array}} \right| = - \left( {4 - 3} \right) = - 1,}\;\; {{A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right| = 0 + 1 = 1,}\;\; {{A_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 3}\\ 0&1 \end{array}} \right| = - \left( {4 - 0} \right) = - 4,}\;\; {{A_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&{ - 3}\\ 1&1 \end{array}} \right| = - 6 + 3 = - 3,}\;\; {{A_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&4\\ 1&0 \end{array}} \right| = - \left( {0 - 4} \right) = 4,}\;\; {{A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 3}\\ { - 1}&3 \end{array}} \right| = 12 - 3 = 9,}\;\; {{A_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&{ - 3}\\ 4&3 \end{array}} \right| = - \left( { - 18 + 12} \right) = 6,}\;\; {{A_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&4\\ 4&{ - 1} \end{array}} \right| = 6 - 16 = - 10.} \] Следовательно, \[ {B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\ {{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\ {{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 1}&{ - 1}&1\\ { - 4}&{ - 3}&4\\ 9&6&{ - 10} \end{array}} \right).} \] Транспонируя матрицу \(B,\) запишем обратную матрицу \({H^{ - 1}}:\) \[ {{H^{ - 1}} = \frac{1}{{\Delta \left( H \right)}}{B^T} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 1}&{ - 4}&9\\ { - 1}&{ - 3}&6\\ 1&4&{ - 10} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&4&{ - 9}\\ 1&3&{ - 6}\\ { - 1}&{ - 4}&{10} \end{array}} \right).} \] Вычислим произведение трех матриц: \[ {{H^{ - 1}}AH } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&4&{ - 9}\\ 1&3&{ - 6}\\ { - 1}&{ - 4}&{10} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 3}&{ - 6}&6\\ 1&0&6\\ 0&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 6}&4&{ - 3}\\ 4&{ - 1}&3\\ 1&0&1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 + 4 + 0}&{ - 6 + 0 + 9}&{6 + 24 - 36}\\ { - 3 + 3 + 0}&{ - 6 + 0 + 6}&{6 + 18 - 24}\\ {3 - 4 + 0}&{6 + 0 - 10}&{ - 6 - 24 + 40} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 6}&4&{ - 3}\\ 4&{ - 1}&3\\ 1&0&1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&3&{ - 6}\\ 0&0&0\\ { - 1}&{ - 4}&{10} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 6}&4&{ - 3}\\ 4&{ - 1}&3\\ 1&0&1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6 + 12 - 6}&{4 - 3 + 0}&{ - 3 + 9 - 6}\\ 0&0&0\\ {6 - 16 + 10}&{ - 4 + 4 + 0}&{3 - 12 + 10} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \color{blue}0&\color{blue}1&0\\ \color{blue}0&\color{blue}0&0\\ 0&0&\color{red}1 \end{array}} \right) = J.} \] Мы получили жорданову форму \(J,\) у которой в первой клетке на диагонали стоят собственные числа \({\lambda _1} = 0,\) а во второй клетке − число \({\lambda _2} = 1.\) Общее решение системы выражается формулой \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) } + {{C_3}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_3} } = {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 4\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 4\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1}\\ 0 \end{array}} \right)} \right] } + {{C_3}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 3\\ 1 \end{array}} \right).} \]

Пример 7

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = 4x + 6y - 15z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + 3y - 5z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = x + 2y - 4z.} \] Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения: \[\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - \lambda }&6&{ - 15}\\ 1&{3 - \lambda }&{ - 5}\\ 1&2&{ - 4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,\] \[ {\Rightarrow \left( {4 - \lambda } \right)\left[ {\left( {3 - \lambda } \right)\left( { - 4 - \lambda } \right) + 10} \right] } - {1 \cdot \left[ {6\left( { - 4 - \lambda } \right) + 30} \right] } + {1 \cdot \left[ { - 30 + 15\left( {3 - \lambda } \right)} \right] = 0,} \] \[ {\Rightarrow \left( {4 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} + \lambda - 2} \right) } - {\left( { - 6\lambda + 6} \right) } + {\left( {15 - 15\lambda } \right) = 0,} \] \[ {\Rightarrow 4{\lambda ^2} - {\lambda ^3} + 4\lambda } - {{\lambda ^2} - 8 } + {2\lambda + 6\lambda } - {6 + 15 } - {15\lambda = 0,} \] \[ {\Rightarrow {\lambda ^3} - 3{\lambda ^2} + 3\lambda - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 1} \right)^3} = 0.} \] Уравнение имеет один корень \({\lambda _1} = 1\) кратностью \({k_1} = 3.\) Определим ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 1}&6&{ - 15}\\ 1&{3 - 1}&{ - 5}\\ 1&2&{ - 4 - 1} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&{ - 15}\\ 1&2&{ - 5}\\ 1&2&{ - 5} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 5} \end{array}} \right).} \] Ранг равен \(1.\) Поэтому геометрическая кратность собственного значения \({\lambda _1} = 1\) равна \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 1 = 2.\] Отсюда следует, что жорданова форма состоит из двух клеток, т.е. соответствует случаю \(7.\) Найдем собственные векторы \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2},\) ассоциированные с числом \({\lambda _1} = 1.\) Пусть вектор \({\mathbf{V}_1}\) имеет координаты \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}.\) Решаем уравнение \[ {\det \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} + 2{V_{21}} - 5{V_{31}} = 0.} \] Мы можем выбрать две координаты произвольно. Простейшая линейно-независимая пара векторов получается, если положить \(y = 1,z = 0\) для вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \(y = 0,z = 1\) для вектора \({\mathbf{V}_2}.\) Подставляя эти значения в последнее уравнение, находим координаты \(x\) собственных векторов \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}:\) \[{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 1\\ 0 \end{array}} \right),\;\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0\\ 1 \end{array}} \right).\] Здесь нужно иметь ввиду, что в данной системе с рангом \(1\) существует бесконечное множество собственных векторов (лежащих в плоскости \(x + 2y - 5z = 0\)). При этом на данном шаге необязательно, чтобы найденные векторы \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}\) входили в жорданов базис. Рассмотрим жорданову клетку \(2 \times 2.\) Очевидно, что жорданова цепочка состоит из одного собственного вектора и одного присоединенного вектора. Обозначим эти векторы как \({\mathbf{U}_1}\) и \({\mathbf{U}_2}.\) Они должны удовлетворять следующим матричным уравнениям: \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{U}_2} = {\mathbf{U}_1},}\;\; {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{U}_1} = \mathbf{0}.} \] Проверим, что \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2} = 0:\) \[ {{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2} } = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&{ - 15}\\ 1&2&{ - 5}\\ 1&2&{ - 5} \end{array}} \right)^2} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&{ - 15}\\ 1&2&{ - 5}\\ 1&2&{ - 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&{ - 15}\\ 1&2&{ - 5}\\ 1&2&{ - 5} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {9 + 6 - 15}&{18 + 12 - 30}&{ - 45 - 30 + 75}\\ {3 + 2 - 5}&{6 + 4 - 10}&{ - 15 - 10 + 25}\\ {3 + 2 - 5}&{6 + 4 - 10}&{ - 15 - 10 + 25} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right) = 0.} \] Таким образом, любой ненулевой вектор принадлежит ядру оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}.\) Поскольку первый столбец матрицы \({A - {\lambda _1}I}\) не равен нулю, то в качестве присоединенного вектора \({\mathbf{U}_2}\) можно взять единичный орт оси \(Ox:\) \({\mathbf{U}_2} = {\left( {1,0,0} \right)^T}.\) Вычислим вектор \({\mathbf{U}_1}:\) \[ {{\mathbf{U}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&{ - 15}\\ 1&2&{ - 5}\\ 1&2&{ - 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 0 + 0}\\ {1 + 0 + 0}\\ {1 + 0 + 0} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Убедимся, что найденный вектор \({\mathbf{U}_1}\) принадлежит ядру оператора \({A - {\lambda _1}I},\) т.е. является собственным вектором матрицы \(A:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{U}_1} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&6&{ - 15}\\ 1&2&{ - 5}\\ 1&2&{ - 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {9 + 6 - 15}\\ {3 + 2 - 5}\\ {3 + 2 - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) = \mathbf{0}.} \] Итак, мы определили два базисных вектора \({\mathbf{U}_1}\) и \({\mathbf{U}_2},\) связанных с жордановой клеткой \(2 \times 2.\) Другая элементарная клетка \(1 \times 1\) содержит еще один собственный вектор, в качестве которого можно взять любой собственный вектор матрицы \(A,\) который не будет коллинеарен вектору \({\mathbf{U}_1} = {\left( {3,1,1} \right)^T}.\) Возьмем, например, найденный в начале решения вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {5,0,1} \right)^T}.\) Вычисленные три линейно-независимых вектора \({\mathbf{U}_1},\) \({\mathbf{U}_2}\) и \({\mathbf{V}_2}\) образуют жорданов базис. Общее решение системы уравнений выражается в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{U}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{U}_1} + {\mathbf{U}_2}} \right) + {C_3}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_2} } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}{e^t}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)} \right] } + {{C_3}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0\\ 1 \end{array}} \right).} \]

Пример 8

Решить систему линейных однородных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - 7x - 5y - 3z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = 2x - 2y - 3z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = y.} \] Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7 - \lambda }&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&{ - 2 - \lambda }&{ - 3}\\ 0&1&{ - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( { - 7 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - 2 - \lambda } \right)\left( { - \lambda } \right) + 3} \right] - 2\left( {5\lambda + 3} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 7} \right)\left( {{\lambda ^2} + 2\lambda + 3} \right) + 10\lambda + 6 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} + 7{\lambda ^2} + 2{\lambda ^2} + 14\lambda + 3\lambda + 21 + 10\lambda + 6 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} + 9{\lambda ^2} + 27\lambda + 27 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda + 3} \right)^3} = 0.} \] Следовательно, матрица \(A\) имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = - 3\) с алгебраической кратностью \({k_1} = 3.\) Вычислим ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7 + 3}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&{ - 2 + 3}&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right) } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}} { \cdot \small{\left( { - 1} \right)}\normalsize}\\ {}\\ {} \end{array} } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&1&{ - 3}\\ 4&5&3\\ 0&1&3 \end{array}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - 2{R_1}}\normalsize\\ {} \end{array} } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&1&{ - 3}\\ 0&3&9\\ 0&1&3 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right).} \] Видно, что \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2,\) геометрическая кратность числа \({\lambda _1} = - 3\) равна \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\] Здесь мы встречаемся со случаем \(8,\) где имеется жорданова клетка размером \(3 \times 3.\) Соответствующая жорданова цепочка будет состоять из одного собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) и двух присоединенных векторов \({\mathbf{V}_2},\) \({\mathbf{V}_3}.\) Для этих векторов, образующих жорданов базис, будут выполняться следующие соотношения: \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;\; {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\;\; {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_3} = {\mathbf{V}_2}.} \] Убедимся, что \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3} = 0:\) \[ {{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2} } = {{\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right)^2} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {16 - 10 + 0}&{20 - 5 - 3}&{12 + 15 - 9}\\ { - 8 + 2 + 0}&{ - 10 + 1 - 3}&{ - 6 - 3 - 9}\\ {0 + 2 + 0}&{0 + 1 + 3}&{0 - 3 + 9} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 6&{12}&{18}\\ { - 6}&{ - 12}&{ - 18}\\ 2&4&6 \end{array}} \right),} \] \[ {{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 6&{12}&{18}\\ { - 6}&{ - 12}&{ - 18}\\ 2&4&6 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 24 + 24 + 0}&{ - 30 + 12 + 18}&{ - 18 - 36 + 54}\\ {24 - 24 + 0}&{ - 30 + 12 + 18}&{18 + 36 - 54}\\ { - 8 + 8 + 0}&{ - 10 + 4 + 6}&{ - 6 - 12 + 18} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right) = 0.} \] Таким образом \[\ker {\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3} = {R^3},\] т.е. ядро оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^3}\) совпадает со всем пространством. Поэтому мы можем выбрать произвольный ненулевой вектор \({\mathbf{V}_3}\) для формирования жордановой цепочки. Возьмем, например, вектор \({\mathbf{V}_3} = {\left( {1,0,0} \right)^T}\) и убедимся, что он не принадлежит ядру оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}:\) \[ {{\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}{\mathbf{V}_3} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 6&{12}&{18}\\ { - 6}&{ - 12}&{ - 18}\\ 2&4&6 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {6 + 0 + 0}\\ { - 6 + 0 + 0}\\ {2 + 0 + 0} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 6}\\ 2 \end{array}} \right) \ne \mathbf{0}.} \] Вычислим теперь векторы \({\mathbf{V}_2}\) и \({\mathbf{V}_1}\) из цепочки соотношений \[{\mathbf{V}_1} = \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}{\mathbf{V}_3}.\] Наша цель − получить ненулевой вектор \({\mathbf{V}_1},\) т.е. построить жорданов базис. Если вектор \({\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},\) то в качестве начального вектора \({\mathbf{V}_3}\) можно взять вектор \({\left( {0,1,0} \right)^T}\) или \({\left( {0,0,1} \right)^T}.\) В одном из трех вариантов мы обязательно получим ненулевой вектор \({\mathbf{V}_1}.\) Это следует из того, что ядро оператора \({\left( {A - {\lambda _1}I} \right)^2}\) не совпадает со всем пространством и, поэтому, не может иметь три линейно-независимых вектора. Продолжая вычисления, находим \({\mathbf{V}_2}\) и \({\mathbf{V}_1}:\) \[ {{\mathbf{V}_2} = \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_3} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4 + 0 + 0}\\ {2 + 0 + 0}\\ {0 + 0 + 0} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 2\\ 0 \end{array}} \right),} \] \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 4}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 3}\\ 0&1&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -4\\ 2\\ 0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {16 - 10 + 0}\\ {-8 + 2 + 0}\\ {0 + 2 + 0} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {6}\\ {-6}\\ 2 \end{array}} \right),} \] Итак, мы определили жорданов базис, состоящий из векторов \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 6}\\ 2 \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 2\\ 0 \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right).} \] Сделаем проверку, используя формулу преобразования матрицы \(A\) к жордановой форме \(J:\) \[{H^{ - 1}}AH = J.\] Здесь матрица \(H\) составляется из базисных векторов \({\mathbf{V}_1},\) \({\mathbf{V}_2},\) \({\mathbf{V}_3}:\) \[H = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} 6&{ - 4}&1\\ { - 6}&2&0\\ 2&0&0 \end{array}} \right).\] Обратная матрица \({H^{ - 1}}\) равна: \[{H^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\frac{1}{2}}\\ 0&{\frac{1}{2}}&{\frac{3}{2}}\\ 1&2&3 \end{array}} \right).\] Перемножая матрицы, получаем \[ {{H^{ - 1}}AH } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\frac{1}{2}}\\ 0&{\frac{1}{2}}&{\frac{3}{2}}\\ 1&2&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 7}&{ - 5}&{ - 3}\\ 2&{ - 2}&{ - 3}\\ 0&1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 6&{ - 4}&1\\ { - 6}&2&0\\ 2&0&0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 0&{\frac{1}{2}}&0\\ 1&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{3}{2}}\\ { - 3}&{ - 6}&{ - 9} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 6&{ - 4}&1\\ { - 6}&2&0\\ 2&0&0 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} \color{blue}{ - 3}&\color{blue}1&\color{blue}0\\ \color{blue}0&\color{blue}{ - 3}&\color{blue}1\\ \color{blue}0&\color{blue}0&\color{blue}{ - 3} \end{array}} \right) = J} \] В результате мы получили жорданову форму с одной клеткой размером \(3 \times 3.\) Общее решение системы имеет вид: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {t{\mathbf{V}_1} + {\mathbf{V}_2}} \right) } + {{C_3}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {\frac{{{t^2}}}{{2!}}{\mathbf{V}_1} + t{\mathbf{V}_2} + {\mathbf{V}_3}} \right) } = {{C_1}{e^{ - 3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 6}\\ 2 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{ - 3t}}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 6}\\ 2 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 2\\ 0 \end{array}} \right)} \right] } + {{C_3}{e^{ - 3t}}\left[ {\frac{{{t^2}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 6}\\ 2 \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 2\\ 0 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)} \right].} \]