Построение общего решения системы уравнений методом неопределенных коэффициентов

Линейная однородная система \(n\) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид: \[ {\mathbf{X}'\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right),}\;\; {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right).} \] Здесь \(\mathbf{X}\left( t \right)\) − \(n\)-мерный вектор, \(A\) − квадратная матрица с постоянными коэффициентами размера \(n \times n.\) Далее мы опишем общий алгоритм решения данной системы и рассмотрим конкретные случаи, где решение строится методом неопределенных коэффициентов. Будем искать решение заданной системы уравнений в виде вектор-функций \[\mathbf{X}\left( t \right) = {e^{\lambda t}}\mathbf{V},\] где \(\lambda\) − собственное значение матрицы \(A,\) а \(\mathbf{V}\) −собственный вектор этой матрицы. Собственные значения \({\lambda _i}\) находятся из характеристического уравнения \[\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0,\] где \(I\) − единичная матрица. Поскольку корни \({\lambda _i}\) могут быть кратными, то в общем случае для системы \(n\)-го порядка это уравнение имеет вид: \[{\left( { - 1} \right)^n}{\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^{{k_1}}}{\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)^{{k_2}}} \cdots {\left( {\lambda - {\lambda _m}} \right)^{{k_m}}} = 0.\] Здесь выполняется условие \[{k_1} + {k_2} + \cdots + {k_m} = n.\] Степень \({k_i}\) множителя \(\left( {\lambda - {\lambda _i}} \right)\) называется алгебраической кратностью собственного числа \({\lambda _i}.\) Для каждого собственного значения \({\lambda _i}\) можно определить собственный вектор (или несколько собственных векторов в случае кратного \({\lambda _i}\)), используя формулу \[\left( {A - {\lambda _i}I} \right){\mathbf{V}_i} = \mathbf{0}.\] Число собственных векторов, ассоциированных с собственным значением \({\lambda _i},\) называется геометрической кратностью \({\lambda _i}\) (обозначим ее как \({s_i}\)). Таким образом, собственное число \({\lambda _i}\) характеризуется двумя величинами − алгебраической кратностью \({k_i}\) и геометрической кратностью \({s_i}.\) Справедливо следующее соотношение: \[0<{s_i} \le {k_i},\] т.е. геометрическая кратность \({s_i}\) (или число собственных векторов) не превосходит алгебраическую кратность\({k_i}\) собственного числа \({\lambda _i}.\) Фундаментальная система решений и, соответственно, общее решение системы существенно зависят от алгебраической и геометрической кратности чисел \({\lambda _i}.\) В простейшем случае \({s_i} = {k_i} = 1,\) когда собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы \(A\) попарно различны и каждому числу \({\lambda _i}\) соответствует собственный вектор \({\mathbf{V}_i},\) фундаментальная система решений состоит из функций вида \[{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1},\;{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2}, \;\ldots,\; {e^{{\lambda _n}t}}{\mathbf{V}_n}.\] В этом случае общее решение записывается как \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} + \cdots } + {{C_n}{e^{{\lambda _n}t}}{\mathbf{V}_n} } = {\sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}{\mathbf{V}_i}} ,} \] где \({C_i}\) − произвольные константы. Обсудим случай комплексных корней характеристического уравнения. Если все коэффициенты в уравнениях являются действительными числами, то комплексные корни будут "рождаться" парами в виде комплексно-сопряженных чисел \(\alpha \pm i\beta .\) Для построения компонента решения, связанного с такой парой, достаточно взять одно число, например, \(\alpha + i\beta\) и определить для него собственный вектор \(\mathbf{V},\) который также может иметь комплексные координаты. Тогда решение будет представляться комплекснозначной векторной функцией \({e^{\left( {\alpha + i\beta } \right)t}}\mathbf{V}\left( t \right).\) Экспоненциальную функцию можно разложить по формуле Эйлера: \[ {{e^{\left( {\alpha + i\beta } \right)t}} = {e^{\alpha t}}{e^{i\beta t}} } = {{e^{\alpha t}}\left( {\cos \beta t + i\sin \beta t} \right).} \] В результате часть общего решения, соответствующая паре собственных значений \(\alpha \pm i\beta,\) будет представляться в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {e^{\alpha t}}\left( {\cos \beta t + i\sin \beta t} \right)\left( {{\mathbf{V}_\text{Re}} + i{\mathbf{V}_\text{Im}}} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left[ {\cos \left( {\beta t} \right){\mathbf{V}_\text{Re}} - \sin \left( {\beta t} \right){\mathbf{V}_\text{Im}}} \right] } + {i{e^{\alpha t}}\left[ {\cos \left( {\beta t} \right){\mathbf{V}_\text{Im}} + \sin \left( {\beta t} \right){\mathbf{V}_\text{Re}}} \right] } = {{\mathbf{X}^{\left( 1 \right)}}\left( t \right) + i{\mathbf{X}^{\left( 2 \right)}}\left( t \right),} \] где \(\mathbf{V} = {\mathbf{V}_\text{Re}} + i{\mathbf{V}_\text{Im}}\) − комплекснозначный собственный вектор. В полученном выражении вектор-функции \({\mathbf{X}^{\left( 1 \right)}}\) и \({\mathbf{X}^{\left( 2 \right)}}\) в действительной и мнимой части образуют два линейно-независимых действительных решения. Как видно, решение для пары комплексно-сопряженных собственных значений строится таким же образом, как и для действительных собственных значений. В конце преобразований нужно лишь явно выделить действительную и мнимую части векторной функции. Теперь рассмотрим случай кратных корней \({\lambda _i}.\) Для простоты будем считать их действительными. Здесь процесс решения снова разветвляется на два сценария. Если алгебраическая кратность \({k_i}\) и геометрическая кратность \({s_i}\) собственного числа \({\lambda _i}\) совпадают \(\left( {{k_i} = {s_i}>1} \right),\) то для этого значения \({\lambda _i}\) существует \({k_i}\) собственных векторов. В результате собственному числу \({\lambda _i}\) будет соответствовать \({k_i}\) линейно-независимых решений вида \[{e^{{\lambda _i}t}}\mathbf{V}_i^{\left( 1 \right)},\;{e^{{\lambda _i}t}}\mathbf{V}_i^{\left( 2 \right)},\; \ldots ,\;{e^{{\lambda _i}t}}\mathbf{V}_i^{\left( {{k_i}} \right)}.\] Всего в этом случае система \(n\) уравнений будет иметь \(n\) собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений. Примеры таких систем приведены на странице Метод собственных значений и собственных векторов. Наиболее интересным является случай кратных корней \({\lambda _i},\) когда геометрическая кратность \({s_i}\) меньше алгебраической кратности \({k_i}.\) Это значит, что у нас имеется только \({s_i}\) \(\left( {{s_i}<{k_i}} \right)\) собственных векторов, ассоциированных с числом \({\lambda _i}.\) Число собственных векторов \({s_i}\) определяется формулой \[{s_i} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _i}I} \right),\] где \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _i}I} \right)\) означает ранг матрицы \({A - {\lambda _i}I},\) в которую подставлено значение \({\lambda _i}.\) Решение, соответствующее \({\lambda _i},\) можно искать в виде произведения многочлена степени \({k_i} - {s_i}\) на экспоненциальную функцию \({e^{{\lambda _i}t}}:\) \[ {{\mathbf{X}_i}\left( t \right) = {\mathbf{P}_{{k_i} - {s_i}}}\left( t \right){e^{{\lambda _i}t}},\;\;\text{где}}\;\; {{\mathbf{P}_{{k_i} - {s_i}}}\left( t \right) = {\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t + \cdots + {\mathbf{A}_{{k_i} - {s_i}}}{t^{{k_i} - {s_i}}}.} \] Здесь \({\mathbf{P}_{{k_i} - {s_i}}}\left( t \right)\) является векторным многочленом, т.е. каждой из \(n\) координат соответствует свой многочлен степени \({{k_i} - {s_i}}\) с некоторыми коэффициентами, подлежащими определению. Собственно говоря, метод неопределенных коэффициентов нужен только в случае кратных корней \({\lambda _i},\) когда число линейно-независимых собственных векторов меньше алгебраической кратности корня \({\lambda _i}.\) Чтобы найти векторы \({\mathbf{A}_0},{\mathbf{A}_1}, \ldots ,{\mathbf{A}_{{k_i} - {s_i}}}\) для каждого такого собственного числа \({\lambda _i},\) надо подставить вектор-функцию \({\mathbf{X}_i}\left( t \right)\) в исходную систему уравнений. Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями в левой и правой частях каждого уравнения, получим алгебраическую систему уравнений для нахождения неизвестных векторов \({\mathbf{A}_0},{\mathbf{A}_1}, \ldots ,{\mathbf{A}_{{k_i} - {s_i}}}.\) Описанный здесь способ построения общего решения системы однородных дифференциальных уравнений иногда называют также методом Эйлера.

Пример 1

Найти общее решение линейной системы уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = x - y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + 3y.\] Вычислим собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы \(A,\) составленной из коэффициентов данных уравнений: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&{ - 1}\\ 1&{3 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {3 - \lambda } \right) + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow 3 - 3\lambda - \lambda + {\lambda ^2} + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 4\lambda + 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 2} \right)^2} = 0.} \] Следовательно, матрица \(A\) имеет одно собственное число \({\lambda _1} = 2\) кратностью \({k_1} = 2.\) Найдем ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I.\) Подставляя в матрицу \(A\) значение \({\lambda _1} = 2\) и выполняя элементарные преобразования, получаем: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 2}&{ - 1}\\ 1&{3 - 2} \end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right) } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right)} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ \small{{R_2} + {R_1}}\normalsize \end{array}} \right. } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&0 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \end{array}} \right).} \] Итак, ранг матрицы \(A - {\lambda _1}I\) равен \(1.\) Тогда для числа \({\lambda _1} = 2\) получаем геометрическую кратность \({s_1} = 1,\) т.е. мы имеем один собственный вектор: \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2 - 1 = 1.\] Общее векторное решение будет выражаться формулой \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) + {\mathbf{P}_{{k_i} - {s_i}}}\left( t \right){e^{{\lambda _i}t}} } = {{\mathbf{P}_1}\left( t \right){e^{{\lambda _i}t}} } = {\left( {{\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t} \right){e^{2t}}.} \] Воспользуемся далее методом неопределенных коэффициентов. Пусть \[x = \left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{2t}},\;\;y = \left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{2t}}.\] Производные будут равны \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = {a_1}{e^{2t}} + 2\left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{2t}} } = {\left( {2{a_0} + {a_1} + 2{a_1}t} \right){e^{2t}},} \] \[ {\frac{{dy}}{{dt}} = {b_1}{e^{2t}} + 2\left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{2t}} } = {\left( {2{b_0} + {b_1} + 2{b_1}t} \right){e^{2t}}.} \] Подставляем функции \(x, y\) и их производные в исходную систему дифференциальных уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} \left( {2{a_0} + {a_1} + 2{a_1}t} \right){e^{2t}} = \left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{2t}} - \left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{2t}}\\ \left( {2{b_0} + {b_1} + 2{b_1}t} \right){e^{2t}} = \left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{2t}} + 3\left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{2t}} \end{array} \right..\] Сокращая на \({e^{2t}}\) и приравнивая коэффициенты при членах \(t\) с одинаковыми степенями в левой и правой части, получаем систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов \({a_0},{a_1},{b_0},{b_1}:\) \[ {\left\{ \begin{array}{l} 2{a_0} + {a_1} = {a_0} - {b_0}\\ 2{a_1} = {a_1} - {b_1}\\ 2{b_0} + {b_1} = {a_0} + 3{b_0}\\ 2{b_1} = {a_1} + 3{b_1} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_0} + {a_1} + {b_0} = 0}\\ {{a_1} + {b_1} = 0}\\ {{a_0} + {b_0} - {b_1} = 0}\\ {{a_1} + {b_1} = 0} \end{array}} \right..} \] В этой системе независимыми являются только два уравнения. Выберем в качестве свободных коэффициенты \({a_0} = {C_1}\) и \({a_1} = {C_2}.\) Остальные два числа \({b_0}\) и \({b_1}\) выразим через \({C_1}\) и \({C_2}:\) \[{C_1} + {C_2} + {b_0} = 0,\;\; \Rightarrow {b_0} = - {C_1} - {C_2},\] \[{C_2} + {b_1} = 0,\;\; \Rightarrow {b_1} = - {C_2}.\] Таким образом, общее решение системы записывается в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = {e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} + {a_1}t}\\ {{b_0} + {b_1}t} \end{array}} \right) } = {{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1} + {C_2}t}\\ { - {C_1} - {C_2} - {C_2}t} \end{array}} \right).} \] Его удобно переписать в векторной форме: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array}} \right) + {C_2}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ { - 1 - t} \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array}} \right) + {C_2}{e^{2t}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - 1} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array}} \right)} \right].} \]

Пример 2

Найти общее решение системы уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - 2x - 3y - 5z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + 4y + z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = 2x + 5z.} \] Сначала определим собственные числа матрицы данной системы, решив соответствующее характеристическое уравнение: \[\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - \lambda }&{ - 3}&{ - 5}\\ 1&{4 - \lambda }&1\\ 2&0&{5 - \lambda } \end{array}} \right| = 0.\] Раскладываем определитель по третьей строке: \[ {2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 5}\\ {4 - \lambda }&1 \end{array}} \right| + \left( {5 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - \lambda }&{ - 3}\\ 1&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow 2\left[ { - 3 + 5\left( {4 - \lambda } \right)} \right] + \left( {5 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - 2 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 3} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow 2\left( { - 5\lambda + 17} \right) + \left( {5 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 2\lambda - 5} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow - \color{red}{10\lambda} + \color{green}{34} + \color{blue}{5{\lambda ^2}} - \color{red}{10\lambda} - \color{green}{25} - {\lambda ^3} + \color{blue}{2{\lambda ^2}} + \color{red}{5\lambda} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} - \color{blue}{7{\lambda ^2}} + \color{red}{15\lambda} - \color{green}9 = 0.} \] Заметим, что одним из корней кубического уравнения является число \(\lambda = 1.\) Выделяя сомножитель \(\left( {\lambda - 1} \right),\) получаем: \[ {{\lambda ^3} - {\lambda ^2} - 6{\lambda ^2} + 6\lambda + 9\lambda - 9 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) - 6\lambda \left( {\lambda - 1} \right) + 9\left( {\lambda - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 6\lambda + 9} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right){\left( {\lambda - 3} \right)^2} = 0.} \] Таким образом, матрица системы уравнений имеет два собственных значения: \({\lambda _1} = 1\) кратностью \(1\) и \({\lambda _2} = 3\) кратностью \(2.\) Рассмотрим первый корень \({\lambda _1} = 1\) и определим компонент общего решения \({\mathbf{X}_1},\) ассоциированный с этим числом. Для этого вычислим соответствующий собственный вектор \({\mathbf{V}_1}.\) Запишем систему уравнений для определения координат вектора \({\mathbf{V}_1}:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - 1}&{ - 3}&{ - 5}\\ 1&{4 - 1}&1\\ 2&0&{5 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 3}&{ - 5}\\ 1&3&1\\ 2&0&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.} \] Упростим полученную систему: \[ {\left\{ \begin{array}{l} - 3{V_{11}} - 3{V_{21}} - 5{V_{31}} = 0\\ {V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\ 2{V_{11}} + 4{V_{31}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ \begin{array}{l} {V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\ - 3{V_{11}} - 3{V_{21}} - 5{V_{31}} = 0\\ 2{V_{11}} + 4{V_{31}} = 0 \end{array} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} + 3{R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} - 2{R_1}}\normalsize \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\ 0 + 6{V_{21}} - 2{V_{31}} = 0\\ 0 - 6{V_{21}} + 2{V_{31}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{11}} + 3{V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\ {3{V_{21}} - {V_{31}} = 0} \end{array}} \right..} \] Выберем в качестве свободной переменной \({V_{31}} = t.\) Остальные координаты выражаются через \(t\) следующим образом: \[ {3{V_{21}} = {V_{31}} = t,\;\; \Rightarrow {V_{21}} = \frac{t}{3},}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} = - {V_{31}} - 3{V_{21}} } = { - t - 3 \cdot \frac{t}{3} = - 2t.} \] Следовательно, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) равен: \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2t}\\ {\frac{t}{3}}\\ t \end{array}} \right) } \sim {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right).} \] Таким образом, собственное число \({\lambda _1} = 1\) вносит следующий вклад в общее решение: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right).} \] Теперь рассмотрим собственное число \({\lambda _2} = 3\) с алгебраической кратностью \({k_2} = 2.\) Выясним ранг матрицы после подстановки в нее значения \({\lambda _2} = 3:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - 3}&{ - 3}&{ - 5}\\ 1&{4 - 3}&1\\ 2&0&{5 - 3} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&{ - 3}&{ - 5}\\ 1&1&1\\ 2&0&2 \end{array}} \right) } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 2&0&2\\ { - 5}&{ - 3}&{ - 5} \end{array}} \right)} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - 2{R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} + 5{R_1}}\normalsize \end{array}} \right. } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&{ - 2}&0\\ 0&2&0 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&2&0 \end{array}} \right).} \] Как видно, \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _2}I} \right) = 2.\) Следовательно, число \({\lambda _2} = 3\) характеризуется геометрической кратностью \({s_2} = 1\) и имеет один собственный вектор: \[{s_2} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _2}I} \right) = 3 - 2 = 1.\] Будем искать решение, связанное с собственным значением \({\lambda _2},\) в виде функции \[ {{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = {\mathbf{P}_{{k_2} - {s_2}}}\left( t \right){e^{{\lambda _2}t}} } = {\left( {{\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t} \right){e^{3t}},} \] где векторный многочлен \({\mathbf{P}_{{k_2} - {s_2}}}\left( t \right)\) имеет степень \({k_2} - {s_2} = 1.\) Полагая \[ {{\mathbf{A}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}\\ {{b_0}}\\ {{d_0}} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{A}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{b_1}}\\ {{d_1}} \end{array}} \right),} \] запишем формулы для каждой координаты \({\mathbf{X}_2}:\) \[ {x = \left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{3t}},}\;\; {y = \left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{3t}},}\;\; {z = \left( {{d_0} + {d_1}t} \right){e^{3t}}.} \] Производные этих функций равны: \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = {a_1}{e^{3t}} + 3\left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{3t}},}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = {b_1}{e^{3t}} + 3\left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{3t}},}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = {d_1}{e^{3t}} + 3\left( {{d_0} + {d_1}t} \right){e^{3t}}.} \] Подставляя данные выражения в исходную систему и сокращая на множитель \({e^{3t}},\) имеем: \[\left\{ \begin{array}{l} {a_1} + 3\left( {{a_0} + {a_1}t} \right) = - 2\left( {{a_0} + {a_1}t} \right) - 3\left( {{b_0} + {b_1}t} \right) - 5\left( {{d_0} + {d_1}t} \right)\\ {b_1} + 3\left( {{b_0} + {b_1}t} \right) = {a_0} + {a_1}t + 4\left( {{b_0} + {b_1}t} \right) + {d_0} + {d_1}t\\ {d_1} + 3\left( {{d_0} + {d_1}t} \right) = 2\left( {{a_0} + {a_1}t} \right) + 5\left( {{d_0} + {d_1}t} \right) \end{array} \right..\] Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(t\) в левой и правой части, получаем систему \(6\) уравнений с неизвестными \({a_0},{a_1},{b_0},{b_1},{d_0},{d_1}:\) \[ {\left\{ \begin{array}{l} {a_1} + 3{a_0} = - 2{a_0} - 3{b_0} - 5{d_0}\\ 3{a_1} = - 2{a_1} - 3{b_1} - 5{d_1}\\ {b_1} + 3{b_0} = {a_0} + 4{b_0} + {d_0}\\ 3{b_1} = {a_1} + 4{b_1} + {d_1}\\ {d_1} + 3{d_0} = 2{a_0} + 5{d_0}\\ 3{d_1} = 2{a_1} + 5{d_1} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{a_0} + {a_1} + 3{b_0} + 5{d_0} = 0\\ 5{a_1} + 3{b_1} + 5{d_1} = 0\\ {a_0} + {b_0} - {b_1} + {d_0} = 0\\ {a_1} + {b_1} + {d_1} = 0\\ 2{a_0} + 2{d_0} - {d_1} = 0\\ {a_1} + {d_1} = 0 \end{array} \right..} \] В этой системе уравнений лишь два коэффициента являются независимыми. Это следует из того, собственное число \({\lambda_2} = 3\) имеет алгебраическую кратность \(2\) и, поэтому, должно иметь два линейно-независимых решения. Выберем в качестве свободных переменных \({a_0}\) и \({a_1},\) обозначив \[{a_0} = {C_2},\;\;{a_1} = 2{C_3}.\] где \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные числа, а множитель \(2\) введен, чтобы избавиться от дробей. Остальные коэффициенты легко выражаются через \({C_2}\) и \({C_3}\) и представляются в виде: \[ {{a_0} = {_2},\;\;{b_0} = {C_3},}\;\; {{d_0} = - {C_3} - {C_2},}\;\; {{a_1} = 2{C_3},}\;\; {{b_1} = 0,}\;\; {{d_1} = - 2{C_3}.} \] Тогда часть общего решения, обусловленная собственным числом \({\lambda_2} = 3,\) записывается как \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = \left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^{{\lambda _2}t}} = \left( {{C_2} + 2{C_3}t} \right){e^{3t}}\\ y\left( t \right) = \left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^{{\lambda _2}t}} = {C_3}{e^{3t}}\\ z\left( t \right) = \left( {{d_0} + {d_1}t} \right){e^{{\lambda _2}t}} = \left( { - {C_3} - {C_2} - 2{C_3}t} \right){e^{3t}} \end{array} \right..\] Перепишем это решение в векторной форме: \[ {{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} + 2{C_3}t}\\ {{C_3}}\\ { - {C_3} - {C_2} - 2{C_3}t} \end{array}} \right) } = {{C_2}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ { - 1} \end{array}} \right) + {C_3}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2t}\\ 1\\ { - 1 - 2t} \end{array}} \right) } = {{C_2}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ { - 2} \end{array}} \right) + {C_3}{e^{3t}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ { - 1} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ { - 2} \end{array}} \right)} \right].} \] Объединяя вместе все найденные компоненты, получим общее решение исходной системы в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_1}\left( t \right) + {\mathbf{X}_2}\left( t \right) } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ 3 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ { - 2} \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{3t}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ { - 1} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ { - 2} \end{array}} \right)} \right].} \]

Пример 3

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - 6x + 5y,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = - 2x - y + 5z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = x - 3y + 4z.} \] Начнем с вычисления собственных значений матрицы данной системы. Решаем характеристическое уравнение: \[\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6 - \lambda }&5&0\\ { - 2}&{ - 1 - \lambda }&5\\ 1&{ - 3}&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0.\] Раскладываем определитель по первой строке: \[ {\left( { - 6 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \lambda }&5\\ { - 3}&{4 - \lambda } \end{array}} \right| - 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5\\ 1&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( { - 6 - \lambda } \right)\left[ {\left( { - 1 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) + 15} \right] } - {5\left[ { - 2\left( {4 - \lambda } \right) - 5} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 6} \right)\left( {{\lambda ^2} - 3\lambda + 11} \right) + 5\left( {2\lambda - 13} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} + \color{blue}{6{\lambda ^2}} - \color{blue}{3{\lambda ^2}} - \color{red}{18\lambda} + \color{red}{11\lambda} + \color{green}{66} + \color{red}{10\lambda} - \color{green}{65} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} + \color{blue}{3{\lambda ^2}} + \color{red}{3\lambda} + \color{green}1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda + 1} \right)^3} = 0.} \] Итак, матрица имеет одно собственное значение \({\lambda _1} = - 1\) с алгебраической кратностью \({k_1} = 3.\) Найдем ранг матрицы при \({\lambda _1} = - 1\) и геометрическую кратность \({s_1}:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6 + 1}&5&0\\ { - 2}&{ - 1 + 1}&5\\ 1&{ - 3}&{4 + 1} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&5&0\\ { - 2}&0&5\\ 1&{ - 3}&5 \end{array}} \right) } \sim {\left. {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&5&0\\ { - 2}&0&5\\ 1&{ - 3}&5 \end{array}} \right)} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} + {R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} + 2{R_1}}\normalsize \end{array}} \right. } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&5\\ 0&{ - 2}&5\\ 0&{ - 6}&{15} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&5\\ 0&{ - 2}&5 \end{array}} \right).} \] Следовательно, \(\text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 2.\) Соответственно, геометрическая кратность (а также количество собственных векторов) для собственного числа \({\lambda _1} = - 1\) составляет \[{s_1} = n - \text{rank}\left( {A - {\lambda _1}I} \right) = 3 - 2 = 1.\] С учетом этого, общее решение \(\mathbf{X}\) будем искать в виде векторной функции \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{P}_{{k_1} - {s_1}}}\left( t \right){e^{{\lambda _1}t}} } = {\left( {{\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t + {\mathbf{A}_2}{t^2}} \right){e^{ - t}}.} \] Пусть векторы \({\mathbf{A}_0},{\mathbf{A}_1},{\mathbf{A}_2}\) имеют координаты \[ {{\mathbf{A}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}\\ {{b_0}}\\ {{d_0}} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{A}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{b_1}}\\ {{d_1}} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{A}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}\\ {{b_2}}\\ {{d_2}} \end{array}} \right).} \] Запишем координатные функции и найдем их производные: \[x\left( t \right) = \left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right){e^{ - t}},\] \[y\left( t \right) = \left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right){e^{ - t}},\] \[z\left( t \right) = \left( {{d_0} + {d_1}t + {d_2}{t^2}} \right){e^{ - t}},\] \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \left( {{a_1} + 2{a_2}t} \right){e^{ - t}} } - {\left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right){e^{ - t}},} \] \[ {\frac{{dy}}{{dt}} = \left( {{b_1} + 2{b_2}t} \right){e^{ - t}} } - {\left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right){e^{ - t}},} \] \[ {\frac{{dz}}{{dt}} = \left( {{d_1} + 2{d_2}t} \right){e^{ - t}} } - {\left( {{d_0} + {d_1}t + {d_2}{t^2}} \right){e^{ - t}}.} \] Подставляя в исходную систему и сокращая обе части каждого уравнения на экспоненциальную функцию \({e^{ - t}},\) получаем: \[ {{a_1} + 2{a_2}t - {a_0} - {a_1}t - {a_2}{t^2} } = { - 6\left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right) } + {5\left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right)} \] \[ {{b_1} + 2{b_2}t - {b_0} - {b_1}t - {b_2}{t^2} } = { - 2\left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right) } - {\left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right) } + {5\left( {{d_0} + {d_1}t + {d_2}{t^2}} \right)} \] \[ {{d_1} + 2{d_2}t - {d_0} - {d_1}t - {d_2}{t^2} } = {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2} } - {3\left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right) } + {4\left( {{d_0} + {d_1}t + {d_2}{t^2}} \right).} \] Приравнивая члены при одинаковых степенях \(t\) слева и справа, получаем систему \(9\) уравнений: \[ {\left\{ \begin{array}{l} {a_1} - {a_0} = - 6{a_0} + 5{b_0}\\ 2{a_2} - {a_1} = - 6{a_1} + 5{b_1}\\ - {a_2} = - 6{a_2} + 5{b_2}\\ {b_1} - {b_0} = - 2{a_0} - {b_0} + 5{d_0}\\ 2{b_2} - {b_1} = - 2{a_1} - {b_1} + 5{d_1}\\ - {b_2} = - 2{a_2} - {b_2} + 5{d_2}\\ {d_1} - {d_0} = {a_0} - 3{b_0} + 4{d_0}\\ 2{d_2} - {d_1} = {a_1} - 3{b_1} + 4{d_1}\\ - {d_2} = {a_2} - 3{b_2} + 4{d_2} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{a_0} + {a_1} - 5{b_0} = 0\\ 5{a_1} + 2{a_2} - 5{b_1} = 0\\ {a_2} - {b_2} = 0\\ 2{a_0} + {b_1} - 5{d_0} = 0\\ 2{a_1} + 2{b_2} - 5{d_1} = 0\\ 2{a_2} - 5{d_2} = 0\\ {a_0} - 3{b_0} + 5{d_0} - {d_1} = 0\\ {a_1} - 3{b_1} + 5{d_1} - 2{d_2} = 0\\ {a_2} - 3{b_2} + 5{d_2} = 0 \end{array} \right..} \] В этой системе содержится лишь три независимых переменных. Это следует из того, что общее решение \(\mathbf{X}\) должно содержать \(3\) линейно-независимых функции. Выберем в качестве независимых переменных \[{a_0} = {C_1},\;\;{a_1} = {C_2},\;\;{a_2} = {C_3}.\] Остальные переменные выразим через \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}:\) \[ {5{b_0} = 5{a_0} + {a_1} = 5{C_1} + {C_2},}\;\; {\Rightarrow {b_0} = {C_1} + \frac{1}{5}{C_2};} \] \[ {5{b_1} = 5{a_1} + 2{a_2} = 5{C_2} + 2{C_3},}\;\; {\Rightarrow {b_1} = {C_2} + \frac{2}{5}{C_3};} \] \[{b_2} = {a_2} = {C_3};\] \[ {5{d_0} = 2{a_0} + {b_1} = 2{C_1} + {C_2} + \frac{2}{5}{C_3},}\;\; {\Rightarrow {d_0} = \frac{2}{5}{C_1} + \frac{1}{5}{C_2} + \frac{2}{{25}}{C_3};} \] \[ {5{d_1} = 2{a_1} + 2{b_2} = 2{C_2} + 2{C_3},}\;\; {\Rightarrow {d_1} = \frac{2}{5}{C_2} + \frac{2}{5}{C_3};} \] \[ {5{d_2} = 2{a_2} = 2{C_3},}\;\; {\Rightarrow {d_2} = \frac{2}{5}{C_3}.} \] Итак, общее решение можно записать в виде \[ {x\left( t \right) = \left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right){e^{ - t}} } = {\left( {{C_1} + {C_2}t + {C_3}{t^2}} \right){e^{ - t}},} \] \[ {y\left( t \right) = \left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right){e^{ - t}} } = {\left( {{C_1} + {\frac{1}{5}{C_2}} + \left( {{C_2} + \frac{2}{5}{C_3}} \right)t + {C_3}{t^2}} \right){e^{ - t}},} \] \[ {z\left( t \right) = \left( {{d_0} + {d_1}t + {d_2}{t^2}} \right){e^{ - t}} } = {\left( {\frac{2}{5}{C_1} + \frac{1}{5}{C_2} + \frac{2}{{25}}{C_3} + \left( {\frac{2}{5}{C_2} + \frac{2}{5}{C_3}} \right)t + \frac{2}{5}{C_3}{t^2}} \right){e^{ - t}}.} \] Представим это решение в векторной форме, выделив явно линейно независимые векторы: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1} + {C_2}t + {C_3}{t^2}}\\ {{C_1} + \frac{1}{5}{C_2} + {C_2}t + \frac{2}{5}{C_3}t + {C_3}{t^2}}\\ {\frac{2}{5}{C_1} + \frac{1}{5}{C_2} + \frac{2}{{25}}{C_3} + \frac{2}{5}{C_2}t + \frac{2}{5}{C_3}t + \frac{2}{5}{C_3}{t^2}} \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ {\frac{2}{5}} \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ t\\ {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}t} \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{t^2}}\\ {\frac{2}{5}t + {t^2}}\\ {\frac{2}{{25}} + \frac{2}{5}t + \frac{2}{5}{t^2}} \end{array}} \right).} \] Перенормируем числа \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3},\) чтобы избавиться от дробных координат: \[{C_1} \to 5{C_1},\;\;{C_2} \to 5{C_2},\;\;{C_3} \to 25{C_3}.\] Тогда ответ записывается в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5\\ 2 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5t}\\ {5t}\\ {1 + 2t} \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25{t^2}}\\ {10t + 25{t^2}}\\ {2 + 10t + 10{t^2}} \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5\\ 2 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{ - t}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5\\ 2 \end{array}} \right)} \right] } + {{C_3}{e^{ - t}}\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 2 \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {10}\\ {10} \end{array}} \right) + {t^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25}\\ {25}\\ {10} \end{array}} \right)} \right].} \] Заметим, что общее решение содержит \(3\) линейно независимых вектора: \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5\\ 2 \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Остальные векторы будут коллинеарны указанным. Среди этих трех векторов вектор \({\mathbf{V}_1}\) является собственным, а векторы \({\mathbf{V}_2},\) \({\mathbf{V}_3}\) называются присоединенными. При этом форма общего решения определяется структурой т.н. жордановой матрицы для данной системы. Более подробно эта техника рассматривается на странице Построение общего решения системы уравнений с помощью жордановой формы.