Метод собственных значений и собственных векторов

Рассмотрим линейную однородную систему \(n\) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую можно записать в матричном виде как \[\mathbf{X'}\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right),\] где приняты следующие обозначения: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {\mathbf{X'}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x'_1}\left( t \right)}\\ {{x'_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x'_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right).} \] Будем искать нетривиальные решения однородной системы в виде \[\mathbf{X}\left( t \right) = {e^{\lambda t}}\mathbf{V},\] где \(\mathbf{V} \ne 0\) − постоянный \(n\)-мерный вектор, который мы определим позже. Подставляя указанное пробное выражение для \(\mathbf{X}\left( t \right)\) в систему уравнений, получаем: \[\lambda {e^{\lambda t}}\mathbf{V} = A{e^{\lambda t}}\mathbf{V},\;\; \Rightarrow A\mathbf{V} = \lambda \mathbf{V}.\] Данное уравнение означает, что при действии линейного оператора \(A\) вектор \(\mathbf{V}\) преобразуется в коллинеарный вектор \(\lambda \mathbf{V}.\) Вектор, обладающий таким свойством, называется собственным вектором линейного преобразования \(A,\) а число \(\lambda\) называется собственным значением. Таким образом, мы приходим к выводу, что для того, чтобы векторная функция \(\mathbf{X}\left( t \right) = {e^{\lambda t}}\mathbf{V}\) являлась решением линейной однородной системы, необходимо и достаточно, чтобы число \(\lambda\) было собственным значением, а вектор \(\mathbf{V}\) − соответствующим собственным вектором линейного преобразования \(A.\) Как видно, решение линейной системы уравнений можно построить алгебраическим методом. Поэтому приведем далее некоторые необходимые сведения из линейной алгебры. Вернемся к полученному выше матрично-векторному уравнению \[A\mathbf{V} = \lambda \mathbf{V}.\] Его можно переписать как \[A\mathbf{V} - \lambda \mathbf{V} = \mathbf{0},\] где \(\mathbf{0}\) означает нулевой вектор. Вспомним, что произведение единичной матрицы \(I\) порядка \(n\) и \(n\)-мерного вектора \(\mathbf{V}\) равно самому вектору: \[I\mathbf{V} = \mathbf{V}.\] Поэтому наше уравнение принимает вид: \[ {A\mathbf{V} - \lambda I\mathbf{V} = \mathbf{0}}\;\;\; {\text{или}\;\;\;\left( {A - \lambda I} \right)\mathbf{V} = \mathbf{0}.} \] Из последнего соотношения следует, что определитель матрицы \({A - \lambda I}\) равен нулю: \[\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0.\] Действительно, если предположить, что \(\det \left( {A - \lambda I} \right) \ne 0,\) то у этой матрицы будет существовать обратная матрица \({\left( {A - \lambda I} \right)^{ - 1}}.\) Умножая обе части уравнения слева на обратную матрицу \({\left( {A - \lambda I} \right)^{ - 1}},\) получим: \[ {{\left( {A - \lambda I} \right)^{ - 1}}\left( {A - \lambda I} \right)\mathbf{V} = {\left( {A - \lambda I} \right)^{ - 1}} \cdot \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow I\mathbf{V} = \mathbf{0},\;\; \Rightarrow \mathbf{V} = \mathbf{0}.} \] Это, однако, противоречит определению собственного вектора, который должен быть отличен от нуля. Следовательно, собственные значения \(\lambda\) должны удовлетворять уравнению \[\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0,\] которое называется характеристическим уравнением линейного преобразования \(A.\) Многочлен в левой части уравнения называется характеристическим многочленом линейного преобразования (или линейного оператора) \(A.\) Множество всех собственных значений \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}\) образует спектр оператора \(A.\) Итак, первый шаг в нахождении решения системы линейных дифференциальных уравнений − это решение характеристического уравнения и нахождение всех собственных значений \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}.\) Далее, подставляя каждое собственное значение \({\lambda _i}\) в систему уравнений \[\left( {A - \lambda I} \right)\mathbf{V} = \mathbf{0}\] и решая ее, находим собственные векторы, соответствующие данному собственному значению \({\lambda _i}.\) Заметим, что после подстановки собственных значений система становится вырожденной, т.е. некоторые уравнения будут одинаковыми. Это следует из того, что определитель такой системы равен нулю. В результате система уравнений будет иметь бесконечное множество решений, т.е. собственные векторы можно определить с точностью до постоянного коэффициента. Раскладывая определитель характеристического уравнения \(n\)-го порядка, мы получаем в общем случае следующее уравнение: \[{\left( { - 1} \right)^n}{\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^{{k_1}}}{\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)^{{k_2}}} \cdots {\left( {\lambda - {\lambda _m}} \right)^{{k_m}}} = 0,\] где \[{k_1} + {k_2} + \cdots + {k_m} = n.\] Здесь число \({k_i}\) называется алгебраической кратностью собственного значения \({\lambda_i}.\) Для каждого такого собственного значения существует \({s_i}\) линейно независимых собственных векторов. Число \({s_i}\) называется геометрической кратностью собственного значения \({\lambda_i}.\) В курсе линейной алгебры доказывается, что геометрическая кратность \({s_i}\) не превосходит алгебраическую кратность \({k_i},\) т.е. выполняется соотношение \[0<{s_i} \le {k_i}.\] Оказывается, что вид общего решения однородной системы существенно зависит от кратности собственных значений. Рассмотрим возможные случаи, которые здесь возникают. В данном простейшем случае каждому собственному значению \({\lambda _i}\) соответствует один собственный вектор \({\mathbf{V}_i}.\) Эти векторы образуют множество линейно независимых решений \[ {{\mathbf{X}_1} = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1},\;\;{\mathbf{X}_2} = {e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2}, \ldots ,\;} {{\mathbf{X}_n} = {e^{{\lambda _n}t}}{\mathbf{V}_n},} \] т.е. фундаментальную систему решений однородной системы уравнений. В силу линейной независимости собственных векторов соответствующий вронскиан будет отличен от нуля: \[ {{W_{\left[ {{\mathbf{X}_1},{\mathbf{X}_2}, \ldots ,{\mathbf{X}_n}} \right]}}\left( t \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{11}}\left( t \right)}&{{x_{12}}\left( t \right)}& \cdots &{{x_{1n}}\left( t \right)}\\ {{x_{21}}\left( t \right)}&{{x_{22}}\left( t \right)}& \cdots &{{x_{2n}}\left( t \right)}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{x_{n1}}\left( t \right)}&{{x_{n2}}\left( t \right)}& \cdots &{{x_{nn}}\left( t \right)} \end{array}} \right| } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{{\lambda _1}t}}{V_{11}}}&{{e^{{\lambda _2}t}}{V_{12}}}& \cdots &{{e^{{\lambda _n}t}}{V_{1n}}}\\ {{e^{{\lambda _1}t}}{V_{21}}}&{{e^{{\lambda _2}t}}{V_{22}}}& \cdots &{{e^{{\lambda _n}t}}{V_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{e^{{\lambda _1}t}}{V_{n1}}}&{{e^{{\lambda _2}t}}{V_{n2}}}& \cdots &{{e^{{\lambda _n}t}}{V_{nn}}} \end{array}} \right| } = {{e^{\left( {{\lambda _1} + {\lambda _2} + \cdots + {\lambda _n}} \right)t}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}&{{V_{12}}}& \cdots &{{V_{1n}}}\\ {{V_{21}}}&{{V_{22}}}& \cdots &{{V_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{V_{n1}}}&{{V_{n2}}}& \cdots &{{V_{nn}}} \end{array}} \right| \ne 0.} \] Общее решение системы имеет следующий вид: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} + \cdots } + {{C_n}{e^{{\lambda _n}t}}{\mathbf{V}_n},} \] где \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) − произвольные числа. Характеристическое уравнение может иметь комплексные корни. Если при этом все коэффициенты матрицы \(A\) действительны, то комплексные корни появляются всегда в виде пар комплексно-сопряженных чисел. Предположим, что мы получили пару комплексных собственных значений \({\lambda _i} = \alpha \pm \beta i.\) Данной паре комплексно-сопряженных чисел соответствует пара линейно-независимых действительных решения вида \[ {{\mathbf{X}_1} = \text{Re} \left[ {{e^{\left( {\alpha \pm \beta i} \right)t}}{\mathbf{V}_i}} \right],}\;\; {{\mathbf{X}_2} = \text{Im} \left[ {{e^{\left( {\alpha \pm \beta i} \right)t}}{\mathbf{V}_i}} \right].} \] Таким образом, действительная и мнимая части комплексного решения образуют пару действительных решений. Этот случай практически не отличается от предыдущего. Несмотря на наличие собственных значений с кратностью более \(1,\) мы можем определить \(n\) линейно независимых собственных векторов. В частности, любая симметрическая матрица с действительными числами, у которой есть \(n\) собственных чисел, будет иметь n собственных векторов. Аналогичным свойством обладают унитарные матрицы. В общем случае квадратная матрица размером \(n \times n\) должна быть диагонализируемой, чтобы иметь \(n\) собственных векторов. Общее решение системы \(n\) дифференциальных уравнений представляется в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \underbrace {{C_{11}}{e^{{\lambda _1}t}}\mathbf{V}_1^{\left( 1 \right)} + {C_{12}}{e^{{\lambda _1}t}}\mathbf{V}_1^{\left( 2 \right)} + \cdots + {C_{1{k_1}}}{e^{{\lambda _1}t}}\mathbf{V}_1^{\left( {{k_1}} \right)}}_{{k_1}\;\text{членов}} } + {\underbrace {{C_{21}}{e^{{\lambda _2}t}}\mathbf{V}_2^{\left( 1 \right)} + {C_{22}}{e^{{\lambda _2}t}}\mathbf{V}_2^{\left( 2 \right)} + \cdots + {C_{2{k_2}}}{e^{{\lambda _2}t}}\mathbf{V}_2^{\left( {{k_2}} \right)}}_{{k_2}\;\text{членов}} + \cdots } \] Здесь полное число слагаемых равно \(n,\) \({C_{ij}}\) − произвольные числа. В некоторых матрицах \(A\) (такие матрицы называются дефектными) собственное число \({\lambda_i}\) кратностью \({k_i}\) может иметь меньше, чем \({k_i}\) линейно независимых собственных векторов. В этом случае вместо недостающих собственных векторов определяются так называемые присоединенные векторы, так чтобы в результате получить множество \(n\) линейно независимых векторов и построить соответствующую фундаментальную систему решений. Для этой цели обычно применяются два способа: Детальное описание этих способов решения приводится отдельно на указанных web-страницах. Ниже мы рассмотрим примеры систем дифференциальных уравнений, соответствующие случаям \(1\) и \(2.\)

Пример 1

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = - 2x + 5y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + 2y.\] Вычислим собственные значения \({\lambda_i}\) матрицы \(A,\) составленной из коэффициентов заданных уравнений: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - \lambda }&5\\ 1&{2 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( { - 2 - \lambda } \right)\left( {2 - \lambda } \right) - 5 = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 2} \right)\left( {\lambda - 2} \right) - 5 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 9 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 3,\;{\lambda _2} = - 3.} \] В данном примере характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем собственный вектор \({\mathbf{V}_1},\) соответствующий собственному числу \({\lambda _1} = 3.\) Подставляя \({\lambda _1} = 3,\) получаем векторно-матричное уравнение для определения \({\mathbf{V}_1}:\) \[\left( {A - \lambda I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\] Пусть собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) имеет координаты \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) (здесь индекс \(T\) означает операцию транспонирования). Тогда предыдущее уравнение можно записать в виде: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - 3}&5\\ 1&{2 - 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&5\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.} \] После перемножения матриц получаем систему двух уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} - 5{V_{11}} + 5{V_{21}} = 0\\ {V_{11}} - {V_{21}} = 0 \end{array} \right..\] Оба уравнения являются линейно зависимыми. Из второго уравнения находим соотношение между координатами собственного вектора: \({V_{11}} = {V_{21}}.\) Полагаем \({V_{21}} = 1.\) Следовательно, \({V_{11}} = 1.\) Таким образом, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) имеет координаты \({\mathbf{V}_1} = {\left( {1,1} \right)^T}.\) Аналогично определяем \(2\)-ой собственный вектор \({\mathbf{V}_2},\) соответствующий \({\lambda _2} = -3.\) Пусть \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{21}},{V_{22}}} \right)^T}.\) Тогда \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 + 3}&5\\ 1&{2 + 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5\\ 1&5 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.} \] Получаем систему двух одинаковых уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} {V_{21}} + 5{V_{22}} = 0\\ {V_{21}} + 5{V_{22}} = 0 \end{array} \right..\] Отсюда находим координаты собственного вектора \({\mathbf{V}_2}:\) \[{V_{21}} = - 5{V_{22}},\;\;{V_{22}} = 1,\;\;{V_{21}} = - 5.\] Следовательно, \({\mathbf{V}_2} = {\left( {-5,1} \right)^T}.\) Таким образом, система уравнений имеет два различных собственных числа и два собственных вектора. Общее решение выражается формулой \[\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = {C_1}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{ - 3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ 1 \end{array}} \right),\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные числа.

Пример 2

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = x - 8y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = 2x + y.\] Будем искать решение системы в виде \[\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) \sim {e^{\lambda t}}\mathbf{V},\] где \(\lambda\) − собственное значение матрицы \(A,\) составленной из коэффициентов уравнения, а \(\mathbf{V}\) − собственный вектор этой матрицы. Решим характеристическое уравнение: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&{ - 8}\\ 2&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {1 - \lambda } \right)^2} + 16 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 1} \right)^2} = - 16,}\;\; {\Rightarrow \left| {\lambda - 1} \right| = \pm 4i,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = 1 \pm 4i.} \] Мы получили два собственных значения в виде пары комплексно-сопряженных чисел. Найдем собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) для собственного значения \({\lambda _1} = 1 + 4i\) из следующей системы уравнений: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {1 + 4i} \right)}&{ - 8}\\ 2&{1 - \left( {1 + 4i} \right)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4i}&{ - 8}\\ 2&{ - 4i} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4i{V_{11}} - 8{V_{21}} = 0}\\ {2{V_{11}} - 4i{V_{21}} = 0} \end{array}} \right..} \] Оба уравнения являются линейно зависимыми. Из второго уравнения получаем: \[ {2{V_{11}} - 4i{V_{21}} = 0,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} = 2i{V_{21}},}\;\; {\Rightarrow {V_{21}} = 1,\;{V_{11}} = 2i.} \] Итак, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) равен: \[{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2i}\\ 1 \end{array}} \right).\] Следовательно, комплексному числу \({\lambda _1} = 1 + 4i\) соответствует решение вида \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} } = {{e^{\left( {1 + 4i} \right)t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2i}\\ 1 \end{array}} \right).} \] Преобразуем экспоненциальную функцию по формуле Эйлера: \[ {{e^{\left( {1 + 4i} \right)t}} = {e^t}{e^{4it}} } = {{e^t}\left( {\cos 4t + i\sin 4t} \right).} \] Решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) принимает вид: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{e^t}\left( {\cos 4t + i\sin 4t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2i}\\ 1 \end{array}} \right).} \] или после перемножения \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}\left( {\cos 4t + i\sin 4t} \right)2i}\\ {{e^t}\left( {\cos 4t + i\sin 4t} \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}\left( { - 2\sin 4t + 2i\cos 4t} \right)}\\ {{e^t}\left( {\cos 4t + i\sin 4t} \right)} \end{array}} \right).} \] В комплексном решении действительная и мнимая части являются линейно независимыми. Выделяя их, находим общее решение: \[ {\text{Re}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}\left( { - 2\sin 4t} \right)}\\ {{e^t}\cos 4t} \end{array}} \right),}\;\; {\text{Im}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^t}\left( {2\cos 4t} \right)}\\ {{e^t}\sin 4t} \end{array}} \right).} \] Таким образом, общее решение системы записывается в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\sin 4t}\\ {\cos 4t} \end{array}} \right) + {C_2}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2\cos 4t}\\ {\sin 4t} \end{array}} \right),} \] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные числа.

Пример 3

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = 3x,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = 3y.\] Матрица данной системы имеет диагональный вид: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 0&3 \end{array}} \right).\] Поэтому сразу можно сказать, что собственные векторы равны \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right),\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 3 \end{array}} \right)}\;\;\; {\text{или}\;\;\; {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right),\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right).} \] Построим однако решение, следуя общему алгоритму. Вычислим собственные значения матрицы \(A:\) \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \lambda }&0\\ 0&{3 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 3} \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda = 3.} \] Матрица имеет единственное собственное значение с алгебраической кратностью \(2.\) Если подставить найденное число \({\lambda _1} = 3\) в систему уравнений для определения собственного вектора \(\mathbf{V}\), то получим вырожденный случай: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 3}&0\\ 0&{3 - 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0}\\ {0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow 0 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0.} \] Ясно, что для заданной матрицы \(A\) любой ненулевой вектор \(\mathbf{V}\) будет являться собственным. Поэтому, в качестве базиса из собственных векторов удобно взять следующие два линейно независимых вектора: \[{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right),\;\;{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right).\] Заметим, что мы получили случай, когда собственное значение \({\lambda _1} = 3\) имеет одинаковую алгебраическую и геометрическую кратность \({k_1} = {s_1} = 2,\) что соответствует случаю \(2\) по нашей классификации. Общее решение системы уравнений записывается в виде \[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right).\]

Пример 4

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = x + 2y - 3z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = - 5x + y - 4z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = - 2y + 4z.} \] Вычислим собственные значения матрицы \(A:\) \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&2&{ - 3}\\ { - 5}&{1 - \lambda }&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&{4 - \lambda } \end{array}} \right| = 0.} \] Раскладываем определитель по первому столбцу: \[ {\left( {1 - \lambda } \right)\left[ {\left( {1 - \lambda } \right)\left( {4 - \lambda } \right) - 8} \right] + 5\left[ {2\left( {4 - \lambda } \right) - 6} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 5\lambda - 4} \right) + 5\left( { - 2\lambda + 2} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \color{blue}{\lambda ^2} - \color{red}{5\lambda} - \color{green}4 - {\lambda ^3} + \color{blue}{5{\lambda ^2}} + \color{red}{4\lambda} - \color{red}{10\lambda} + \color{green}{10} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} - \color{blue}{6{\lambda ^2}} + \color{red}{11\lambda} - \color{green}6 = 0.} \] Можно заметить, что одним из корней данного кубического уравнения будет число \(\lambda = 1.\) Тогда получаем \[ {{\lambda ^3} - {\lambda ^2} - 5{\lambda ^2} + 5\lambda + 6\lambda - 6 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) - 5\lambda \left( {\lambda - 1} \right) + 6\left( {\lambda - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 5\lambda + 6} \right) = 0.} \] Квадратное уравнение, в свою очередь, имеет корни \(\lambda = 2,3.\) Следовательно, матрица \(A\) имеет три различных действительных собственных числа: \[{\lambda _1} = 1,\;\;{\lambda _2} = 2,\;\;{\lambda _3} = 3.\] Теперь для каждого собственного числа определим собственный вектор. Найдем вектор \({\mathbf{V}_1}\) для числа \({\lambda _1} = 1,\) решив векторно-матричное уравнение \[\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}.\] Обозначая \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T},\) запишем это уравнение в виде \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 1}&2&{ - 3}\\ { - 5}&{1 - 1}&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&{4 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&{ - 3}\\ { - 5}&0&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.} \] В результате имеем систему линейных алгебраических уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} 0 + 2{V_{21}} - 3{V_{31}} = 0\\ - 5{V_{11}} + 0 - 4{V_{31}} = 0\\ 0 - 2{V_{21}} + 3{V_{31}} = 0 \end{array} \right..\] В этой системе первое и третье уравнения одинаковы, т.е. ранг матрицы равен \(2.\) Оставим два независимых уравнения и примем \({V_{31}}\) за свободную переменную. Получаем: \[ {\left\{ \begin{array}{l} 2{V_{21}} - 3{V_{31}} = 0\\ 5{V_{11}} + 4{V_{31}} = 0 \end{array} \right.,\;\;{V_{31}} = t,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{V_{21}} = 3t\\ 5{V_{11}} = - 4t \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_{21}} = \frac{3}{2}t\\ {V_{11}} = - \frac{4}{5}t \end{array} \right..} \] Итак, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) имеет координаты: \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{4}{5}t}\\ {\frac{3}{2}t}\\ t \end{array}} \right) } \sim {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8}\\ {15}\\ {10} \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8}\\ {15}\\ {10} \end{array}} \right).} \] где для простоты принято \(t = 1.\) Аналогично найдем координаты второго собственного вектора \({\mathbf{V}_2},\) соответствующего числу \({\lambda _2} = 2.\) Полагаем \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}},{V_{32}}} \right)^T}.\) Тогда имеем следующую систему уравнений: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 2}&2&{ - 3}\\ { - 5}&{1 - 2}&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&{4 - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&{ - 3}\\ { - 5}&{ - 1}&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {V_{12}} + 2{V_{22}} - 3{V_{32}} = 0}\\ { - 5{V_{12}} - {V_{22}} - 4{V_{32}} = 0}\\ { - 2{V_{22}} + 2{V_{32}} = 0} \end{array}} \right..} \] Пусть \({V_{32}} = t.\) Из третьего уравнения находим: \({V_{22}} = {V_{32}} = t.\) Подставляя в первое уравнение, получаем: \[{V_{12}} = 2{V_{22}} - 3{V_{32}} = 2t - 3t = - t.\] Следовательно, собственный вектор \({\mathbf{V}_2}\) равен: \[ {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - t}\\ t\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] При \(t = 1\) можно записать: \({\mathbf{V}_2} = {\left( { - 1,1,1} \right)^T}.\) Вычислим теперь координаты третьего собственного вектора \({\mathbf{V}_3},\) соответствующего числу \({\lambda _3} = 3.\) Обозначив \({\mathbf{V}_3} = {\left( {{V_{13}},{V_{23}},{V_{33}}} \right)^T},\) получаем следующую систему уравнений: \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 3}&2&{ - 3}\\ { - 5}&{1 - 3}&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&{4 - 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&2&{ - 3}\\ { - 5}&{ - 2}&{ - 4}\\ 0&{ - 2}&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2{V_{13}} + 2{V_{23}} - 3{V_{33}} = 0}\\ { - 5{V_{13}} - 2{V_{23}} - 4{V_{33}} = 0}\\ { - 2{V_{23}} + {V_{33}} = 0} \end{array}} \right..} \] В качестве свободной переменной выберем \({V_{33}} = t.\) Из последнего уравнения выразим \({V_{23}}:\) \[ {2{V_{23}} = - {V_{33}} = - t,}\;\; {\Rightarrow {V_{23}} = - \frac{t}{2}.} \] Подставляя \({V_{23}},\) \({V_{33}}\) в первое уравнение, получаем: \[ {- 2{V_{13}} = - 2{V_{23}} + 3{V_{33}} } = { - 2\left( { - \frac{t}{2}} \right) + 3t = 4t,}\;\; {\Rightarrow {V_{13}} = - 2t.} \] Таким образом, собственный вектор \({\mathbf{V}_3}\) имеет координаты \[ {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2t}\\ { - \frac{t}{2}}\\ t \end{array}} \right) } \sim {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right).} \] Общее решение системы записывается в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ {15}\\ {10} \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right),} \] где \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные числа.

Пример 5

Найти общее решение системы уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = - x - 4y + 2z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = 3x + y - 2z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = x - 4y + z.} \] Начнем с определения собственных значений матрицы \(A:\) \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \lambda }&{ - 4}&2\\ 3&{1 - \lambda }&{ - 2}\\ 1&{ - 4}&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,} \] \[ {\Rightarrow \left( { - 1 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {1 - \lambda } \right)}^2} - 8} \right] } - {3\left[ { - 4\left( {1 - \lambda } \right) + 8} \right] } + {\left[ {8 - 2\left( {1 - \lambda } \right)} \right] = 0,} \] \[ {\Rightarrow \left( { - 1 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 2\lambda - 7} \right) } - {3\left( {4\lambda + 4} \right) + \left( {2\lambda + 6} \right) = 0,} \] \[ {\Rightarrow - {\color{blue}{\lambda ^2}} + \color{red}{2\lambda} + \color{green}{7} - {\lambda ^3} } + {\color{blue}{2{\lambda ^2}} + \color{red}{7\lambda} } - {\color{red}{12\lambda} - \color{green}{12} } + {\color{red}{2\lambda} + \color{green}{6} = 0,} \] \[ {\Rightarrow - {\lambda ^3} + \color{blue}{\lambda ^2} - \color{red}{\lambda} + \color{green}{1} = 0}\;\;\; {\text{или}\;\;\;{\lambda ^3} - {\lambda ^2} + \lambda - 1 = 0.} \] Раскладывая левую часть на множители, получаем: \[ {{\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) + \lambda - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0.} \] Видно, что характеристическое уравнение имеет один действительный и два комплексных корня (в виде пары комплексно-сопряженных чисел): \[{\lambda _1} = 1,\;\;\;{\lambda _{2,3}} = \pm i.\] Нахождение собственного вектора \({\mathbf{V}_1}\) для собственного числа \({\lambda_1} = 1\) ничем не отличается от предыдущего примера. Координаты вектора \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}},{V_{31}}} \right)^T}\) определяются из системы линейных уравнений: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - 1}&{ - 4}&2\\ 3&{1 - 1}&{ - 2}\\ 1&{ - 4}&{1 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.\] После перемножения получаем: \[ {\left\{ \begin{array}{l} - 2{V_{11}} - 4{V_{21}} + 2{V_{31}} = 0\\ 3{V_{11}} - 2{V_{31}} = 0\\ {V_{11}} - 4{V_{21}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_{11}} + 2{V_{21}} - {V_{31}} = 0\\ 3{V_{11}} - 2{V_{31}} = 0\\ {V_{11}} - 4{V_{21}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_{11}} + 2{V_{21}} - {V_{31}} = 0\\ - 6{V_{21}} + {V_{31}} = 0\\ - 6{V_{21}} + {V_{31}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}} + 2{V_{21}} - {V_{31}} = 0}\\ { - 6{V_{21}} + {V_{31}} = 0} \end{array}} \right..} \] Видно, что ранг системы уравнений равен \(2.\) Поэтому мы можем выбрать одну свободную переменную, в качестве которой возьмем \({V_{31}} = t.\) Выразим остальные переменные через \(t:\) \[ {- 6{V_{21}} + t = 0,}\;\; {\Rightarrow {V_{21}} = \frac{t}{6},}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} + 2 \cdot \frac{t}{6} - t = 0,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} = t - \frac{t}{3} = \frac{2}{3}t.} \] Итак первый собственный вектор имеет координаты \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}t}\\ {\frac{1}{6}t}\\ t \end{array}} \right) } \sim {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 6 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 6 \end{array}} \right).} \] Рассмотрим теперь пару комплексно-сопряженных корней \({\lambda _{2,3}} = \pm i.\) Для нахождения компонента общего решения, связанного с этой парой корней, достаточно взять лишь одно число, например, \({\lambda _2} = + i\) и построить для него собственный вектор \({\mathbf{V}_2},\) который, возможно, будет иметь комплексные координаты. Далее мы сконструируем частное решение \({\mathbf{X}_2}\) вида \[{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) \sim {e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2}\] и выделим в нем действительную и мнимую части, которые будут представлять два линейно независимых решения. Реализуя данный план, запишем матрично-векторное уравнение для вектора \({\mathbf{V}_2}:\) \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - i}&{ - 4}&2\\ 3&{1 - i}&{ - 2}\\ 1&{ - 4}&{1 - i} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0}.\] Получаем систему уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} - \left( {1 + i} \right){V_{12}} - 4{V_{22}} + 2{V_{32}} = 0\\ 3{V_{12}} + \left( {1 - i} \right){V_{22}} - 2{V_{32}} = 0\\ {V_{12}} - 4{V_{22}} + \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0 \end{array} \right..\] Преобразуем в более удобный вид первое уравнение, умножив его на \( - \large\frac{1}{{1 + i}}\normalsize :\) \[ {\left. { - \left( {1 + i} \right){V_{12}} - 4{V_{22}} + 2{V_{32}} = 0\;} \right| \cdot \left( { - \frac{1}{{1 + i}}} \right),}\;\; {\Rightarrow {V_{12}} + \frac{4}{{1 + i}}{V_{22}} - \frac{2}{{1 + i}}{V_{32}} = 0.} \] Избавимся от комплексных чисел в знаменателях коэффициентов: \[ {\frac{4}{{1 + i}} = \frac{{4\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} } = {\frac{{4 - 4i}}{{1 - {i^2}}} } = {\frac{{4 - 4i}}{2} = 2 - 2i,}\;\;\; - {\frac{2}{{1 + i}} = - 1 + i.} \] Тогда первое уравнение принимает вид: \[{V_{12}} + 2\left( {1 - i} \right){V_{22}} - \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0.\] Снова вернемся к системе уравнений и приведем ее к треугольному виду, чтобы определить ее ранг: \[ {\left. {\left\{ \begin{array}{l} {V_{12}} + 2\left( {1 - i} \right){V_{22}} - \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0\\ 3{V_{12}} + \left( {1 - i} \right){V_{22}} - 2{V_{32}} = 0\\ {V_{12}} - 4{V_{22}} + \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0 \end{array} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - 3{R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} - {R_1}}\normalsize \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_{12}} + 2\left( {1 - i} \right){V_{22}} - \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0\\ 0 - 5\left( {1 - i} \right){V_{22}} + \left[ { - 2 + 3\left( {1 - i} \right)} \right]{V_{32}} = 0\\ 0 + \left[ { - 4 - 2\left( {1 - i} \right)} \right]{V_{22}} + 2\left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_{12}} + \left( {2 - 2i} \right){V_{22}} + \left( { - 1 + i} \right){V_{32}} = 0\\ \left( { - 5 + 5i} \right){V_{22}} + \left( {1 - 3i} \right){V_{32}} = 0\\ \left( { - 6 + 2i} \right){V_{22}} + \left( {2 - 2i} \right){V_{32}} = 0 \end{array} \right..} \] Преобразуем второе уравнение: \[ {\left. {\left( { - 5 + 5i} \right){V_{22}} + \left( {1 - 3i} \right){V_{32}} = 0\;} \right| \cdot \left( {\frac{1}{{ - 5 + 5i}}} \right),}\;\; {\Rightarrow {V_{22}} + \frac{{1 - 3i}}{{ - 5 + 5i}}{V_{32}} = 0.} \] Здесь коэффициент перед переменной \({V_{32}}\) равен \[ {\frac{{1 - 3i}}{{ - 5 + 5i}} = \frac{{1 - 3i}}{{ - 5\left( {1 - i} \right)}} } = {\frac{{\left( {1 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( { - 5} \right)\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} } = {\frac{{1 - 3i + i - 3{i^2}}}{{\left( { - 5} \right)\left( {1 - {i^2}} \right)}} } = {\frac{{4 - 2i}}{{\left( { - 5} \right) \cdot 2}} } = {\frac{{2 - i}}{{\left( { - 5} \right)}} } = {\frac{{ - 2 + i}}{5}.} \] Следовательно, второе уравнение имеет вид: \[{V_{22}} + \frac{{ - 2 + i}}{5}{V_{32}} = 0.\] Аналогичным образом преобразуем третье уравнение: \[ {\left. {\left( { - 6 + 2i} \right){V_{22}} + \left( {2 - 2i} \right){V_{32}} = 0\;} \right|:2,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left( { - 3 + i} \right){V_{22}} + \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0\;} \right| \cdot \left( {\frac{1}{{ - 3 + i}}} \right),}\;\; {\Rightarrow {V_{22}} + \frac{{1 - i}}{{ - 3 + i}}{V_{32}} = 0.} \] Вычислим коэффициент перед \({V_{32}}:\) \[ {\frac{{1 - i}}{{ - 3 + i}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)\left( { - 3 - i} \right)}}{{\left( { - 3 + i} \right)\left( { - 3 - i} \right)}} } = {\frac{{ - 3 + 3i - i + {i^2}}}{{9 - {i^2}}} } = {\frac{{ - 4 + 2i}}{{9 + 1}} } = {\frac{{ - 4 + 2i}}{{10}} } = {\frac{{ - 2 + i}}{5}.} \] Тогда третье уравнение записывается как \[{V_{22}} + \frac{{ - 2 + i}}{5}{V_{32}} = 0,\] т.е. оно совпадает со вторым уравнением. Итак, ранг системы равен \(2\) и ее можно записать в следующей эквивалентной форме: \[\left\{ \begin{array}{l} {V_{12}} + \left( {2 - 2i} \right){V_{22}} - \left( {1 - i} \right){V_{32}} = 0\\ {V_{22}} + \frac{{ - 2 + i}}{5}{V_{32}} = 0 \end{array} \right..\] В качестве свободной переменной примем \({V_{32}} = t.\) Выразим через \(t\) последовательно другие переменные \({V_{22}}\) и \({V_{12}}:\) \[ {{V_{22}} + \frac{{ - 2 + i}}{5}t = 0,}\;\; {\Rightarrow {V_{22}} = - \left( {\frac{{ - 2 + i}}{5}} \right)t = \frac{{2 - i}}{5}t,}\;\; {\Rightarrow {V_{12}} + \left( {2 - 2i} \right)\left( {\frac{{2 - i}}{5}t} \right) - \left( {1 - i} \right)t = 0,}\;\; {\Rightarrow {V_{12}} = \left( {1 - i} \right)t - \frac{{\left( {2 - 2i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{5}t } = {\left( {1 - i - \frac{{4 - 4i - 2i + 2{i^2}}}{5}} \right)t } = {\left( {1 - i - \frac{{2 - 6i}}{5}} \right)t } = {\frac{{5 - 5i - 2 + 6i}}{5}t } = {\frac{{3 + i}}{5}t.} \] Таким образом, мы определили собственный вектор \({\mathbf{V}_2}\) с комплексными координатами: \[ {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}}\\ {{V_{32}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{3 + i}}{5}t}\\ {\frac{{2 - i}}{5}t}\\ t \end{array}} \right) } \sim {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + i}\\ {2 - i}\\ 5 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + i}\\ {2 - i}\\ 5 \end{array}} \right).} \] Сконструируем теперь решение \({\mathbf{X}_2}\) на основе собственного значения \({\lambda_2}\) и собственного вектора \({\mathbf{V}_2}\) и разложим его на действительную и мнимую компоненты. \[ {{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} } = {{e^{it}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + i}\\ {2 - i}\\ 5 \end{array}} \right).} \] Представим \({e^{it}}\) по формуле Эйлера: \[{e^{it}} = \cos t + i\sin t.\] Следовательно, \[ {{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\cos t + i\sin t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + i}\\ {2 - i}\\ 5 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {3 + i} \right)\left( {\cos t + i\sin t} \right)}\\ {\left( {2 - i} \right)\left( {\cos t + i\sin t} \right)}\\ {5\left( {\cos t + i\sin t} \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + i\cos t + 3i\sin t - \sin t}\\ {2 - i\cos t + 2i\sin t + \sin t}\\ {5\cos t + 5i\sin t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \sin t}\\ {2 + \sin t}\\ {5\cos t} \end{array}} \right) + i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t + 3\sin t}\\ { - \cos t + 2\sin t}\\ {5\sin t} \end{array}} \right).} \] Вычисленные действительные и мнимые части комплексного векторного решения \({\mathbf{X}_2}\) являются линейно независимыми. С учетом первого компонента \({\mathbf{X}_1},\) соответствующего собственному числу \({\lambda_1},\) можно записать общее действительное решение системы в виде \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 6 \end{array}} \right) } + {{C_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \sin t}\\ {2 + \sin t}\\ {5\cos t} \end{array}} \right) } + {{C_3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t + 3\sin t}\\ { - \cos t + 2\sin t}\\ {5\sin t} \end{array}} \right),} \] где \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные числа.

Пример 6

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = 2x + y + z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x + 2y + z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = x + y + 2z.} \] Определим собственные значения заданной матрицы: \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - \lambda }&1&1\\ 1&{2 - \lambda }&1\\ 1&1&{2 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {2 - \lambda } \right)}^2} - 1} \right] } - {1 \cdot \left[ {\left( {2 - \lambda } \right) - 1} \right] } + {1 \cdot \left[ {1 - \left( {2 - \lambda } \right)} \right] = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 3} \right) } - {\left( { - \lambda + 1} \right) + \left( {\lambda - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \color{blue}{2{\lambda ^2}} - \color{red}{8\lambda} + \color{green}{6} - {\lambda ^3} + \color{blue}{4{\lambda ^2}} - \color{red}{3\lambda} + \color{red}{2\lambda} - \color{green}{2} = 0,}\;\; {\Rightarrow - {\lambda ^3} + \color{blue}{6{\lambda ^2}} - \color{red}{9\lambda} + \color{green}{4} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3} - 6{\lambda ^2} + 9\lambda - 4 = 0.} \] Можно заметить, что данное кубическое уравнение имеет корень \(\lambda = 1.\) Выделяя одночлен \(\left( {\lambda - 1} \right),\) получаем: \[ {{\lambda ^3} - {\lambda ^2} - 5{\lambda ^2} + 5\lambda + 4\lambda - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) - 5\lambda \left( {\lambda - 1} \right) + 4\left( {\lambda - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 5\lambda + 4} \right) = 0.} \] Корни квадратного уравнения равны: \(\lambda = 1, 4.\) Таким образом, характеристическое уравнение представляется в виде \[{\left( {\lambda - 1} \right)^2}\left( {\lambda - 4} \right) = 0.\] Исходная матрица системы является симметрической. Поэтому она будет иметь три собственных вектора. Это означает, что у корня \(\lambda = 1\) алгебраическая и геометрическая кратность одинаковы (и равны \(2\)). Определим собственные векторы, соответствующие числу \({\lambda _{1,2}} = 1.\) Они находятся из системы уравнений \[ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 1}&1&1\\ 1&{2 - 1}&1\\ 1&1&{2 - 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}}\\ {{V_{31}}} \end{array}} \right] = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}} + {V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\ {{V_{11}} + {V_{21}} + {V_{31}} = 0}\\ {{V_{11}} + {V_{21}} + {V_{31}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} + {V_{21}} + {V_{31}} = 0.} \] Видно, что все три уравнения одинаковы. Оставляем одно уравнение и, выбирая в качестве свободных переменных \({V_{21}} = u,\) \({V_{31}} = v,\) получаем: \[{V_{11}} = - {V_{21}} - {V_{31}} = - u - v.\] Отсюда следует, что координаты первого собственного вектора (при \(u = 1,v = 0\)) равны: \({\mathbf{V}_1} = {\left( { - 1,1,0} \right)^T}.\) Соответственно, координаты второго линейно независимого собственного вектора (при \(u = 0,v = 1\)) составляют: \({\mathbf{V}_2} = {\left( { - 1,0,1} \right)^T}.\) Теперь определим третий собственный вектор \({\mathbf{V}_3},\) соответствующий числу \({\lambda _3} = 4:\) \[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 4}&1&1\\ 1&{2 - 4}&1\\ 1&1&{2 - 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {{V_{13}} - 2{V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {{V_{13}} + {V_{23}} - 2{V_{33}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left. {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} - 2{V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {{V_{13}} + {V_{23}} - 2{V_{33}} = 0}\\ { - 2{V_{13}} + {V_{23}} + {V_{33}} = 0} \end{array}} \right.\;} \right|\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {}\\ \small{{R_2} - {R_1}}\normalsize\\ \small{{R_3} + 2{R_1}}\normalsize \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} - 2{V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {0 + 3{V_{23}} - 3{V_{33}} = 0}\\ {0 - 3{V_{23}} + 3{V_{33}} = 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{13}} - 2{V_{23}} + {V_{33}} = 0}\\ {{V_{23}} - {V_{33}} = 0} \end{array}.} \right.} \] Здесь выбираем в качестве свободной переменную \({V_{33}} = t.\) Другие две координаты равны \[ {{V_{23}} = {V_{33}},}\;\; {\Rightarrow {V_{23}} = t,}\;\; {\Rightarrow {V_{13}} = 2{V_{23}} - {V_{33}} = 2t - t = t.} \] Следовательно, собственный вектор \({\mathbf{V}_3}\) имеет следующие координаты: \[ {{\mathbf{V}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{13}}}\\ {{V_{23}}}\\ {{V_{33}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ t\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Общее решение системы дифференциальных уравнений выражается формулой \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 0 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) } + {{C_3}{e^{4t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right),} \] где \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные числа.