Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида \[y'' + py' + qy = 0,\] где \(p, q\) − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: \[{k^2} + pk + q = 0.\] Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: \(D>0.\) Тогда корни характеристического уравнения \({k_1}\) и \({k_2}\) действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией \[y\left( x \right) = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}},\] где \({C_1}\) и \({C_2}\) − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: \(D = 0.\) Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень \({k_1}\) второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: \[y\left( x \right) = \left( {{C_1}x + {C_2}} \right){e^{{k_1}x}}.\]

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: \(D<0.\) Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни \({k_1} = \alpha + \beta i,\;{k_2} = \alpha - \beta i.\) Общее решение записывается в виде \[y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left[ {{C_1}\cos \left( {\beta x} \right) + {C_2}\sin \left( {\beta x} \right)} \right].\]

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение \(y'' - 6' + 5y = 0.\) Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: \[{k^2} - 6k + 5 = 0.\] Корни данного уравнения равны \({k_1} = 1,\;{k_2} = 5.\) Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: \[y\left( x \right) = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{5x}},\] где \({C_1}\) и \({C_2}\) − произвольные постоянные.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения \(y'' - 6y' + 9y = 0.\) Вычислим корни характеристического уравнения: \[ {{k^2} - 6k + 9 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 36 - 4 \cdot 9 = 0,}\;\; {\Rightarrow {k_{1,2}} = 3.} \] Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: \({k_1} = 3.\) Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой \[y\left( x \right) = \left( {{C_1}x + {C_2}} \right){e^{3x}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные действительные числа.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение \(y'' + 4y' + 5y = 0.\) Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: \[ {{k^2} - 4k + 5 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 16 - 4 \cdot 5 = - 4,}\;\; {\Rightarrow {k_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt { - 4} }}{2} } = {\frac{{4 \pm 2i}}{2} = 2 \pm i.} \] Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: \({k_1} = 2 + i,\) \({k_2} = 2 - i.\) В этом случае общее решение выражается формулой \[y\left( x \right) = {e^{2x}}\left[ {{C_1}\cos x + {C_2}\sin x} \right],\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.

Пример 4

Решить уравнение \(y'' + 25y = 0.\) Характеристическое уравнение имеет вид: \[{k^2} + 25 = 0.\] Корни этого уравнения являются чисто мнимыми: \[{k^2} = - 25,\;\; \Rightarrow {k_1} = 5i,\;\;{k_2} = - 5i.\] Тогда ответ записывается в следующем виде: \[y\left( x \right) = {C_1}\cos \left( {5x} \right) + {C_2}\sin\left( {5x} \right),\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − постоянные интегрирования.

Пример 5

Решить уравнение \(y'' + 4iy = 0.\) В данном уравнении коэффициент перед \(y\) является комплексным числом. Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными комплексными коэффициентами конструируется так же, как и в случае действительных коэффициентов. Сначала запишем характеристическое уравнение: \[{k^2} + 4i = 0.\] Определим корни уравнения: \[ {{k^2} = - 4i,}\;\; {\Rightarrow {k_{1,2}} = \pm \sqrt { - 4i} } = { \pm \sqrt { - 1} \sqrt 4 \sqrt i } = { \pm 2i\sqrt i .} \] Вычислим отдельно квадратный корень из мнимой единицы. Для этого число \(i\) удобно представить в тригонометрической форме: \[ {i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2} = {e^{i\large\frac{\pi }{2}\normalsize}},}\;\; {\Rightarrow \sqrt i = \sqrt {{e^{i\large\frac{\pi }{2}\normalsize}}} } = {{e^{\left( {i{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} \cdot {\large\frac{1}{2}\normalsize}} \right)}} } = {{e^{i\large\frac{\pi }{4}\normalsize}} } = {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4} } = {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}.} \] Корни характеристического уравнения будут равны: \[ {{k_{1,2}} = \pm 2i\sqrt i = \pm 2i\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) } = {\pm \left( { - \sqrt 2 + \sqrt 2 i} \right),}\;\; {\Rightarrow {k_1} = - \sqrt 2 + \sqrt 2 i,\;\;{k_2} = \sqrt 2 - \sqrt 2 i.} \] Общее решение исходного дифференциального уравнения будет выражаться в виде линейной комбинации экспоненциальных функций: \[y\left( x \right) = {C_1}{e^{\left( { - \sqrt 2 + \sqrt 2 i} \right)x}} + {C_2}{e^{\left( {\sqrt 2 - \sqrt 2 i} \right)x}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные.