Производные тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие \(6\) функций: синус (\(\sin x\)), косинус (\(\cos x\)), тангенс (\(\text{tg }x\) или \(\tan x\)), котангенс (\(\text{ctg }x\) или \(\cot x\)), секанс (\(\sec x\)) и косеканс (\(\csc x\)). Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция. Они называются, соответственно, арксинус (\(\arcsin x\)), арккосинус (\(\arccos x\)), арктангенс (\(\text{arctg }x\) или \(\arctan x\)), арккотангенс (\(\text{arcctg }x\) или \(\text{arccot }x\)), арксеканс (\(\text{arcsec }x\)) и арккосеканс (\(\text{arccsc }x\)). Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения. Далее мы составим список производных для этих \(12\) функций. На странице Определение производной мы уже вывели производные для синуса и косинуса. Они имеют следующий вид: \[{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x,\;\;{\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x.\] Используя правило дифференцирования частного двух функций, легко получить выражение для производной тангенса: \[ {{\left( {\tan x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }\cos x - \sin x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\;\;} \] Точно также находится и производная котангенса. Однако это можно сделать и с помощью правила дифференцирования сложной функции: \[\require{cancel} {{\left( {\cot x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\tan x}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\tan }^2}x}} \cdot {\left( {\tan x} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} } = { - \frac{\cancel{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x \cdot \cancel{{{\cos }^2}x}}} } = { - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.} \] Аналогичным образом найдем производные функций секанса и косеканса: \[ {{\left( {\sec x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \frac{1}{{\cos x}} } = {\tan x\sec x,} \] \[ {{\left( {\csc x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\sin x}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cdot {\left( {\sin x} \right)^\prime } } = {-\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} } = {-\frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{1}{{\sin x}} } = {-\cot x\csc x.} \] Производные обратных тригонометрических функций можно вывести, используя теорему о производной обратной функции. Так, например, для функции \(y = f\left( x \right) = \arcsin x\) обратной функцией является синус, т.е. \(x = \varphi \left( y \right) = \sin y.\) Тогда производная арксинуса равна: \[ {{\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) = \frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sin y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\cos y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {\sin^2}y} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {\sin^2}\left( {\arcsin x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\;\;\left( { - 1<x<1} \right).} \] Таким же способом можно вывести производные других обратных тригонометрических функций: \[ {{\left( {\arccos x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\left( {\cos y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\left( { - \sin y} \right)}} } = {- \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}y} }} } = {- \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {\arccos x} \right)} }} } = {- \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\;\;\left( { - 1<x<1} \right),}\qquad \] \[ {{\left( {\arctan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\left( {\tan y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}} } = {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}y}} } = {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\arctan x} \right)}} } = {\frac{1}{{1 + {x^2}}},} \] \[ {\left( {\text{arccot }x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\left( {\cot y} \right)}^\prime }}} = \frac{1}{{\left( { - \frac{1}{{{\sin^2}y}}} \right)}} = - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}y}} = - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\left( {\text{arccot }x} \right)}} = - \frac{1}{{1 + {x^2}}}, \] \[ {{\left( {\text{arcsec }x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\left( {\sec y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\tan y\sec y}} } = {\frac{1}{{\sec y\sqrt {{{\sec }^2}y - 1} }} } = {\frac{1}{{\sec \left( {\text{arcsec }x} \right) \cdot \sqrt {{{\sec }^2}\left( {\text{arcsec }x} \right) - 1} }} } = {\frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} }}.\;\;\;\;} \] В последней формуле модуль \(\left| x \right|\) в знаменателе появляется в связи с тем, что произведение \({\tan y\sec y}\) должно быть всегда положительным в области допустимых значений \(y\), где \(y \in \left( {0,\large\frac{\pi }{2}\normalsize} \right) \cup \left( {\large\frac{\pi }{2}\normalsize,\pi } \right),\) т.е. производная арксеканса всегда положительна. Аналогично определяется производная арккосеканса: \[ {{\left( {\text{arccsc }x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\left( {\csc y} \right)}^\prime }}} } = {-\frac{1}{{\cot y\csc y}} } = {-\frac{1}{{\csc y\sqrt {{{\csc }^2}y - 1} }} } = {-\frac{1}{{\csc \left( {\text{arccsc }x} \right) \cdot \sqrt {{{\csc }^2}\left( {\text{arccsc }x} \right) - 1} }} } = {-\frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} }}.} \] Рассмотренные производные \(6\) основных тригонометрических функций и \(6\) обратных тригонометрических функций представлены в следующей таблице:

В приведенных ниже примерах найти производную заданной тригонометрической функции.

Пример 1

\[y = \cos 2x - 2\sin x\] Используя линейные свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу двойного угла, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\cos 2x - 2\sin x} \right)^\prime } } = {{\left( {\cos 2x} \right)^\prime } - {\left( {2\sin x} \right)^\prime } } = {\left( { - \sin 2x} \right) \cdot {\left( {2x} \right)^\prime } - 2{\left( {\sin x} \right)^\prime } } = { - 2\sin 2x - 2\cos x } = { - 2\sin x\cos x - 2\cos x } = { - 2\cos x\left( {\sin x + 1} \right).} \]

Пример 2

\[y = \tan x + \frac{1}{3}{\tan ^3}x\] Производная данной функции имеет следующий вид: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\tan x + \frac{1}{3}{{\tan }^3}x} \right)^\prime } } = {{\left( {\tan x} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{3}{{\tan }^3}x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{3} \cdot 3{\tan ^2}x \cdot {\left( {\tan x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {\tan ^2}x \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.} \] Числитель упрощается с помощью тригонометрического тождества \[ {1 + {\tan^2}x = {\sec ^2}x } = {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.} \] Поэтому \[ {y'\left( x \right) = \frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{1}{{{{\cos }^4}x}} } = {{\sec ^4}x.} \]

Пример 3

\[y = \arctan \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\;\;\left( {x \ne 1} \right)\] Используя формулы производной сложной функции и производной частного, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\arctan \frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{1 \cdot \left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{\color{blue}{x}} - \color{red}{1} - \cancel{\color{blue}{x}} - \color{red}{1}}}{{\color{maroon}{x^2} - \cancel{\color{green}{2x}} + \color{DarkViolet}{1} + \color{maroon}{x^2} + \cancel{\color{green}{2x}} + \color{DarkViolet}{1}}} } = {\frac{{ - \color{red}{2}}}{{\color{maroon}{2{x^2}} + \color{DarkViolet}{2}}} } = { - \frac{1}{{1 + {x^2}}}.} \]

Пример 4

\[y = \arctan \left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\] Применяем дважды правило дифференцирования сложной функции и упрощаем полученное выражение: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\arctan \left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \cdot {\left( {x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {x^2} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} + {{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot {{\left( {1 + {x^2}} \right)}^\prime }} \right) } = {\frac{1}{{1 + {x^2} - 2x\sqrt {1 + {x^2}} + 1 + {x^2}}} \cdot \left( {1 - \frac{{\cancel{2}x}}{{\cancel{2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) } = {\frac{1}{{2\left( {1 + {x^2} - x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}} \cdot \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} } = {\frac{\cancel{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} \cancel{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)}\sqrt {1 + {x^2}} }} } = {\frac{1}{{2{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} } = {\frac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}.} \]

Пример 5

\[y = \frac{1}{{{{\cos }^n}x}}\] Найдем производную данной функции, используя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^n}x}}} \right)^\prime } } = {{\left[ {{{\left( {\cos x} \right)}^{ - n}}} \right]^\prime } } = { - n{\left( {\cos x} \right)^{ - n - 1}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } } = { - n{\left( {\cos x} \right)^{ - n - 1}} \cdot \left( { -\sin x} \right) } = {\frac{{n\sin x}}{{{{\cos }^{n + 1}}x}}.} \] Здесь предполагается, что \(\cos x \ne 0\), т.е. \(x \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

Пример 6

\[y = {\cos ^2}\sin x\] Применяя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\cos }^2}\sin x} \right)^\prime } } = {2\cos \sin x \cdot {\left( {\cos \sin x} \right)^\prime } } = {2\cos \sin x \cdot \left( { - \sin\sin x} \right) \cdot {\left( {\sin x} \right)^\prime } } = { - 2\cos \sin x \cdot \sin \sin x \cdot \cos x.} \] Последнее выражение можно упростить по формуле двойного угла: \[ {2\cos \sin x \cdot \sin \sin x } = {\sin \left( {2\sin x} \right).} \] Следовательно, производная равна \[y'\left( x \right) = - \sin \left( {2\sin x} \right)\cos x.\]

Пример 7

\[y = {\sin ^2}\sqrt x \] Применим правило производной сложной функции несколько раз. \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}\sqrt x } \right)^\prime } } = {2\sin \sqrt x \cdot {\left( {\sin \sqrt x } \right)^\prime } } = {2\sin \sqrt x \cdot \cos \sqrt x \cdot {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } } = {2\sin \sqrt x \cos \sqrt x \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }}.} \] По формуле двойного угла \[\sin \left( {2\sqrt x } \right) = 2\sin \sqrt x \cos \sqrt x .\] Следовательно, производная равна \[ {y'\left( x \right) = \sin \left( {2\sqrt x } \right) \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} } = {\frac{{\sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}.} \]

Пример 8

\[y = {\sin ^3}x + {\cos ^3}x\] Используем формулы для производной суммы функций и производной степенной функции. \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \right)^\prime } } = {{\left( {{{\sin }^3}x} \right)^\prime } + {\left( {{{\cos }^3}x} \right)^\prime } } = {3\,{\sin ^2}x \cdot {\left( {\sin x} \right)^\prime } + 3\,{\cos ^2}x \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime }.} \] После подстановки производных и упрощения получаем: \[ {y'\left( x \right) = 3\,{\sin ^2}x \cdot \cos x + 3\,{\cos ^2}x \cdot \left( { - \sin x} \right) } = {3\,{\sin ^2}x\cos x - 3\,{\cos ^2}x\sin x } = {3\sin x\cos x\left( {\sin x - \cos x} \right).} \] Поскольку \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то окончательное выражение для производной имеет вид \[ {y'\left( x \right) = 3 \cdot \frac{{\sin 2x}}{2}\left( {\sin x - \cos x} \right) } = {\frac{3}{2}\sin 2x\left( {\sin x - \cos x} \right).} \]

Пример 9

\[y = \tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}\] Первый шаг очевиден: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {{\left( {\tan \frac{x}{2}} \right)^\prime } - {\left( {\cot \frac{x}{2}} \right)^\prime }.} \] Так как \[ {{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}},}\;\; {{\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}},} \] то применяя правило производной для сложной функции, находим: \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^\prime } - \left( { - \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}} \right) \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\sin^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} } = {\frac{{{\sin^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\,{{\cos }^2}\frac{x}{2}{\sin^2}\frac{x}{2}}}.} \] Воспользовавшись для упрощения тригонометрическими формулами \({\sin^2}x + {\cos ^2}x = 1\) и \(\sin x = 2\sin \large\frac{x}{2}\normalsize\cos \large\frac{x}{2}\normalsize\), получаем ответ: \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}{\sin^2}\frac{x}{2}}} } = {\frac{{2 \cdot 1}}{{4{{\cos }^2}\frac{x}{2}{\sin^2}\frac{x}{2}}} } = {\frac{2}{{{{\left( {2\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} \right)}^2}}} } = {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}.} \]

Пример 10

Вывести формулу для производной арксинуса с помощью производной сложной функции. Функция \(y\left( x \right) = \arcsin x\) определена на открытом интервале \(\left( { - 1,1} \right)\). Синус от арксинуса равен \[\sin \left( {\arcsin x} \right) = x.\] Возьмем производную от обеих частей (левую часть дифференцируем как сложную функцию). \[ {{\left[ {\sin \left( {\arcsin x} \right)} \right]^\prime } = x',}\;\; {\Rightarrow \cos \left( {\arcsin x} \right) \cdot {\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = 1.} \] Отсюда следует, что производная арксинуса равна \[ {{\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\cos \left( {\arcsin x} \right)}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left[ {\cos \left( {\arcsin x} \right)} \right]}^2}} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},} \] где \( - 1<x<1\).

Пример 11

\[y = \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} \] По правилу дифференцирования сложной функции имеем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\arcsin \sqrt {1 - {x^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} }} \cdot {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} \cdot {\left( {1 - {x^2}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\cancel{1} - \cancel{1} + {x^2}} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} \cdot \left( { - 2x} \right) } = {\frac{{ - \cancel{2}x}}{{\cancel{2}\sqrt {{x^2}} \sqrt {1 - {x^2}} }} } = { - \frac{{x}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - {x^2}} }}.} \] Отношение \(\large\frac{x}{{\left| x \right|}}\normalsize\) означает просто знак переменной \(x\) (\(\text{sign }x\)). Поэтому окончательный ответ записывается как \[ {{\left( {\arcsin \sqrt {1 - {x^2}} } \right)^\prime } } = { - \frac{{\text{sign }x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.} \]

Пример 12

\[y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\text{arccot}\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}\] \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}\text{arccot}\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^\prime } } = {\frac{2}{{\sqrt 3 }} \cdot \left( { - \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^\prime } } = { - \frac{2}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{3}}} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} } = { - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{\frac{{3 + 4{x^2} + 4x + 1}}{3}}} } = { - \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{{4{x^2} + 4x + 4}} } = { - \frac{{\cancel{4} \cdot \cancel{3}}}{{\cancel{3} \cdot \cancel{4}\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} } = { - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}.} \]

Пример 13

\[y = {\sec ^2}\frac{x}{2} + {\csc ^2}\frac{x}{2}\] Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\sec }^2}\frac{x}{2} + {{\csc }^2}\frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {{\left( {{{\sec }^2}\frac{x}{2}} \right)^\prime } + {\left( {{{\csc }^2}\frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {2\sec \frac{x}{2} \cdot {\left( {\sec \frac{x}{2}} \right)^\prime } + 2\csc \frac{x}{2} \cdot {\left( {\csc\frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {2\sec \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{x}{2}\sec \frac{x}{2} \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^\prime } + 2\csc \frac{x}{2} \cdot \left( { - \cot \frac{x}{2}\csc\frac{x}{2}} \right) \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {2\,{\sec ^2}\frac{x}{2}\tan \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} - 2\,{\csc ^2}\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} } = {{\sec ^2}\frac{x}{2}\tan \frac{x}{2} - {\csc ^2}\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}.} \] Упростим это выражение, используя известные тригонометрические соотношения: \[ y'\left( x \right) = {\sec ^2}\frac{x}{2}\tan \frac{x}{2} - {\csc ^2}\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos\frac{x}{2}}} - \frac{1}{{{\sin^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{{\cos\frac{x}{2}}}{{\sin\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{\cos^3}\frac{x}{2}}} - \frac{{\cos\frac{x}{2}}}{{{\sin^3}\frac{x}{2}}} = \frac{{{\sin^4}\frac{x}{2} - {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{{\cos^3}\frac{x}{2}{\sin^3}\frac{x}{2}}} = \frac{{\left( {{\sin^2}\frac{x}{2} - {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)\left( {{\sin^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)}}{{\frac{1}{8}{{\left( {2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}} \right)}^3}}} = - \frac{{8\left( {{\sin^2}\frac{x}{2} - {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right) \cdot 1}}{{{{\sin }^3}x}} = - \frac{{8\cos x}}{{{{\sin }^3}x}} = - 8\frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - 8\cot x\,{\csc ^2}x. \] В данном примере область определения имеет вид: \(x \in \mathbb{R},\;x \ne \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

Пример 14

\[y = \ln \tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\] Здесь предполагается, что значения \(x\) удовлетворяют области определения функции, которая находится из решения неравенства: \[ {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)>0,\;\; }\kern0pt {\Rightarrow \pi n<\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2} + \pi n,\;\; }\kern0pt {\Rightarrow 2\pi n<x + \frac{\pi }{2}<\pi + 2\pi n,\;\; }\kern0pt {{\Rightarrow - \frac{\pi }{2} + 2\pi n<x<\frac{\pi }{2} + 2\pi n}\;\;}\kern0pt {\text{или}\;\;\left| {x - 2\pi n} \right|<\frac{\pi }{2},\;n \in \mathbb{Z}.} \] Производная данной функции равна \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}} \cdot {\left[ {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}} \cdot \frac{1}{{{\cos^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}} \cdot {\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)^\prime } } = {\frac{{\cos\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right){\cos^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}} \cdot \frac{1}{2} } = {\frac{1}{{2\sin\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)}} } = {\frac{1}{{\sin\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)}} } = {\frac{1}{{\cos x}} } = {\sec x.} \]

Пример 15

\[y = {\sin ^n}x\cos nx\] Сначала дифференцируем как произведение двух функций: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^n}x\cos nx} \right)^\prime } } = {{\left( {{{\sin }^n}x} \right)^\prime }\cos nx + {\sin ^n}x{\left( {\cos nx} \right)^\prime }.} \] Далее, используя формулу производной степенной функции и формулу производной сложной функции, имеем: \[ {y'\left( x \right) = n{\sin ^{n - 1}}x \cdot {\left( {\sin x} \right)^\prime } \cdot \cos {nx} + {\sin ^n}x\left( { - \sin {nx}} \right) \cdot {\left( {nx} \right)^\prime } } = {n{\sin ^{n - 1}}x\cos x\cos nx - n{\sin ^n}x\sin nx } = {n{\sin ^{n - 1}}x\left( {\cos x\cos nx - \sin x\sin nx} \right).} \] Воспользуемся тригонометрическим соотношением \[\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\] Тогда производная принимает следующий вид: \[ {y'\left( x \right) = n{\sin ^{n - 1}}x\cos \left( {x + nx} \right) } = {n{\sin ^{n - 1}}x\cos \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right].} \]

Пример 16

Показать, что \(\large\frac{d}{{dx}}\normalsize\left( {x\arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arcsin x.\) Преобразуем левую часть: \[ {\frac{d}{{dx}}\left( {x\arcsin x} \right) + \frac{d}{{dx}}\sqrt {1 - {x^2}} = \arcsin x,}\;\; {\Rightarrow x' \cdot \arcsin x + x \cdot {\left( {\arcsin x} \right)^\prime } + \frac{1}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} \cdot \left( {1 - {x^2}} \right) = \arcsin x.} \] Поскольку \({\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\) получаем: \[ {{1 \cdot \arcsin x + x \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \frac{{\left( { - 2x} \right)}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \arcsin x,}\;\; }\kern0pt {{\Rightarrow \arcsin x + \cancel{\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} - \cancel{\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \arcsin x,}\;\; }\kern0pt {{\Rightarrow \arcsin x \equiv \arcsin x.}} \] Тождество доказано.

Пример 17

\[ {y = {\left( {\tan x} \right)^{\cos x}},}\;\; {\text{где}\;\;0<x<\frac{\pi }{2}.} \] Представим данную функцию таким образом: \[ {y\left( x \right) = {\left( {\tan x} \right)^{\cos x}} } = {{\left( {{e^{\ln \tan x}}} \right)^{\cos x}} } = {{e^{\ln \tan x \cdot \cos x}}.} \] Заметим, что здесь мы всегда имеем \(\tan x<0\) при условии \(0<x<\large\frac{\pi }{2}\normalsize.\) Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной произведения, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{e^{\ln \tan x \cdot \cos x}}} \right)^\prime } } = {{e^{\ln \tan x \cdot \cos x}} \cdot {\left( {\ln \tan x \cdot \cos x} \right)^\prime } } = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}}\left[ {{{\left( {\ln \tan x} \right)}^\prime } \cdot \cos x + \ln \tan x \cdot {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }} \right] } = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}}\left[ {\frac{1}{{\tan x}} \cdot {{\left( {\tan x} \right)}^\prime } \cdot \cos x + \ln \tan x \cdot \left( { -\sin x} \right)} \right] } = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}}\left[ {\frac{1}{{\tan x}} \cdot \frac{{\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \sin x \cdot \ln \tan x} \right] } = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}}\left[ {\frac{1}{{\sin x}} - \sin x\ln \tan x} \right] } = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}}\left[ {\frac{1}{{\sin x}} - \sin x\ln \tan x} \right]} = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}}\left( {\csc x - \sin x\ln \tan x} \right).} \]

Пример 18

\[y = \arcsin \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}\] Заметим, что функция арксинус определена на отрезке \(\left[ { - 1,1} \right]\). В нашем случае условие, определяющее допустимые значения \(x\), выглядит так: \[ {- 1 \le \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} \le 1,}\;\; {\Rightarrow - 1 - {x^2} \le 1 - {x^2} \le 1 + {x^2},}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1 - {x^2} \le 1 - {x^2}}\\ {1 - {x^2} \le 1 + {x^2}} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1 \le 1}\\ { - {x^2} \le {x^2}} \end{array}} \right..} \] Видно, что данные неравенства соблюдаются для любых действительных \(x\). Вычислим производную, используя правило дифференцирования сложной функции: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\arcsin \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - {{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} }} \cdot \frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^\prime }\left( {1 + {x^2}} \right) - \left( {1 - {x^2}} \right){{\left( {1 + {x^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{1 + {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - {{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}} }} \cdot \frac{{\left( {2x} \right) \cdot \left( {1 + {x^2}} \right) - \left( {1 - {x^2}} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{1 + {x^2}}}{{\sqrt {4{x^2}} }} \cdot \frac{{ - \color{blue}{2x} - \cancel{\color{red}{2{x^3}}} - \color{blue}{2x} + \cancel{\color{red}{2{x^3}}}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{ - \color{blue}{4x}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {4{x^2}} }} } = {\frac{{ - 2x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left| x \right|}}.} \] Учтем, что отношение \(\large\frac{x}{{\left| x \right|}}\normalsize\) равно \( \pm 1\) в зависимости от знака переменной \(x\), т.е. \[\frac{x}{{\left| x \right|}} = \text{sign }x\;\left( {x \ne 0} \right).\] Тогда производную можно записать как \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\arcsin \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{2\text{sign }x}}{{1 + {x^2}}}\,\left( {x \ne 0} \right).} \]

Пример 19

\[y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\] По формуле производной произведения двух функций: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]^\prime } } = {{\left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)} \right]^\prime }\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right){\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]^\prime }.} \] Дифференцируя далее как сложную функцию и упрощая, получаем: \[ {y'\left( x \right) = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^\prime } \cdot \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot \left( { - \sin\left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right) \cdot {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^\prime } } = {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot 2\cos x \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } \cdot \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot \left( { - \sin\left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right) \cdot 2\sin x \cdot {\left( {\sin x} \right)^\prime } } = {2\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos x\left( { - \sin x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)\left( { - \sin\left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right)\sin x\cos x } = {2\sin x\cos x\left[ {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{\sin^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin\left( {{\sin^2}x} \right)} \right].} \] Применим тригонометрические тождества \[ {\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \;\;\text{и}}\;\; {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .} \] Тогда производная записывается в виде \[y'\left( x \right) = - 2\sin 2x\cos \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right).\] Аргумент косинуса можно снова упростить по формуле двойного угла: \[\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x.\] В результате получаем следующее выражение для производной: \[y'\left( x \right) = - 2\sin 2x\cos \left( {\cos 2x} \right).\]

Пример 20

\[y = \frac{1}{x}\text{arccsc}\frac{1}{x}\] Начнем вычисление производной по формуле производной произведения: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}\text{arccsc} \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }\text{arccsc} \frac{1}{x} + \frac{1}{x}{\left( {\text{arccsc} \frac{1}{x}} \right)^\prime }.} \] Используя формулу для производной арккосеканса \[{\left( {\text{arccsc}\,z} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\left| z \right|\sqrt {{z^2} - 1} }}\] и правило дифференцирования сложной функции, имеем: \[ {y'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\text{arccsc}\frac{1}{x} } {- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{{\left| x \right|}}\sqrt {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} }} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }.} \] Упрощаем полученное выражение: \[ {y'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\text{arccsc} \frac{1}{x} - \frac{{\left| x \right|}}{{x\sqrt {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} }} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {\frac{{\left| x \right|}}{{{x^3}\sqrt {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} }} - \frac{1}{{{x^2}}}\text{arccsc} \frac{1}{x} } = {\frac{{\left| x \right|}}{{{x^3}\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}} }} - \frac{1}{{{x^2}}}\text{arccsc} \frac{1}{x} } = {\frac{{{{\left| x \right|}^2}}}{{{x^3}\sqrt {1 - {x^2}} }} - \frac{1}{{{x^2}}}\text{arccsc} \frac{1}{x} } = {\frac{1}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }} - \frac{1}{{{x^2}}}\text{arccsc} \frac{1}{x}.} \] Область определения данной функции и ее производной имеет вид: \(x \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right).\)