Производная обратной функции

Рассмотрим функцию \(f\left( x \right)\), которая является строго монотонной на некотором интервале \(\left( {a,b} \right)\). Если в этом интервале существует точка \({x_0}\), такая, что \(f'\left( {{x_0}} \right) \ne 0\), то функция \(x = \varphi \left( y \right)\), обратная к функции \(y = f\left( x \right)\), также дифференцируема в точке \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\) и ее производная равна \[\varphi '\left( {{y_0}} \right) = \frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}.\] Докажем приведенную теорему о производной обратной функции. Пусть переменная \(y\) получает в точке \({y_0}\) приращение \(\Delta y \ne 0\). Соответствующее ему приращение переменной \(x\) в точке \({x_0}\) обозначим как \(\Delta x\), причем \(\Delta x \ne 0\) в силу строгой монотонности функции \(y = f\left( x \right)\). Запишем отношение приращений в виде \[\frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}.\] Допустим, что \(\Delta y \to 0\). Тогда \(\Delta x \to 0\), поскольку обратная функция \(x = \varphi \left( y \right)\) является непрерывной в точке \({y_0}\). В пределе, при \(\Delta x \to 0\), правая часть записанного соотношения становится равной \[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} = \frac{1}{{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} } = {\frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}.} \] В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: \[\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \varphi '\left( {{y_0}} \right).\] Таким образом, \[\varphi '\left( {{y_0}} \right) = \frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}},\] то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции. В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции \(y = f\left( x \right)\) с помощью производной обратной функции \(x = \varphi \left( y \right)\).

Пример 1

\[y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}\] Определим сначала обратную функцию для заданной функции \(y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}\). Для этого выразим переменную \(x\) через \(y\): \[ {y = f\left( x \right) = \sqrt[\large n\normalsize]{x},}\;\; {\Rightarrow {y^n} = {\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^n},}\;\; {\Rightarrow x = \varphi \left( y \right) = {y^n}.} \] По теореме о производной обратной функции можно записать: \[ {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{y^n}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{n{y^{n - 1}}}}.} \] Теперь вместо \(y\) подставляем \(y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}\). В результате получаем выражение для производной заданной функции: \[ {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{n{y^{n - 1}}}} } = {\frac{1}{{n{{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)}^{n - 1}}}} } = {\frac{1}{{n\sqrt[\large n\normalsize]{{{x^{n - 1}}}}}}\;\;\left( {x>0} \right).} \]

Пример 2

\[y = \arcsin x\] Функция арксинус является обратной к функции синус. Поэтому \(x = \varphi \left( y \right) = \sin y.\) Тогда производная арксинуса равна \[ {{\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sin y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\cos y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}y} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {\arcsin x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},} \] где \(-1<x<1\).

Пример 3

\[y = \ln x\] Натуральный логарифм и экспоненциальная функция являются взаимно-обратными функциями. Следовательно, \(x = \varphi \left( y \right) = {e^y}\), где \(x>0\), \(y \in \mathbb{R}\). Производную натурального логарифма легко вычислить через производную экспоненциальной функции: \[ {{\left( {\ln x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{e^y}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{{e^y}}} } = {\frac{1}{{{e^{\ln x}}}} } = {\frac{1}{x}} \] Здесь мы воспользовались основным логарифмическим тождеством, согласно которому \[{e^{\ln x}} = x.\]

Пример 4

\[y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}}\] Найдем сначала обратную функцию \(x = \varphi \left( y \right)\) для заданной функции \(y = f\left( x \right)\), которая является монотонно возрастающей при любых \(x \in \mathbb{R}\). Выразим \(x\) через \(y\): \[ {y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}},}\;\; {\Rightarrow {y^3} = x + 1,}\;\; {\Rightarrow x = {y^3} - 1.} \] Теперь найдем производную \(f'\left( x \right)\): \[ {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}}} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{y^3} - 1} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{3{y^2}}} } = {\frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}}\;\;\left( {x \ne 1} \right).} \]

Пример 5

\[y = \arccos \left( {1 - 2x} \right)\] Функция арккосинус определена и монотонна на отрезке \(\left[ { - 1,1} \right]\). Следовательно, область определения исходной функции имеет вид: \[ { - 1 \le 1 - 2x \le 1,\;\; \Rightarrow - 2 \le - 2x \le 0,}\;\; {\Rightarrow 0 \le x \le 1.} \] Запишем обратную функцию \(x = \varphi \left( y \right)\): \[ {y = \arccos \left( {1 - 2x} \right),}\;\; {\Rightarrow 1 - 2x = \cos y,}\;\; {\Rightarrow 2x = 1 - \cos y,}\;\; {\Rightarrow x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos y.} \] Вычислим производную исходной функции через производную обратной функции: \[\require{cancel} {{\left( {\arccos \left( {1 - 2x} \right)} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{2}\sin y}} = \frac{2}{{\sin y}} } = {\frac{2}{{\sqrt {1 - {\cos^2}y} }} } = {\frac{2}{{\sqrt {1 - {\cos^2}\left( {\arccos \left( {1 - 2x} \right)} \right)} }} } = {\frac{2}{{\sqrt {1 - {{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} }} } = {\frac{2}{{\sqrt {1 - \left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)} }} } = {\frac{2}{{\sqrt {\cancel{1} - \cancel{1} + 4x - 4{x^2}} }} } = {\frac{\cancel{2}}{{\cancel{2}\sqrt {x - {x^2}} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {x - {x^2}} }}.} \] Заметим, что производная не определена в граничных точках \(x = 0\) и \(x = 1\) области определения функции \(y = f\left( x \right)\).

Пример 6

\[y = \sqrt {1 + \sqrt x } \] Данная функция определена и монотонно возрастает при \(x>0\). Поэтому на этом интервале можно построить обратную функцию. Выразим \(x\) через \(y\): \[ {y = \sqrt {1 + \sqrt x } ,}\;\; {\Rightarrow {y^2} = 1 + \sqrt x ,}\;\; {\Rightarrow \sqrt x = {y^2} - 1,}\;\; {\Rightarrow x = {\left( {{y^2} - 1} \right)^2}.} \] Теперь определим производную заданной функции \(y = f\left( x \right)\), используя теорему о производной обратной функции: \[ {{\left( {\sqrt {1 + \sqrt x } } \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left[ {{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}} \right]}^\prime }}} } = {\frac{1}{{2\left( {{y^2} - 1} \right) \cdot {{\left( {{y^2} - 1} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{2\left( {{y^2} - 1} \right) \cdot 2y}} } = {\frac{1}{{4y\left( {{y^2} - 1} \right)}}.}\qquad \] Подставим вместо \(y\) выражение для исходной функции: \[ {{\left( {\sqrt {1 + \sqrt x } } \right)^\prime } = \frac{1}{{4y\left( {{y^2} - 1} \right)}} } = {\frac{1}{{4\sqrt {1 + \sqrt x } \left( {{{\left( {\sqrt {1 + \sqrt x } } \right)}^2} - 1} \right)}} } = {\frac{1}{{4\sqrt {1 + \sqrt x } \left( {\cancel{1} + \sqrt x - \cancel{1}} \right)}} } = {\frac{1}{{4\sqrt x \sqrt {1 + \sqrt x } }}\;\;\left( {x>0} \right).} \]

Пример 7

\[y = \arctan \frac{1}{x}\] Обратная функция для данной функции имеет такой вид: \[ {y = \arctan \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{x} = \tan y,}\;\; {\Rightarrow x = \frac{1}{{\tan y}},\;\;\text{где}\;\;x \ne 0.} \] Найдем производную исходной функции \(y = f\left( x \right)\): \[ {{\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\tan y}}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\left( { - \frac{1}{{{{\tan }^2}y}}} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}} } = { - \frac{{{{\tan }^2}y}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}}.} \] Воспользуемся тригонометрическим тождеством \[\frac{1}{{{{\cos }^2}y}} = 1 + {\tan ^2}y.\] Тогда \[ {{\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{{{{\tan }^2}y}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}} } = { - \frac{{{{\tan }^2}y}}{{1 + {{\tan }^2}y}} } = { - \frac{{{{\tan }^2}\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)}} } = { - \frac{{{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}}} } = { - \frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}}} } = { - \frac{1}{{1 + {x^2}}}.} \] Видно, что производная функции \(y = \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize\) отличается лишь знаком от производной функции \(y = \arctan x\).

Пример 8

\[y = \sqrt x \] Данная функция является обратной к квадратичной функции \(x = \varphi \left( y \right) = {y^2}.\) Поэтому ее производная равна \[ {\sqrt x = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{y^2}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{2y}} } = {\frac{1}{{2\sqrt x }}\;\;\left( {x>0} \right).} \]

Пример 9

\[y = 2x + 4\] Запишем функцию \(x = \varphi \left( y \right)\), обратную к заданной функции \(y = f\left( x \right)\): \[ {y = 2x + 4,\;\; \Rightarrow 2x = y - 4,}\;\; {\Rightarrow x = \frac{y}{2} - 2.} \] Тогда производная \(f'\left( x \right)\) имеет следующий вид: \[ {{\left( {2x + 4} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{2} - 2} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{1/2}} = 2.} \]

Пример 10

Дана функция \(y = {x^5} + 2{x^3} + 3x\). Найти производную обратной функции в точке \(x = 1\). В данном примере прямое вычисление обратной функции и ее производной будет слишком громоздким. Поэтому мы вычислим значение производной исходной функции в заданной точке и затем найдем обратную величину. \[ {y' = f'\left( x \right) } = {{\left( {{x^5} + 2{x^3} + 3x} \right)^\prime } } = {5{x^4} + 6{x^2} + 3.} \] Значение производной \(f'\left( x \right)\) при \(x = 1\) равно: \[f'\left( {x = 1} \right) = 5 \cdot {1^4} + 6 \cdot {1^2} + 3 = 14.\] Сама функция в точке \(x = 1\) принимает значение, равное \[y\left( {x = 1} \right) = {1^5} + 2 \cdot {1^3} + 3 \cdot 1 = 6.\] По теореме о производной обратной функции получаем \[ {\varphi '\left( {y = 6} \right) } = {\frac{1}{{f'\left( {x = 1} \right)}} = \frac{1}{{14}}.} \]

Пример 11

Дана функция \(y = {x^2} - x\). Найти производную обратной функции при \(x = 1\). Найдем производную исходной функции \[ {y' = f'\left( x \right) } = {{\left( {{x^2} - x} \right)^\prime } } = {2x - 1.} \] Заметим, что точка \(x = \large\frac{1}{2}\normalsize\) разделяет области убывания (\(x<\large\frac{1}{2}\normalsize\)) и возрастания (\(x>\large\frac{1}{2}\normalsize\)) исходной функции. Каждому интервалу монотонности соответствует своя обратная функция, которые обозначим как \({\varphi _1}\left( y \right)\) и \({\varphi _2}\left( y \right).\) Выражения для этих функций можно получить в явном виде, решив уравнение \(y = f\left( x \right)\) относительно \(x\): \[ {y = {x^2} - x,}\;\; {\Rightarrow {x^2} - x - y = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 + 4y,}\;\; {\Rightarrow {\varphi _{1,2}}\left( y \right) } = {\frac{{1 \pm \sqrt {1 + 4y} }}{2}.} \] Производная обратной функции определяется по формуле \[ {\varphi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}} } = {\frac{1}{{2x - 1}}}\;\; {\left( {x \ne \frac{1}{2}} \right).} \] Подставляя явные выражения \(x = {\varphi _1}\left( y \right)\) и \(x = {\varphi _2}\left( y \right)\) для обеих ветвей обратной функции, имеем: \[ {{\varphi _1}^\prime \left( y \right) = \frac{1}{{2 \left( {\frac{{1 + \sqrt {1 + 4y} }}{2}} \right) - 1}} } = {\frac{1}{{\cancel{1} + \sqrt {1 + 4y} - \cancel{1}}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + 4y} }},} \] \[ {{\varphi _2}^\prime \left( y \right) = \frac{1}{{2 \left( {\frac{{1 - \sqrt {1 + 4y} }}{2}} \right) - 1}} } = {\frac{1}{{\cancel{1} - \sqrt {1 + 4y} - \cancel{1}}} } = {-\frac{1}{{\sqrt {1 + 4y} }}.} \] Точка \(x = 1\) соответствует значению \(y = {1^2} - 1 = 0\) и находится на ветви \({\varphi _2}\left( y \right)\) обратной функции. Производная обратной функции в этой точке составляет \[ {{\varphi _2}^\prime \left( {x = 1} \right) = {\varphi _2}^\prime \left( {y = 0} \right) } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 + 4 \cdot 0} }} = - 1.} \]

Пример 12

Дана функция \(y = {e^x} + 2x + 1\). Найти производную обратной функции при \(x = 0\). При \(x = 0\) заданная функция принимает значение \[y\left( {x = 0} \right) = {e^0} + 2 \cdot 0 + 1 = 2.\] Производная функции \(y = f\left( x \right)\) и ее значение в точке \(x = 0\) равны \[ {y' = f'\left( x \right) = {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)^\prime } } = {{e^x} + 2,} \] \[ {y'\left( {x = 0} \right) = f'\left( {x = 0} \right) } = {{e^0} + 2 = 3.} \] По теореме о производной обратной функции находим \[\varphi '\left( {y = 2} \right) = \frac{1}{{f'\left( {x = 0} \right)}} = \frac{1}{3}.\]

Пример 13

Для функции \(y = \sin \left( {x - 1} \right) + {x^2}\) найти производную обратной функции в точке \(x = 1\). Вычислим значение исходной функции и ее производной при \(x = 1\): \[y\left( {x = 1} \right) = \sin 0 + {1^2} = 1,\] \[ {y'\left( x \right) = f'\left( x \right) } = {\left[ {\sin \left( {x - 1} \right) + {x^2}} \right] } = {\cos \left( {x - 1} \right) + 2x,} \] \[ {y'\left( {x = 1} \right) = f'\left( {x = 1} \right) } = {\cos 0 + 2 \cdot 1 = 3.} \] Отсюда находим значение производной обратной функции \(x = \varphi \left( y \right)\): \[ {\varphi '\left( {y = 1} \right) = \frac{1}{{f'\left( {x = 1} \right)}} } ={ \frac{1}{3}.} \]

Пример 14

Найти производную обратной функции для \(y = {x^2} + 2\ln x\) и вычислить ее значение в точке \(x = 1\). Исходная функция \(y = f\left( x \right)\) определена при \(x>0\). В этой области ее производная положительна: \[ {y' = f'\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2\ln x} \right)^\prime } } = {2x + \frac{2}{x}>0\;\;\text{при}\;\;x>0.} \] Следовательно, функция является монотонно возрастающей и для нее существует обратная функция. По теореме о производной обратной функции имеем \[ {\varphi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}} } = {\frac{1}{{2x + \frac{2}{x}}} } = {\frac{1}{{\frac{{2{x^2} + 2}}{x}}} } = {\frac{x}{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}}.} \] В данном случае зависимость \(x\left( y \right)\) невозможно выразить в явном виде. Однако из полученной формулы легко определить значение производной обратной функции при \(x = 1\). Предварительно вычислим соответствующее значение \(y\): \[y\left( {x = 1} \right) = {1^2} + 2\ln 1 = 1 + 0 = 1.\] Тогда \[ {\varphi '\left( {y = 1} \right) = \frac{1}{{f'\left( {x = 1} \right)}} } = {\frac{1}{{2\left( {{1^2} + 1} \right)}} = \frac{1}{4}.} \]

Пример 15

Найти производную обратной функции для \(y = {x^3} - 3x\) и вычислить ее значение при \(x = -2\). Судя по производной: \[ {y' = f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3x} \right)^\prime } } = {3{x^2} - 3 = 3\left( {{x^2} - 1} \right),} \] функция имеет три интервала монотонности:

1. \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right)\)− функция возрастает;
2. \(x \in \left( { - 1, 1} \right)\)− функция убывает;
3. \(x \in \left( {1, \infty} \right)\)− функция возрастает.

Каждому интервалу можно сопоставить свою обратную функцию. Далее мы считаем, что рассматривается обратная функция, соответствующая первому интервалу, который содержит точку \(x = -2\). Производная обратной функции имеет вид: \[ {\varphi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}} } = {\frac{1}{{3\left( {{x^2} - 1} \right)}}.} \] Сама функция при \(x = -2\) равна \[ {y\left( {x = - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3 \cdot \left( { - 2} \right) } = { - 8 + 6 = - 2.} \] Тогда значение производной обратной функции в указанной точке составляет \[ {\varphi '\left( {y = - 2} \right) = \frac{1}{{f'\left( {x = - 2} \right)}} } = {\frac{1}{{3 \cdot \left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 1} \right)}} } = {\frac{1}{9}.} \]

Пример 16

Найти производную обратной функции для \(y = 2{x^3} - 1\) и вычислить ее значение при \(x = 2\). Вычислим производную заданной функции: \[ {y' = f'\left( x \right) } = {{\left( {2{x^3} - 1} \right)^\prime } = 6x.} \] Видно, что производная меняет знак при переходе через точку \(x = 0\), т.е. функция убывает при \(x<0\) и возрастает при \(x>0\). Далее мы рассмотрим ветвь, включающую точку \(x = 2\). В этой области существует обратная функция. Ее производная определяется по формуле \[\varphi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}}.\] Учитывая, что \(y\left( {x = 2} \right) = 2 \cdot {2^3} - 1 = 15,\) получаем \[ {\varphi '\left( {y = 15} \right) = \frac{1}{{f'\left( {x = 2} \right)}} } = {\frac{1}{{6 \cdot 2}} = \frac{1}{{12}}.} \]

Пример 17

\[y = {\log _2}\left( {\frac{x}{3}} \right)\] Функция \(y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\frac{x}{3}} \right)\) определена при \(x>0\) и монотонно возрастает на этом интервале. Следовательно, она имеет обратную функцию \(x = \varphi \left( y \right)\): \[ {y = {\log _2}\left( {\frac{x}{3}} \right),}\;\; {\Rightarrow \frac{x}{3} = {2^y},}\;\; {\Rightarrow x = 3 \cdot {2^y}.} \] По теореме о производной обратной функции находим: \[ {{\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{x}{3}} \right)} \right]^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {3 \cdot {2^y}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{3 \cdot {2^y} \cdot \ln 2}} } = {\frac{1}{{3\ln 2 \cdot {2^{{{\log }_2}\left( {\large\frac{x}{3}\normalsize} \right)}}}} } = {\frac{1}{{3\ln 2 \cdot \frac{x}{3}}} = \frac{1}{{x\ln 2}}.} \] Здесь мы использовали основное логарифмическое тождество \[{a^{{{\log }_a}x}} = x.\]

Пример 18

Найти значение производной арксеканса \(y = \text{arcsec }x\) при \(x = \sqrt 2 \). Воспользуемся тем, что арксеканс является обратной функцией для секанса. Будем считать, что выражение для производной секанса известно: \[ {{\left( {\sec y} \right)^\prime } = \tan y\sec y } = {\frac{{\sin y}}{{{{\cos }^2}y}}.} \] Учтем, что секанс принимает значение \(\sqrt 2 \) в точке \(y = \large\frac{\pi }{4}\normalsize\): \[ {\sec \left( {y = \frac{\pi }{4}} \right) } = {\frac{1}{{\cos \frac{\pi }{4}}} } = {\frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2.} \] Тогда по теореме о производной обратной функции получаем \[ {{\left( {\text{arcsec }x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sec y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\tan y\sec y}} } = {\frac{{{{\cos }^2}y}}{{\sin y}}.} \] Соответственно, значение производной арксеканса в точке \(x = \sqrt 2 \) равно: \[ {f'\left( {x = \sqrt 2 } \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( {y = \frac{\pi }{4}} \right)}} } = {\frac{{{{\cos }^2}\frac{\pi }{4}}}{{\sin \frac{\pi }{4}}} } = {\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}} } = {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.} \]

Пример 19

Найти производную функции обратной к функции \(y = x \cdot {3^x}\) при условии \(x>0\). Вычислим производную заданной функции: \[ {y' = f'\left( x \right) = {\left( {x \cdot {3^x}} \right)^\prime } } = {x' \cdot {3^x} + x \cdot {\left( {{3^x}} \right)^\prime } } = {1 \cdot {3^x} + x \cdot {3^x}\ln 3 } = {{3^x}\left( {1 + x\ln 3} \right).} \] Видно, что производная положительна при \(x>0\). Следовательно, в этой области функция монотонно возрастает и для нее существует обратная функция \(x = \varphi \left( y \right)\). Производная обратной функции выражается формулой \[ {\varphi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}} } = {\frac{1}{{{3^x}\left( {1 + x\ln 3} \right)}}.} \]

Пример 20

Найти производную функции \(y = \text{arcsinh } x\) (обратный гиперболический синус). Функции \(y = \text{arcsinh } x\) (обратный гиперболический синус) и \(x = \sinh y\) (гиперболический синус) являются взаимно-обратными. Поэтому, по теореме о производной обратной функции имеем: \[ {{\left( {\text{arcsinh }x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sinh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\cosh y}}.} \] Выразим \(\cosh x\) через \(\sinh x\), используя соотношение \[{\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1\] (аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функций). Отсюда находим \[ {{\cosh ^2}y = 1 + {\sinh ^2}y,}\;\; {\Rightarrow \cosh y } = {\sqrt {1 + {{\sinh }^2}y} } \] Учитывая, что \(\sinh \left( {\text{arcsinh }x} \right) = x,\) получаем следующее выражение для производной обратного гиперболического синуса: \[ {{\left( {\text{arcsinh }x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\cosh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\sinh }^2}y} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\sinh }^2}\left( {\text{arcsinh }x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.} \]