Комплексная плоскость

Равенство комплексных чисел \(a + bi = c + di\), если \(a = c\) и \(b = d\)

Сложение комплексных чисел \(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)

Вычитание комплексных чисел \(\left( {a + bi} \right) - \left( {c + di} \right) = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)

Умножение комплексных чисел \(\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)

Деление комплексных чисел \(\large\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}\normalsize i\)

Сопряженное комплексное число \(\overline {a + bi} = a - bi\)

Модуль \(r\) и аргумент \(\varphi\) комплексного числа \(z = a + bi,\;\;r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\;\varphi = \arctan \large\frac{b}{a}\)

Тригонометрическая форма комплексного числа \(z = a + bi = \;r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\)

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме \({z_1} \cdot {z_2} = \;{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \cdot {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\)

Сопряженное комплексное число в тригонометрической форме \(\overline {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} = \;r\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)

Обратное комплексное число в тригонометрической форме \(\large\frac{1}{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \frac{1}{r}\normalsize\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме \(\large\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\normalsize\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)

Возведение комплексного числа в степень \({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)} \right]\)

Формула Муавра \({\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)\)

Извлечение корня из комплексного числа \(\sqrt[\large n\normalsize]{z} = \sqrt[\large n\normalsize]{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[\large n\normalsize]{r}\left( {\cos \large\frac{{\varphi + 2\pi k}}{n} + \normalsize i\sin \large\frac{{\varphi + 2\pi k}}{n}} \right)\), \(\;\;k = 0,1,2, \ldots ,n - 1\)

Формула Эйлера \(\exp \left( {ia} \right) = \cos a + i\sin a\)

Показательная форма комплексного числа \(z = r\exp \left( {i\varphi } \right)\)

\(\sin a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}{2}\)

\(\cos a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}{2}\)

\(\tan a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}\)

\(\cot a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}\)