Использование дифференциалов в приближенных вычислениях

Если функция \(y = f\left( x \right)\) является дифференцируемой в точке \({x_0}\), то при изменении аргумента на \(\Delta x\) ее приращение в этой точке выражается формулой \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left( {\Delta x} \right),\] где первое слагаемое \(A\Delta x\) представляет собой дифференциал функции, а второе слагаемое является величиной более высокого порядка малости по отношению к \(\Delta x.\) Дифференциал функции обозначается символом \(dy\) и связан с производной в точке \({x_0}\) соотношением \[dy = A\Delta x = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x.\] Таким образом, приращение функции \(\Delta y\) можно записать как \[ {\Delta y = dy + \omicron\left( {\Delta x} \right) } = {f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + \omicron\left( {\Delta x} \right).} \] При достаточно малых приращениях аргумента \(\Delta x\) можно пренебречь "нелинейной" добавкой \(\omicron\left( {\Delta x} \right).\) В таком случае справедливо приближенное равенство \[\Delta y \approx dy = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x.\] Заметим, что абсолютная погрешность данного приближения, то есть разность \(\Delta y - dy\) стремится к нулю при \(\Delta x \to 0:\) \[\require{cancel} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta y - dy} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\cancel{dy} + \omicron\left( {\Delta x} \right) - \cancel{dy}} \right] = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \omicron\left( {\Delta x} \right) = 0. \] Более того, относительная погрешность также стремится к нулю при \(\Delta x \to 0:\) \[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y - dy}}{{dy}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left( {\Delta x} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x}} } = {\frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left( {\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = 0,} \] поскольку \(\omicron\left( {\Delta x} \right)\) соответствует члену второго и более высокого порядка малости по отношению к \(\Delta x.\) Таким образом, для приближенных расчетов можно использовать следующую формулу: \[f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x,\] где \(\Delta x = x - {x_0}\) и \(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right).\)

Пример 1

Найти приближенное значение \(\sqrt[\large 3\normalsize]{{30}}.\) По условию \(x =30\). Выберем начальную точку \({x_0} = 27.\) Тогда \(\Delta x = x - {x_0} = 30 - 27 = 3.\) Производная функции \(f\left( x \right) = \sqrt[\large 3\normalsize]{x}\) равна \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{3}{x^{ - \large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {\frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}},} \] а ее значение в точке \({x_0}\) составляет: \[ {f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{{27}^2}}}}} } = {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.} \] В результате получаем следующий ответ: \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x,}\;\; {\Rightarrow \sqrt[\large 3\normalsize]{{30}} \approx \sqrt[\large 3\normalsize]{{27}} + \frac{1}{{27}} \cdot 3 } = {3 + \frac{1}{9} } = {\frac{{28}}{9} \approx 3,111.} \]

Пример 2

Вычислить приближенное значение \(\sqrt {50}.\) Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = \sqrt x .\) В нашем случае требуется найти значение этой функции при \(x =50.\) Выберем \({x_0} = 49\) и найдем значение производной в этой точке: \[ {f\left( x \right) = \sqrt x ,}\;\; {\Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 49} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {49} }} = \frac{1}{{14}}.} \] Используя формулу \[f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x,\] получаем \[ {\sqrt {50} \approx \sqrt {49} + \frac{1}{{14}} \cdot \left( {50 - 49} \right) } = {7 + \frac{1}{{14}} } = {\frac{{99}}{{14}} \approx 7,071.} \]

Пример 3

Вычислить приближенное значение \(\sqrt[\large 4\normalsize]{{0,025}}.\) Здесь в качестве \({x_0}\) удобно взять значение \({x_0} = 0,0256,\) поскольку \[ {f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt[\large 4\normalsize]{{{x_0}}} } = {\sqrt[\large 4\normalsize]{{0,0256}} = 0,4.} \] Найдем производную данной функции и ее значение в точке \({x_0}:\) \[ {f\left( x \right) = \sqrt[4]{x},}\;\; {\Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large 4\normalsize]{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{1}{4}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{4}{x^{ - \large\frac{3}{4}\normalsize}} } = {\frac{1}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{{{x^3}}}}},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 0,0256} \right) } = {\frac{1}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{{0,{{0256}^3}}}}} } = {\frac{1}{{4{{\left( {\sqrt[\large 4\normalsize]{{0,0256}}} \right)}^3}}} } = {\frac{1}{{4 \cdot 0,{4^3}}} } = {\frac{1}{{4 \cdot 0,064}} } = {\frac{1}{{0,256}} \approx 3,9063.} \] Отсюда получаем приближенное значение функции: \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),}\;\; {\Rightarrow \sqrt[4]{{0,025}} \approx 0,4 + 3,9063 \cdot \left( {0,025 - 0,0256} \right) } = {0,4 + 3,9063 \cdot \left( { - 0,0006} \right) \approx 0,3977.} \]

Пример 4

Вычислить \({\left( {8,2} \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}.\) Здесь, очевидно, \(f\left( x \right) = {x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}\) и \(x = 8,2.\) Пусть \({{x_0} = 8}.\) Тогда \[ {f\left( {{x_0} = 8} \right) = {8^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{8}} \right)^2} = {2^2} = 4.} \] Найдем производную: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{2}{3}{x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}} = \frac{2}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 8} \right) = \frac{2}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{8}}} } = {\frac{\cancel{2}}{{3 \cdot \cancel{2}}} = \frac{1}{3}.} \] В результате получаем: \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),}\;\; {\Rightarrow {\left( {8,2} \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} \approx 4 + \frac{1}{3} \cdot \left( {8,2 - 8} \right) } = {4 + \frac{1}{3} \cdot 0,2 \approx 4,067.} \]

Пример 5

Вывести приближенную формулу \({\left( {1 + \alpha } \right)^n} \approx 1 + n\alpha .\) Вычислить приближенное значение \(\sqrt {1,02} .\) Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = {x^n}.\) При изменении аргумента на \(\Delta x\) приращение функции составляет \[\Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^n} - {x^n}.\] Если \(\Delta x\) является малой величиной, то можно приближенно считать, что \[ {\Delta y \approx dy = f'\left( x \right)\Delta x } = {{\left( {{x^n}} \right)^\prime }\Delta x } = {n{x^{n - 1}}\Delta x.} \] Следовательно, \[{\left( {x + \Delta x} \right)^n} \approx {x^n} + n{x^{n - 1}}\Delta x.\] Пусть далее \(x = 1\) и \(\Delta x = \alpha.\) Тогда \[ {{\left( {1 + \alpha } \right)^n} } {\approx {1^n} + n \cdot {1^{n - 1}} \cdot \alpha } = {1 + n\alpha .} \] В частности, \[ {\sqrt {1,02} = \sqrt {1 + 0,02} } = {{\left( {1 + 0,02} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} } {\approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,02 = 1,01.} \]

Пример 6

Вывести приближенную формулу \[\sqrt {{a^2} + h} \approx a + \frac{h}{{2a}}\;\;\left( {a>0} \right).\] С помощью данной формулы вычислить приближенно \(\sqrt {150} .\) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt x .\) При изменении независимой переменной на \(\Delta x\) приращение функции выражается формулой \[\Delta y = \sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x .\] Данное приращение при малых \(\Delta x\) можно приближенно заменить дифференциалом, так что \[ {\Delta y = \sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x \approx dy } = {f'\left( x \right)\Delta x } = {{\left( {\sqrt x } \right)^\prime }\Delta x } = {\frac{1}{{2\sqrt x }}\Delta x.} \] Таким образом, \[\sqrt {x + \Delta x} \approx \sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\Delta x.\] Обозначим \(x = {a^2}\), \(\Delta x = h.\) Тогда получаем следующее приближенное равенство: \[\sqrt {{a^2} + h} \approx a + \frac{h}{{2a}}.\] Оценим с помощью этой формулы значение \(\sqrt {150}:\) \[\sqrt {150} = \sqrt {144 + 6} = \sqrt {{{12}^2} + 6} \approx 12 + \frac{1}{4} = 12,25.\] Точное значение (с точностью до \(3\) цифр после запятой) составляет \(12,247\). Как видно, относительная ошибка при использовании приближенной формулы составляет \[ {\frac{{12,250 - 12,247}}{{12,247}} = \frac{{0,003}}{{12,247}} } = {2,4 \cdot {10^{ - 4}}<0,03\% .} \]

Пример 7

Вывести приближенную формулу \[\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^n} + h}} \approx a + \frac{h}{{n{a^{n - 1}}}}\;\;\left( {a>0} \right).\] Используя данную формулу, вычислить \(\sqrt[\large 8\normalsize]{{250}}.\) Пусть \(y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}.\) Если переменная \(x\) получаем приращение \(\Delta x\), то приращение функции имеет вид: \[\Delta y = \sqrt[\large n\normalsize]{{x + \Delta x}} - \sqrt[\large n\normalsize]{x}.\] Считая \(\Delta x\) малой величиной, заменим приращение функции \(\Delta y\) ее дифференциалом: \[ {\Delta y = \sqrt[\large n\normalsize]{{x + \Delta x}} - \sqrt[\large n\normalsize]{x} \approx dy } = {f'\left( x \right)\Delta x } = {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime }\Delta x } = {{\left( {{x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}} \right)^\prime }\Delta x } = {\frac{1}{n}{x^{\large\frac{1}{n}\normalsize - 1}}\Delta x } = {\frac{1}{n}{x^{\large\frac{{1 - n}}{n}\normalsize}}\Delta x.} \] Тогда \[\sqrt[\large n\normalsize]{{x + \Delta x}} \approx \sqrt[\large n\normalsize]{x} + \frac{1}{n}{x^{\large\frac{{1 - n}}{n}\normalsize}}\Delta x.\] Обозначив \(x = {a^n}\), \(\Delta x = h,\) получаем следующее соотношение: \[ {\sqrt[n]{{{a^n} + h}} } {\approx a + \frac{1}{n}{\left( {{a^n}} \right)^{\large\frac{{1 - n}}{n}\normalsize}}h } = {a + \frac{h}{{n{a^{n - 1}}}}.} \] С помощью этой формулы находим: \[ {\sqrt[\large 8\normalsize]{{250}} = \sqrt[\large 8\normalsize]{{256 - 6}} } = {\sqrt[\large 8\normalsize]{{{2^8} - 6}} \approx 2 + \frac{{\left( { - 6} \right)}}{{8 \cdot {2^7}}} } = {2 - \frac{6}{{1024}} \approx 1,994.} \]

Пример 8

Найти приближенное значение \(\cos 46^\circ.\) Выберем \({x_0} = 45^\circ.\) Производная косинуса в этой точке равна \[ {f\left( x \right) = \cos x,}\;\; {\Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin x,}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 45^\circ} \right) } = { - \sin 45^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.} \] Выразим приращение аргумента \(\Delta x\) в радианной мере: \[ {\Delta x = 46^\circ - 45^\circ = 1^\circ } = {\frac{{2\pi }}{{360}} } = {\frac{\pi }{{180}}\;\text{радиан}.} \] Используя формулу для приближенного вычисления функции при малых \(\Delta x\) \[f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x,\] находим: \[ {\cos 46^\circ \approx \cos 45^\circ + \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cdot \frac{\pi }{{180}} } = {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{\pi }{{180}} } = {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - \frac{\pi }{{180}}} \right) } {\approx 0,7071 \cdot \left( {1 - 0,0175} \right) } ={ 0,6948.} \]

Пример 9

Найти приближенное значение \(\sin 179^\circ.\) Пусть \(x = 179^\circ\), \({x_0} = 180^\circ.\) Следовательно, \(\Delta x = x - {x_0} = 179^\circ - 180^\circ = - 1 = - \large\frac{\pi }{{180}}\normalsize\) радиан. Вычислим значение функции и ее производной в точке \({x_0}:\) \[ {f\left( {{x_0}} \right) = \sin 180^\circ = 0,}\;\; {f'\left( x \right) = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x,}\;\; {f'\left( {{x_0}} \right) = \cos 180^\circ = - 1.} \] Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем: \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + dy } = {f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x,}\;\; {\Rightarrow \sin 179^\circ = 0 - 1 \cdot \left( { - \frac{\pi }{{180}}} \right) } = {\frac{\pi }{{180}} \approx 0,0175.} \]

Пример 10

Найти приближенное значение \(\ln 20.\) Рассмотрим функцию натурального логарифма \(y = \ln x.\) Учитывая, что \[\ln {e^3} = 3\ln e = 3,\] удобно выбрать точку \({{x_0}}\), равную \[{x_0} = {e^3} \approx 20,086.\] Вычислим производную и ее значение в точке \({{x_0}}:\) \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) \approx \frac{1}{{20,086}} \approx 0,0498.} \] Следовательно, приближенное значение \(\ln 20\) равно: \[ {\ln 20 \approx \ln {e^3} + 0,0498 \cdot \left( {20 - 20,086} \right) } = {3 - 0,0043 = 2,9957.} \]

Пример 11

Вычислить \({e^{0,1}}.\) Пусть \(f\left( x \right) = {e^x}.\) Полагая \({x_0} = 0,\) получаем: \[ {f\left( {{x_0}} \right) = {e^0} = 1,}\;\; {f'\left( x \right) = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x},}\;\; {f'\left( {{x_0} = 0} \right) = {e^0} = 1.} \] Для вычисления \({e^{0,1}}\) используем приближенную формулу \[f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right).\] Тогда \[{e^{0,1}} \approx 1 + 1 \cdot \left( {0,1 - 0} \right) = 1,1.\]

Пример 12

Найти приближенное значение \(\arccos 0,51.\) Полагаем \(f\left( x \right) = \arccos x\) и \({x_0} = 0,5.\) Заменяя приращение функции \(\Delta y\) ее дифференциалом, вычисляем приближенное значение \(\arccos 0,51:\) \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + dy } = {f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),} \] \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\arccos x} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 0,5} \right) } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 - 0,{5^2}} }} } = { - \frac{1}{{\sqrt {0,75} }} \approx - 1,1547,}\;\; {\Rightarrow \arccos 0,51 \approx \arccos 0,5 + \left( { - 1,1547} \right) \cdot \left( {0,51 - 0,5} \right) } = {\frac{\pi }{3} - 0,0115 }\; {\approx 1,035\;\text{радиан}\approx 59,34^\circ.} \]

Пример 13

Найти приближенное значение \(\arctan 0,95.\) Пусть \(f\left( x \right) = \arctan x\), \({x_0} = 1.\) Определим значение производной в точке \({x_0}:\) \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 1} \right) = \frac{1}{{1 + {1^2}}} = \frac{1}{2}.} \] Для приближенного расчета используем формулу \[f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right).\] Следовательно, \[ {\arctan 0,95 \approx \arctan 1 + \frac{1}{2} \cdot \left( {0,95 - 1} \right) } = {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2} \cdot \left( { - 0,05} \right) } {\approx 0,7604\;\text{радиан} \approx 43,57^\circ.} \]

Пример 14

Найти приближенное значение функции \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3x} \) при \(x = 1,02.\) Выберем точку \({x_0} = 1.\) Тогда \[f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {{1^2} + 3 \cdot 1} = 2.\] Найдем значение производной заданной функции в точке \({x_0}:\) \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{x^2} + 3x} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 3x} }} \cdot {\left( {{x^2} + 3x} \right)^\prime } } = {\frac{{2x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x} }},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 1} \right) = \frac{{2 \cdot 1 + 3}}{{2\sqrt {{1^2} + 3 \cdot 1} }} } = {\frac{5}{4} = 1,25.} \] Вычислим приближенное значение функции в точке \(x = 1,02:\) \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),}\;\; {\Rightarrow \sqrt {1,02} \approx 2 + 1,25 \cdot \left( {1,02 - 1} \right) = 2,025.} \]

Пример 15

Найти приближенное значение функции \(f\left( x \right) = \sqrt {5x - 1} \) при \(x = 1,99.\) Пусть \({x_0} = 2\). Следовательно, \[f\left( {{x_0} = 2} \right) = \sqrt {5 \cdot 2 - 1} = \sqrt 9 = 3.\] Производная при \({x_0} = 2\) имеет следующее значение: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {5x - 1} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {5x - 1} }} \cdot {\left( {5x - 1} \right)^\prime } } = {\frac{5}{{2\sqrt {5x - 1} }},}\;\; {\Rightarrow f'\left( {{x_0} = 2} \right) } = {\frac{5}{{2\sqrt {5 \cdot 2 - 1} }} } = {\frac{5}{6} \approx 0,833.} \] Оценивая приближенное значение функции при \(x = 1,99\) с помощью дифференциала, имеем: \[ {f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),}\;\; {\Rightarrow \sqrt {1,99} \approx 3 + 0,833 \cdot \left( {1,99 - 2} \right) } = {3 - 0,0083 \approx 2,992.} \]