Дифференциал функции
Определение дифференциала
Рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right),\) которая является непрерывной в интервале \(\left[ {a,b} \right].\)
Предположим, что в некоторой точке \({x_0} \in \left[ {a,b} \right]\) независимая переменная получает приращение \(\Delta x.\)
Приращение функции \(\Delta y,\) соответствующее такому изменению аргумента \(\Delta x,\) выражается формулой
\[\Delta y = \Delta f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right).\]
Для любой дифференцируемой функции приращение \(\Delta y\) можно представить в виде суммы двух слагаемых:
\[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left( {\Delta x} \right),\]
где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения
\(\Delta x,\) а второй член имеет более высокий порядок малости относительно \(\Delta x.\)
Выражение \(A\Delta x\) называется дифференциалом функции и
обозначается символом \(dy\) или \(df\left( {{x_0}} \right).\)


Рис.1
Рис.2
Геометрический смысл дифференциала функции
На рисунке \(2\) схематически показана разбивка приращения функции \(\Delta y\) на главную часть \(A\Delta x\) (дифференциал функции)
и член высшего порядка малости \(\omicron\left( {\Delta x} \right)\).
Касательная \(MN\), проведенная к кривой функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \(M\), как известно, имеет угол наклона \(\alpha\), тангенс которого равен производной:
\[\tan \alpha = f'\left( {{x_0}} \right).\]
При изменении аргумента на \(\Delta x\) касательная получает приращение \(A\Delta x.\) Это линейное приращение, образованное
касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения \(\Delta y\) (отрезок \(N{M_1}\))
соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно \(\Delta x\).
Свойства дифференциала
Пусть \(u\) и \(v\) − функции переменной \(x\). Дифференциал обладает следующими свойствами:
- Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:
\(d\left( {Cu} \right) = Cdu\), где \(C\) − постоянное число.
- Дифференциал суммы (разности) функций:
\(d\left( {u \pm v} \right) = du \pm dv.\)
- Дифференциал постоянной величины равен нулю:
\(d\left( C \right) = 0.\)
- Дифференциал независимой переменной \(x\) равен ее приращению:
\(dx = \Delta x.\)
- Дифференциал линейной функции равен ее приращению:
\(d\left( {ax + b} \right) = \Delta \left( {ax + b} \right) = a\Delta x.\)
- Дифференциал произведения двух функций:
\(d\left( {uv} \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)
- Дифференциал частного двух функций:
\(d\left( {\large\frac{u}{v}\normalsize} \right) = \large\frac{{du \cdot v - u \cdot dv}}{{{v^2}}}\normalsize.\)
- Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
\(dy = df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx.\)
Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим композицию двух функций \(y = f\left( u \right)\) и \(u = g\left( x \right),\) т.е.
сложную функцию
\(y = f\left( {g\left( x \right)} \right).\) Ее производная определяется выражением
\[{y'_x} = {y'_u} \cdot {u'_x},\]
где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.
Дифференциал "внешней" функции \(y = f\left( u \right)\) записывается в виде
\[dy = {y'_u}\,du.\]
Дифференциал "внутренней" функции \(u = g\left( x \right)\) можно представить аналогичным образом:
\[du = {u'_x}\,dx.\]
Если подставить \(du\) в предыдущую формулу, то получим
\[dy = {y'_u}\,du = {y'_u}{u'_x}\,dx.\]
Поскольку \({y'_x} = {y'_u} \cdot {u'_x},\) то
\[dy = {y'_x}\,dx.\]
Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции.
Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.
Пример 1
Найти дифференциал функции \(y = \sin x - x\cos x.\)
Решение.
Найдем производную заданной функции:
\[\require{cancel}
{y' = {\left( {\sin x - x\cos x} \right)^\prime } }
= {\cos x - \left( {x'\cos x + x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }} \right) }
= {\cos x - \left( {\cos x + x\left( { - \sin x} \right)} \right) }
= {\cancel{\cos x} - \cancel{\cos x} + x\sin x = x\sin x.}
\]
Дифференциал имеет следующий вид:
\[dy = y'dx = x\sin x\,dx.\]
Пример 2
Найти дифференциал функции \(y = \cot \large\frac{{\pi x}}{4}\normalsize\) в точке \(x = 1\).
Решение.
Находим производную и вычисляем ее значение в заданной точке:
\[
{y' = {\left( {\cot \frac{{\pi x}}{4}} \right)^\prime } }
= { - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{\pi x}}{4}} \right)}} \cdot \frac{\pi }{4} }
= { - \frac{\pi }{{4{{\sin }^2}\left( {\frac{{\pi x}}{4}} \right)}},}\;\;
{\Rightarrow y'\left( 1 \right) = - \frac{\pi }{{4{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} }
= { - \frac{\pi }{{4{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = - \frac{\pi }{2}.}
\]
Тогда
\[dy = y'dx = - \frac{\pi }{2}dx.\]
Пример 3
Найти дифференциал функции \(y = 2{x^2} + 3x + 1\) в точке \(x = 1\) при \(dx = 0,1.\)
Решение.
\[
{dy = f'\left( x \right)dx = {\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)^\prime }dx }
= {\left( {4x + 3} \right)dx.}
\]
Подставляя заданные значения, вычисляем дифференциал:
\[dy = \left( {4 \cdot 1 + 3} \right) \cdot 0,1 = 0,7.\]
Пример 4
Вычислить приращение и дифференциал функции \(y = {x^2} - x + 1\) в точке \(x = 2\) при \(dx = 1.\)
Решение.
Определим приращение функции по формуле
\[\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right).\]
Поскольку здесь \(x + \Delta x = 2 + 1 = 3,\) то получаем
\[
{\Delta y = f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) }
= {\left( {{3^2} - 3 + 1} \right) - \left( {{2^2} - 2 + 1} \right) }
= {7 - 3 = 4.}
\]
Дифференциал (или линейная часть приращения) при этом составляет:
\[
{dy = f'\left( x \right)\Delta x = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^\prime }\Delta x }
= {\left( {2x - 1} \right)\Delta x }
= {\left( {2 \cdot 2 - 1} \right) \cdot 1 = 3.}
\]
Пример 5
Найти дифференциал функции \(y = {x^x}{e^{2x}}\) в точке \(x = 1\).
Решение.
\[
{y' = {\left( {{x^x}{e^{2x}}} \right)^\prime } }
= {{\left( {{x^x}} \right)^\prime }{e^{2x}} + {x^x}{\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime }.}
\]
Производная функции \({x^x}\) равна
\[
{{\left( {{x^x}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{\ln x \cdot x}}} \right)^\prime } }
= {{\left( {{e^{x\ln x}}} \right)^\prime } }
= {{e^{x\ln x}}{\left( {x\ln x} \right)^\prime } }
= {{x^x}\left( {1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}} \right) }
= {{x^x}\left( {\ln x + 1} \right).}
\]
Следовательно, производная исходной функции имеет вид:
\[
{y' = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right){e^{2x}} + {x^x} \cdot 2{e^{2x}} }
= {{x^x}{e^{2x}}\left( {\ln x + 1 + 2} \right) }
= {{x^x}{e^{2x}}\left( {\ln x + 3} \right).}
\]
При \(x = 1\), соответственно, получаем:
\[y'\left( 1 \right) = {1^1} \cdot {e^2} \cdot \left( {\ln 1 + 3} \right) = 3{e^2}.\]
Тогда дифференциал функции в данной точке записывается как
\[dy = y'dx = 3{e^2}dx.\]
Пример 6
Найти дифференциал функции \(y = x\sin \large\frac{{\pi x}}{2}\normalsize\) в точке \(x = \large\frac{1}{2}\normalsize\)
при \(dx = 0,01.\)
Решение.
\[
{dy = f'\left( y \right)dx = {\left( {x\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right)^\prime }dx }
= {\left( {1 \cdot \sin \frac{{\pi x}}{2} + x \cdot \cos \frac{{\pi x}}{2} \cdot \frac{\pi }{2}} \right)dx }
= {\left( {\sin \frac{{\pi x}}{2} + \frac{{\pi x}}{2}\cos \frac{{\pi x}}{2}} \right)dx.}
\]
Подставляем значения \(x\) и \(dx\) и вычисляем дифференциал \(dy:\)
\[
{dy = \left( {\sin \frac{{\pi \cdot \frac{1}{2}}}{2} + \frac{{\pi \cdot \frac{1}{2}}}{2}\cos \frac{{\pi \cdot \frac{1}{2}}}{2}} \right) \cdot 0,01 }
= {\left( {\sin \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}} \right) \cdot 0,01 }
= {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{\pi }{4}\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cdot 0,01 }
= {\frac{{\sqrt 2 }}{{200}}\left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) \approx 0,0126.}
\]
Пример 7
Вычислить приращение и дифференциал функции \(y = \large\frac{{x + 2}}{{x + 1}}\normalsize\) в точке \(x = 0\)
при \(\Delta x = 0,1.\)
Решение.
Найдем сначала приращение функции:
\[
{\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right) }
= {\frac{{x + \Delta x + 2}}{{x + \Delta x + 1}} - \frac{{x + 2}}{{x + 1}} }
= {\frac{{0,1 + 2}}{{0,1 + 1}} - \frac{2}{1} }
= {1,9091 - 2 \approx - 0,0909.}
\]
При тех же значениях \(x\) и \(\Delta x\) дифференциал функции равен
\[
{dy = f'\left( x \right)\Delta x = {\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right)^\prime }\Delta x }
= {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\Delta x }
= {\frac{{\cancel{x} + 1 - \cancel{x} - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\Delta x }
= { - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\Delta x }
= { - \frac{1}{{{1^2}}} \cdot 0,1 = - 0,1.}
\]
Пример 8
Найти дифференциал функции \(y = \large\frac{1}{{\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\normalsize,\) где \(u\) и \(v\) − дифференцируемые функции
переменной \(x\).
Решение.
Используя правила дифференцирования, получаем:
\[
{dy = d\left( {\frac{1}{{\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}} \right) }
= {d\left[ {{{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)}^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right] }
= { - \frac{1}{2}{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}}d\left( {{u^2} + {v^2}} \right) }
= { - \frac{1}{{2{{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}\left[ {d\left( {{u^2}} \right) + d\left( {{v^2}} \right)} \right] }
= { - \frac{{2udu + 2vdv}}{{2\sqrt {{{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)}^3}} }} }
= { - \frac{{udu + vdv}}{{\sqrt {{{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)}^3}} }}.}
\]
Пример 9
Найти дифференциал функции \(y = \arcsin \large\frac{u}{v}\normalsize,\) где \(u\) и \(v\) − дифференцируемые функции
от \(x\).
Решение.
\[
{dy = d\left( {\arcsin \frac{u}{v}} \right) }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^2}} }}d\left( {\frac{u}{v}} \right) }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^2}} }} \cdot \frac{{vdu - udv}}{{{v^2}}} }
= {\frac{{\left| v \right|}}{{\sqrt {{v^2} - {u^2}} }} \cdot \frac{{vdu - udv}}{{{{\left| v \right|}^2}}} }
= {\frac{{vdu - udv}}{{\left| v \right|\sqrt {{v^2} - {u^2}} }},}
\]
где \({v^2}>{u^2},\;v \ne 0.\)
Пример 10
Функция \(y\left( x \right)\) задана неявным уравнением \({y^3} - 3xy + {x^3} = 3.\)
Найти ее дифференциал в точке \(\left( {2,1} \right).\)
Решение.
Определим производную неявной функции.
Дифференцируя обе части по \(x\), получаем:
\[
{{\left( {{y^3} - 3xy + {x^3}} \right)^\prime } = {\left( 3 \right)^\prime },}\;\;
{\Rightarrow 3{y^2}y' - \left( {3y + 3xy'} \right) + 3{x^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow 3{y^2}y' - 3y - 3xy' + 3{x^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {{y^2} - x} \right)y' = y - {x^2},}\;\;
{\Rightarrow y' = \frac{{y - {x^2}}}{{{y^2} - x}}.}
\]
В точке \(\left( {2,1} \right)\) производная \(y'\) имеет значение
\[y'\left( {2,1} \right) = \frac{{1 - {2^2}}}{{{1^2} - 2}} = 3.\]
Соответственно, дифференциал в этой точке записывается как
\[dy = y'dx = 3dx.\]
Пример 11
Функция \(y\left( x \right)\) задана неявным уравнением \({x^2} - \sqrt y \,\ln y = 1.\)
Найти ее дифференциал в точке \(\left( {1,1} \right).\)
Решение.
Дифференцируем обе части уравнения по \(x\) и находим производную \(y':\)
\[
{{\left( {{x^2} - \sqrt y \ln y} \right)^\prime } = 1',}\;\;
{\Rightarrow 2x - \left( {\frac{1}{{2\sqrt y }} \cdot y' \cdot \ln y + \sqrt y \cdot \frac{1}{y} \cdot y'} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow 2x - y'\left( {\frac{{\ln y}}{{2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow 4x\sqrt y - y'\left( {\ln y + 2} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow y' = \frac{{4x\sqrt y }}{{\ln y + 2}}.}
\]
Вычислим значение производной в заданной точке \(\left( {1,1} \right):\)
\[y'\left( {1,1} \right) = \frac{{4 \cdot 1 \cdot \sqrt 1 }}{{\ln 1 + 2}} = 2.\]
Дифференциал функции в этой точке равен
\[dy = y'dx = 2dx.\]
Пример 12
Найти дифференциал функции \(y = \arctan \sqrt {\large\frac{{1 - x}}{{1 + x}}\normalsize} .\)
Решение.
Поскольку дифференциал функции выражается формулой
\[dy = y'\left( x \right)dx,\]
то для его нахождения достаточно вычислить производную \(y'\left( x \right)\). Дифференцируя как сложную функцию,
получаем:
\[
{y'\left( x \right) = {\left( {\arctan \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} } \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} } \right)}^2}}} \cdot {\left( {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} } \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{1 + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}}} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} }} \cdot {\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{\frac{{1 + \cancel{x} + 1 - \cancel{x}}}{{1 + x}}}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \cdot \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^\prime }\left( {1 + x} \right) - \left( {1 - x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} }
= {\frac{{1 + x}}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \cdot \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( {1 + x} \right) - \left( {1 - x} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} }
= {\frac{{\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} \left( { - 1 - \cancel{x} - 1 + \cancel{x}} \right)}}{{4\sqrt {1 - x} {{\left( {1 + x} \right)}^2}}} }
= { - \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 + x} \right)}} }
= { - \frac{1}{{2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} }} }
= { - \frac{1}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }},}
\]
где \( - 1<x<1.\) Соответственно, дифференциал функции записывается в виде
\[dy = - \frac{{dx}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }}.\]
Пример 13
Функция \(y\left( x \right)\) задана параметрическими уравнениями
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= t^2 + t + 1 \\
y &= t^3 - 2t
\end{aligned}
\right..
\]
Найти дифференциал функции в точке \(\left( {3, - 1} \right).\)
Решение.
Из уравнения \(3 = {t^2} + t + 1\) определяем соответствующее значение параметра \(t:\)
\[
{{t^2} + t - 2 = 0,}\;\;
{\Rightarrow D = 9,}\;\;
{\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm 3}}{2} = 1, - 2.}
\]
Проверим, что условию \(y = -1\) удовлетворяет значение \(t = 1.\)
Найдем производную \({y'_x}\)
параметрически заданной функции:
\[
{{y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} }
= {\frac{{{{\left( {{t^3} - 2t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{{3{t^2} - 2}}{{2t + 1}}.}
\]
При \(t = 1\) производная имеет следующее значение:
\[
{{y'_x}\left( {t = 1} \right) }
= {\frac{{3 \cdot {1^2} - 2}}{{2 \cdot 1 + 1}} = \frac{1}{3}.}
\]
Таким образом, дифференциал функции в точке \(\left( {3, - 1} \right)\) выражается формулой
\[dy = {y'_x}\,dx = \frac{{dx}}{3}.\]
Пример 14
Функция \(y\left( x \right)\) задана параметрическими уравнениями
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= \left( {t + 2} \right){e^t} \\
y &= {e^{t + 1}}
\end{aligned}
\right..
\]
Найти дифференциал функции в точке \(\left( {2, e} \right).\)
Решение.
Сначала определим значение параметра \(t\), которое соответствует точке \(\left( {2, e} \right).\)
Из второго уравнения находим:
\[
{e = {e^{t + 1}},}\;\;
{\Rightarrow t + 1 = 1,}\;\;
{\Rightarrow t = 0.}
\]
Проверим значение \(x\) при \(t = 0:\)
\[x = \left( {0 + 2} \right){e^0} = 2.\]
Найдем производную параметрически заданной функции:
\[
{{y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} }
= {\frac{{{{\left( {{e^{t + 1}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\left( {t + 2} \right){e^t}} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{{{e^{t + 1}}}}{{1 \cdot {e^t} + \left( {t + 2} \right){e^t}}} }
= {\frac{{\cancel{e^t}e}}{{\cancel{e^t}\left( {1 + t + 2} \right)}} }
= {\frac{e}{{t + 3}}.}
\]
При \(t = 0\) производная, соответственно, равна
\[{y'_x}\left( {t = 0} \right) = \frac{e}{3}.\]
Следовательно, дифференциал функции в точке \(\left( {2, e} \right)\) имеет вид:
\[dy = {y'_x}\,dx = \frac{{e\,dx}}{3}.\]
Пример 15
Дана сложная функция \(y = \ln x,\;u = \cos x.\) Выразить дифференциал функции \(y\) в инвариантной форме.
Решение.
Запишем дифференциал "внешней" функции:
\[
{dy = {y'_u}\,du = {\left( {\ln u} \right)^\prime }du }
= {\frac{1}{u}du.}
\]
Аналогично найдем дифференциал "внутренней" функции:
\[
{du = {u'_x}\,dx = {\left( {\cos x} \right)^\prime }dx }
= { - \sin x\,dx.}
\]
Подставляя выражение для \(du\) в предыдущую формулу, получим дифференциал \(dy\) в инвариантной форме:
\[
{dy = \frac{1}{u}du = \frac{1}{u}\left( { - \sin x} \right)dx }
= { - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx }
= { - \tan x\,dx.}
\]