Натуральный логарифм

									Натуральный логарифм
								

									Логарифм по основанию \(e\) (\(e\) - трансцендентное число, приближенно равное \(2.718281828\ldots\)) называется
									натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается \(\ln x\). 
									Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах. 
									
										Соотношение между логарифмом по основанию a и натуральным логарифмом
									

									Пусть число \(a\) является основанием логарифма (\(a>0\), \(a \ne 1\)), и пусть задана логарифмическая функция
									\[y = {\log _a}x.\]
									Отсюда следует, что
									\[{a^y} = x.\]
									Взяв натуральный логарифм от левой и правой части, получаем
									\[\ln {a^y} = \ln x,\;\; 
									{\Rightarrow y\ln a = \ln x,}\;\; 
									{\Rightarrow y = \frac{1}{{\ln a}}\ln x,}\;\; 
									{\Rightarrow {\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}.}
									\]
									Последняя формула выражает произвольный логарифм числа \(x\) по основанию \(a\) через натуральный логарифм этого числа.
									Полагая \(x = e\), можно записать
									\[{\log _a}e = \frac{1}{{\ln a}}\ln e = \frac{1}{{\ln a}}.\]
									Если \(a = 10\), то получаем десятичный логарифм:
									\[{\log _{10}}x = \lg x = M\,{\ln x} ,\;\;
									{\text{где}\;\;M = \frac{1}{{\ln a}} = \lg e \approx 0.43429 \ldots }
									\]
									Обратное соотношение имеет вид:
									\[\ln x = \frac{1}{M}\lg x,\;\;
									{\text{где}\;\;\frac{1}{M} = \ln 10 \approx 2.30258 \ldots }
									\]
									Графики функций  \(y = \ln x\) и \(y = \lg x\) показаны на рисунке 1.
									
Рис.1
Рис.2

									Пример 1
								

									Вычислить \(\ln \large\frac{1}{{\sqrt e }}\normalsize\).
									
										Решение.
									

									\[\ln \frac{1}{{\sqrt e }} = \ln {e^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}} =  - \frac{1}{2}\ln e =  - \frac{1}{2}.\]
								

									Пример 2
								

									Записать в виде одного логарифма \(\large\frac{1}{3}\normalsize\ln \left( {x - 1} \right) - {\large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left( {x + 1} \right)} + {2\ln x}\).
									
										Решение.
									

									\[\frac{1}{3}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {x + 1} \right) + 2\ln x 
									= {\ln {\left( {x - 1} \right)^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} - \ln {\left( {x + 1} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} + \ln {x^2} }
									= {\ln \sqrt[\large 3\normalsize]{{x - 1}} - \ln \sqrt {x + 1}  + \ln {x^2} }
									= {\ln \frac{{{x^2}\sqrt[3]{{x - 1}}}}{{\sqrt {x + 1} }}.}
									\]
								

									Пример 3
								

									Схематически изобразить график функции \(y = \ln \left( {x + 1} \right) - 1\).
									
										Решение.
									

									График функции \(y = \ln \left( {x + 1} \right) - 1\) получается в результате сдвига графика функции \(y = \ln x\) 
									на одну единицу влево (при этом мы получаем функцию \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\)) и на одну единицу вниз (рисунок 2).
								

									Пример 4
								

									Схематически изобразить график функции \(y = \left| {\ln x} \right|\).
									
										Решение.
									

									График искомой функции (рисунок 3) получается в результате следующих преобразований.
									Часть графика функции \(y = \left| {\ln x} \right|\), лежащая в области \(x \ge 1\), совпадает с графиком функции \(y = \ln x\).
									Остальная часть, соответствующая  \(y<0\) (при \(0<x<1\)), отражается относительно оси \(Ox\) в верхнюю полуплоскость.
									
Рис.3
Рис.4

									Пример 5
								

									Схематически изобразить график функции \(y = \left| {\ln \left| x \right|} \right|\).
									
										Решение.
									

									Сначала мы построим график функции \(y = \left| {\ln x} \right|\), как описано в предыдущем примере.
									Затем отразим график этой функции относительно оси \(Oy\) в левую полуплоскость. Совокупность этих графиков и представляет собой 
									график искомой функции \(y = \left| {\ln \left| x \right|} \right|\) (рисунок 4).
								