Теорема Коши

Теорема Коши о среднем значении обобщает формулу конечных приращений Лагранжа. В этой теореме устанавливается связь между производными двух функций и изменением этих функций на конечном отрезке. Пусть функции \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) непрерывны на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) и дифференцируемы на интервале \(\left( {a,b} \right),\) причем \(g'\left( x \right) \ne 0\) при всех \(x \in \left( {a,b} \right).\) Тогда в этом интервале существует точка \(x = \xi,\) такая, что \[\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}}.\] Доказательство. Прежде всего, заметим, что знаменатель в левой части формулы Коши не равен нулю: \({g\left( b \right) - g\left( a \right)} \ne 0.\) Действительно, если \({g\left( b \right) = g\left( a \right)},\) то по теореме Ролля найдется точка \(\eta \in \left( {a,b} \right),\) в которой \(g'\left( {\eta} \right) = 0.\) Это, однако, противоречит условию, где указано, что \(g'\left( x \right) \ne 0\) при всех \(x \in \left( {a,b} \right).\) Введем вспомогательную функцию \[F\left( x \right) = f\left( x \right) + \lambda g\left( x \right).\] Выберем число \(\lambda\) таким образом, чтобы выполнялось условие \({F\left( a \right) = F\left( b \right)}.\) В этом случае получаем \[ {f\left( a \right) + \lambda g\left( a \right) = f\left( b \right) + \lambda g\left( b \right),}\;\; {\Rightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) = \lambda \left[ {g\left( a \right) - g\left( b \right)} \right],}\;\; {\Rightarrow \lambda = - \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}}.} \] и функция \(F\left( x \right)\) принимает вид \[ {F\left( x \right) } = {f\left( x \right) - \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}}g\left( x \right).} \] Эта функция непрерывна на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) дифференцируема на открытом интервале \(\left( {a,b} \right),\) и при найденном значении \(\lambda\) принимает одинаковые значения на границах интервала. Тогда по теореме Ролля в интервале \(\left( {a,b} \right)\) существует точка \(\xi\) такая, что \[F'\left( \xi \right) = 0.\] Следовательно, \[ {f'\left( \xi \right) } - {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}}g'\left( \xi \right) = 0} \] или \[ {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} } = {\frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}}.} \] Полагая \(g\left( x \right) = x,\) из формулы Коши можно получить формулу Лагранжа: \[\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} = f'\left( \xi \right).\] Формула Коши имеет следующий геометрический смысл. Пусть плоская кривая \(\gamma\) описывается параметрическими уравнениями \(x = f\left( t \right),\) \(y = g\left( t \right),\) где параметр \(t\) изменяется в промежутке \(\left[ {a,b} \right].\) При изменении параметра \(t\) точка кривой на рисунке \(1\) пробегает от \(A\left( {f\left( a \right),g\left( a \right)} \right)\) до \(B\left( {f\left( b \right),g\left( b \right)} \right).\) В соответствии с теоремой Коши на кривой \(\gamma\) найдется точка \(\left( {f\left( {\xi} \right),g\left( {\xi} \right)} \right),\) в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы \(A\) и \(B\) данной кривой.

Пример 1

Функция \(f\left( x \right)\) дифференцируема на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) где \(ab>0.\) Показать, что для этой функции выполняется равенство \[\frac{1}{{a - b}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {f\left( a \right)}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right| = f\left( \xi \right) - \xi f'\left( \xi \right),\] где \(\xi \in \left( {a,b} \right)\) (Б.П.Демидович, задача \(1253\)). Заметим, что в силу условия \(ab>0\) отрезок \(\left[ {a,b} \right]\) не содержит точку \(x = 0.\) Рассмотрим две функции \(F\left( x \right)\) и \(G\left( x \right),\) имеющие вид: \[ {F\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x},}\;\;\; {G\left( x \right) = \frac{1}{x}.} \] Для этих функций формула Коши записывается в таком виде: \[ {\frac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{G\left( b \right) - G\left( a \right)}} } = {\frac{{F'\left( \xi \right)}}{{G'\left( \xi \right)}},} \] где точка \(x = \xi\) лежит в интервале \(\left( {a,b} \right).\) Найдем производные: \[ {F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{f'\left( x \right)x - f\left( x \right)}}{{{x^2}}},}\;\;\; {G'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}.} \] Подставляя это в формулу Коши, получаем: \[ {\frac{{\frac{{f\left( b \right)}}{b} - \frac{{f\left( a \right)}}{a}}}{{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}} } = {\frac{{\frac{{\xi f'\left( \xi \right) - f\left( \xi \right)}}{{{\xi ^2}}}}}{{ - \frac{1}{{{\xi ^2}}}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\frac{{af\left( b \right) - bf\left( a \right)}}{{ab}}}}{{\frac{{a - b}}{{ab}}}} } = { - \frac{{\frac{{\xi f'\left( \xi \right) - f\left( \xi \right)}}{{{\xi ^2}}}}}{{\frac{1}{{{\xi ^2}}}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{af\left( b \right) - bf\left( a \right)}}{{a - b}} = f\left( \xi \right) - \xi f'\left( \xi \right).} \] Левую часть этого равенства можно записать через определитель. Тогда \[\frac{1}{{a - b}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {f\left( a \right)}&{f\left( b \right)} \end{array}} \right| = f\left( \xi \right) - \xi f'\left( \xi \right).\]

Пример 2

Проверить справедливость теоремы Коши для функций \(f\left( x \right) = {x^4}\) и \(g\left( x \right) = {x^2}\) на отрезке \(\left[ {1,2} \right].\) Производные заданных функций равны \[ {f'\left( x \right) = \left( {{x^4}} \right) = 4{x^3},}\;\;\; {g'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right) = 2x.} \] Подставляя функции и их производные в формулу Коши, получаем: \[\require{cancel} {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{b^4} - {a^4}}}{{{b^2} - {a^2}}} = \frac{{4{\xi ^3}}}{{2\xi }},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\cancel{\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}\left( {{b^2} + {a^2}} \right)}}{\cancel{{b^2} - {a^2}}} = 2{\xi ^2},}\;\; {\Rightarrow {\xi ^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2},}\;\; {\Rightarrow \xi = \pm \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}}.} \] Учтем, что границы отрезка равны \(a = 1\) и \(b = 2.\) Следовательно, \[ {\xi = \pm \sqrt {\frac{{{1^2} + {2^2}}}{2}} } = { \pm \sqrt {\frac{5}{2}} \approx \pm 1,58.} \] В данном случае следует выбрать положительное значение \(\xi = \sqrt {\large\frac{5}{2}\normalsize} \approx 1,58.\) Видно, что это число лежит в интервале \(\left( {1,2} \right),\) т.е. удовлетворяет теореме Коши.

Пример 3

Проверить справедливость теоремы Коши для функций \(f\left( x \right) = {x^3}\) и \(g\left( x \right) = \arctan x\) на отрезке \(\left[ {0,1} \right].\) Вычислим производные данных функций: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2},}\;\;\; {g'\left( x \right) = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}.} \] Запишем формулу Коши и подставим в нее функции \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) вместе с их производными: \[ {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{b^3} - {a^3}}}{{\arctan b - \arctan a}} = \frac{{3{\xi ^2}}}{{\frac{1}{{1 + {\xi ^2}}}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{b^3} - {a^3}}}{{\arctan b - \arctan a}} = \frac{{1 + {\xi ^2}}}{{3{\xi ^2}}}.} \] Для значений \(a = 0\), \(b = 1\) получаем: \[ {\frac{{{1^3} - {0^3}}}{{\arctan 1 - \arctan 0}} = \frac{{1 + {\xi ^2}}}{{3{\xi ^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{1 - 0}}{{\frac{\pi }{4} - 0}} = \frac{{1 + {\xi ^2}}}{{3{\xi ^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{4}{\pi } = \frac{{1 + {\xi ^2}}}{{3{\xi ^2}}},}\;\; {\Rightarrow 12{\xi ^2} = \pi + \pi {\xi ^2},}\;\; {\Rightarrow \left( {12 - \pi } \right){\xi ^2} = \pi ,}\;\; {\Rightarrow {\xi ^2} = \frac{\pi }{{12 - \pi }},}\;\; {\Rightarrow \xi = \pm \sqrt {\frac{\pi }{{12 - \pi }}}.} \] Учитывая, что в условии задачи задан отрезок \(\left[ {0,1} \right],\) выберем положительное значение \(\xi.\) Проверим, что данная точка \(\xi\) находится в интервале \(\left( {0,1} \right):\) \[ {\xi = \sqrt {\frac{\pi }{{12 - \pi }}} } {\approx \sqrt {\frac{{3,14}}{{8,86}}} \approx 0,60.} \] Таким образом, теорема Коши для заданных функций и указанного отрезка выполняется.

Пример 4

Проверить справедливость теоремы Коши для функций \(f\left( x \right) = \cos x\) и \(g\left( x \right) = \sin x\) на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\) Для указанных функций формула Коши записывается в виде \[ {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\cos b - \cos a}}{{\sin b - \sin a}} = \frac{{{{\left( {\cos \xi } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sin\xi } \right)}^\prime }}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\cos b - \cos a}}{{\sin b - \sin a}} = - \frac{{\sin\xi }}{{\cos \xi }} = - \tan \xi ,} \] где точка \(\xi\) лежит в интервале \(\left( {a,b} \right).\) Используя формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение, получаем: \[ {\frac{{ - \cancel{2}\sin \frac{{b + a}}{2}\cancel{\sin \frac{{b - a}}{2}}}}{{\cancel{2}\cos \frac{{b + a}}{2}\cancel{\sin \frac{{b - a}}{2}}}} = - \tan \xi ,}\;\; {\Rightarrow - \tan \frac{{a + b}}{2} = - \tan \xi ,}\;\; {\Rightarrow \xi = \frac{{a + b}}{2} + \pi n,\;n \in Z.} \] В контексте данной задачи нас интересует решение при \(n = 0,\) т.е. \[\xi = \frac{{a + b}}{2}.\] Как видно, точка \(\xi\) находится в середине интервала \(\left( {a,b} \right)\) и, следовательно, удовлетворяет теореме Коши. Заметим, что приведенное решение является корректным, если числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют условиям: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \cos \frac{{b + a}}{2} \ne 0\\ \sin\frac{{b - a}}{2} \ne 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{b + a}}{2} \ne \frac{\pi }{2} + \pi n\\ \frac{{b - a}}{2} \ne \pi k \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b \ne \pi + 2\pi n\\ b - a \ne 2\pi k \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne \frac{\pi }{2} + \pi n\\ b \ne \frac{\pi }{2} + \pi k \end{array} \right.,} \] где \(n, k \in \mathbb{Z}.\)

Пример 5

Показать, что при \(x \ne 0\) справедливо неравенство \[1 - \frac{{{x^2}}}{2}<\cos x.\] Введем функции \[ {f\left( x \right) = 1 - \cos x,}\;\;\; {g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}} \] и применим формулу Коши на отрезке \(\left[ {0,x} \right].\) В результате получаем \[ {\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{g\left( x \right) - g\left( 0 \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{1 - \cos x - \left( {1 - \cos 0} \right)}}{{\frac{{{x^2}}}{2} - 0}} = \frac{{\sin \xi }}{\xi },}\;\; {\Rightarrow \frac{{1 - \cos x}}{{\frac{{{x^2}}}{2}}} = \frac{{\sin \xi }}{\xi },} \] где точка \(\xi\) находится в интервале \(\left( {0,x} \right).\) Выражение \(\large\frac{{\sin \xi }}{\xi }\normalsize\;\left( {\xi \ne 0} \right)\) в правой части равенства всегда меньше единицы. Действительно, это следует из рисунка \(3\), где \(\xi\) − это длина дуги, стягивающей угол \(\xi\) в единичном круге, а \(\sin \xi\) − проекция радиуса-вектора \(OM\) на ось \(y.\) В таком случае можно записать \[ {\frac{{1 - \cos x}}{{\frac{{{x^2}}}{2}}} = \frac{{\sin \xi }}{\xi }<1,}\;\; {\Rightarrow 1 - \cos x<\frac{{{x^2}}}{2}\;\;\text{или}}\;\; {1 - \frac{{{x^2}}}{2}<\cos x.} \]