Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция \(f\left( x \right)\) непрерывна на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) и дифференцируема на интервале \(\left( {a,b} \right),\) то в этом интервале существует хотя бы одна точка \(x = \xi,\) такая, что \[f\left( b \right) - f\left( a \right) = f'\left( \xi \right)\left( {b - a} \right).\] Данная теорема называется также формулой конечных приращений, поскольку она выражает приращение функции на отрезке через значение производной в промежуточной точке этого отрезка. Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию \[F\left( x \right) = f\left( x \right) + \lambda x.\] Выберем число \(\lambda\) таким, чтобы выполнялось условие \(F\left( a \right) = F\left( b \right).\) Тогда \[ {f\left( a \right) + \lambda a = f\left( b \right) + \lambda b,}\;\; {\Rightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) = \lambda \left( {a - b} \right),}\;\; {\Rightarrow \lambda = - \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}.} \] В результате получаем \[ {F\left( x \right) = f\left( x \right) } {- \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}x.} \] Функция \(F\left( x \right)\) непрерывна на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) дифференцируема на интервале \(\left( {a,b} \right)\) и принимает одинаковые значения на концах интервала. Следовательно, для нее выполнены все условия теоремы Ролля. Тогда в интервале \(\left( {a,b} \right)\) существует точка \(\xi,\) такая, что \[F'\left( \xi \right) = 0.\] Отсюда следует, что \[f'\left( \xi \right) - \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} = 0\] или \[f\left( b \right) - f\left( a \right) = f'\left( \xi \right)\left( {b - a} \right).\] Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Хорда, проходящая через точки графика, соответствующие концам отрезка \(a\) и \(b,\) имеет угловой коэффициент, равный \[ {k = \tan \alpha } = {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}.} \] Тогда внутри отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) существует точка \(x = \xi,\) в которой касательная к графику функции параллельна хорде (рисунок \(1\)). Теорема Лагранжа имеет также наглядную физическую интерпретацию. Если считать, что \(f\left( t \right)\) описывает координату тела при перемещении вдоль прямой в зависимости от времени \(t,\) то отношение \[\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\] представляет собой среднюю скорость тела в промежутке времени \(b - a.\) Поскольку \(f'\left( t \right)\) − это мгновенная скорость, то данная теорема означает, что существует момент времени \(\xi,\) в который мгновенная скорость равна средней скорости. Теорема Лагранжа имеет множество приложений в математическом анализе, вычислительной математике и других областях. Укажем далее два замечательных следствия. Следствие \(1\). В частном случае, когда значения функции \(f\left( x \right)\) на концах отрезка \(\left[ {a,b} \right]\) равны, т.е. \(f\left( a \right) = f\left( b \right),\) из теоремы Лагранжа вытекает, что найдется точка \(\xi \in \left( {a,b} \right),\) такая, что \[ {f'\left( \xi \right) } = {\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} = 0,} \] т.е. мы получаем теорему Ролля, которую можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа. Следствие \(2\). Если производная \(f'\left( x \right)\) равна нулю во всех точках отрезка \(\left[ {a,b} \right],\) то функция \(f\left( x \right)\) является постоянной на этом отрезке. Действительно, для любых двух точек \({x_1}\) и \({x_2}\) из промежутка \(\left[ {a,b} \right]\) существует точка \(\xi \in \left( {a,b} \right),\) такая, что \[ {f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) } = {f'\left( \xi \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) } = {0 \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0.} \] Следовательно, \[f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right).\]

Пример 1

Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 5\] на отрезке \(\left[ {1,4} \right].\) Если теорема соблюдается, найти точку \(\xi,\) удовлетворяющую условиям теоремы. Заданная квадратичная функция непрерывна и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Следовательно, к ней применима теорема Лагранжа. Производная функции имеет вид \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)^\prime } } = {2x - 3.} \] Найдем координаты точки \(\xi:\) \[ {f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}},}\;\; {\Rightarrow 2\xi - 3 = \frac{{\left( {{4^2} - 3 \cdot 4 + 5} \right) - \left( {{1^2} - 3 \cdot 1 + 5} \right)}}{{4 - 1}},}\;\; {\Rightarrow 2\xi - 3 = \frac{{9 - 3}}{3} = 2,}\;\; {\Rightarrow 2\xi = 5,}\;\; {\Rightarrow \xi = 2,5.} \] Видно, что точка \(\xi = 2,5\) находится в интервале \(\left( {1,4} \right).\)

Пример 2

Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции \[f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\] на отрезке \(\left[ {4,5} \right].\) Данная функция имеет разрыв при \(x = 3,\) но на отрезке \(\left[ {4,5} \right]\) она непрерывна и дифференцируема. Следовательно, здесь применима теорема Лагранжа. Находим производную: \[\require{cancel} {f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x - 3}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 1} \right){{\left( {x - 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} } = {\frac{{1 \cdot \left( {x - 3} \right) - \left( {x - 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{x} - 3 - \cancel{x} + 1}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} } = { - \frac{2}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.} \] Применяя формулу Лагранжа, получаем: \[ {f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}},}\;\; {\Rightarrow - \frac{2}{{{{\left( {\xi - 3} \right)}^2}}} = \frac{{f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right)}}{{5 - 4}}.} \] Вычислим значения функции на концах интервала: \[ {f\left( 4 \right) = \frac{{4 - 1}}{{4 - 3}} = 3,}\;\;\; {f\left( 5 \right) = \frac{{5 - 1}}{{5 - 3}} = 2.} \] Тогда \[ {- \frac{2}{{{{\left( {\xi - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 3}}{{5 - 4}},}\;\; {\Rightarrow - \frac{2}{{{{\left( {\xi - 3} \right)}^2}}} = - 1,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\xi - 3} \right)^2} = 2.} \] Нам подходит положительное значение квадратного корня. Следовательно, \[ {\xi - 3 = \sqrt 2 ,}\;\; {\Rightarrow \xi = 3 + \sqrt 2 \approx 4,41.} \] Итак, точка, в которой касательная к графику функции параллельна хорде, лежит в интервале \(\left( {4,5} \right)\) и имеет координату \(\xi = 3 + \sqrt 2 \approx 4,41.\)

Пример 3

На кривой \(y = {x^3}\) найти точку \(C\left( {\xi ,\eta } \right),\) касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки \(O\left( {0,0} \right)\) и \(A\left( {2,8} \right)\) (рисунок \(3\)). Данная функция непрерывна и дифференцируема при всех \(x \in \mathbb{R}.\) Поэтому можно воспользоваться формулой Лагранжа: \[f'\left( \xi \right) = \frac{{{y_A} - {y_O}}}{{{x_A} - {x_O}}},\] где \(\xi\) − абсцисса точки \(C,\) в которой касательная параллельна хорде \(OA.\) Подставляя производную \[f'\left( x \right) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}\] и координаты концов хорды, получаем: \[ {3{\xi ^2} = \frac{{8 - 0}}{{2 - 0}},}\;\; {\Rightarrow 3{\xi ^2} = 4,}\;\; {\Rightarrow {\xi ^2} = \frac{4}{3},}\;\; {\Rightarrow \xi = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}.} \] Здесь, очевидно, нас устраивает только положительное значение корня. Тогда координаты точки \(C\) равны \[ {\xi = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \approx 1,15;}\;\;\; {\eta = {\xi ^3} = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} } ={ \frac{8}{{3\sqrt 3 }} \approx 1,54.} \]

Пример 4

Составить формулу конечных приращений для квадратичной функции \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) при произвольных значениях \(x\) и \(\Delta x.\) С помощью формулы Лагранжа (или формулы конечных приращений) можно вычислить значение функции в точке \(x + \Delta x,\) если известно значение функции \(f\left( x \right)\) в точке \(x\) и значение производной \(f'\left( \xi \right)\) в некоторой промежуточной \(\xi.\) Запишем данную формулу в таком виде: \[f\left( {x + \Delta x} \right) = f\left( x \right) + f'\left( \xi \right)\Delta x.\] Найдем теперь координату \(\xi\) (в которой вычисляется производная) для квадратичной функции. Производная квадратичной функции записывается в виде \[ {f'\left( x \right) } = {{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^\prime } } = {2ax + b.} \] Подставляя в формулу Лагранжа выражения для функции \(f\left( x \right)\) и ее производной, получаем: \[ {a{\left( {x + \Delta x} \right)^2} + b\left( {x + \Delta x} \right) + c = a{x^2} + bx + c + \left( {2a\xi + b} \right)\Delta x,}\;\; {\Rightarrow \cancel{\color{blue}{a{x^2}}} + 2ax\Delta x + a{\left( {\Delta x} \right)^2} + \cancel{\color{red}{bx}} + \cancel{\color{green}{b\Delta x}} + \cancel{\color{maroon}{c}} = \cancel{\color{blue}{a{x^2}}} + \cancel{\color{red}{bx}} + \cancel{\color{maroon}{c}} + 2a\xi \Delta x + \cancel{\color{green}{b\Delta x}},}\;\; {\Rightarrow 2ax\Delta x + a{\left( {\Delta x} \right)^2} = 2a\xi \Delta x,}\;\; {\Rightarrow a\Delta x\left( {2x + \Delta x} \right) = 2a\xi \Delta x,}\;\; {\Rightarrow 2\xi = 2x + \Delta x,}\;\; {\Rightarrow 2\xi = 2\left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right),}\;\; {\Rightarrow \xi = x + \frac{{\Delta x}}{2}.} \] Следовательно, в данном случае производную нужно вычислять в точке с координатой \(\xi = x + \large\frac{{\Delta x}}{2}\normalsize,\) т.е. смещенной относительно \(x\) на половину приращения \(\Delta x.\) Этот результат справедлив для любой квадратичной функции при произвольных значениях \(x\) и \(\Delta x.\) Таким образом, окончательная формула для квадратичной функции имеет вид \[ {f\left( {x + \Delta x} \right) } = {f\left( x \right) + f'\left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)\Delta x.} \] В соответствии с теоремой Лагранжа, касательная, проведенная в точке \(\xi = x + \large\frac{{\Delta x}}{2}\normalsize,\) будет параллельна хорде, соединяющей точки \(A\left( {x,f\left( x \right)} \right)\) и \(B\left( {x + \Delta x,f\left( {x + \Delta x} \right)} \right)\) (рисунок \(4\)).

Пример 5

Функция \({f\left( x \right)}\) всюду непрерывна и дифференцируема. Показать, что если функция \({f\left( x \right)}\) имеет два действительных корня, то ее производная \({f'\left( x \right)}\) имеет по крайней мере один корень. Обозначим корни функции через \(a\) и \(b.\) В соответствии с условием, функция \({f\left( x \right)}\) непрерывна и дифференцируема на отрезке \(\left[ {a,b} \right].\) Следовательно, к ней применима формула Лагранжа: \[f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}},\] где \(\xi\) − некоторая точка, лежащая в открытом интервале \(\left( {a,b} \right).\) Поскольку \({f\left( a \right) - f\left( b \right)} = 0,\) то \[f'\left( \xi \right) = \frac{{0 - 0}}{{b - a}} = 0.\] Таким образом, производная \({f'\left( x \right)}\) имеет по крайней мере один корень. Подчеркнем, что у производной может быть более одного корня (например, можно рассмотреть функцию \(f\left( x \right) = \sin x\) на отрезке \(\left[ {0,2\pi} \right],\) где производная имеет два корня). Теорема Лагранжа позволяет доказать существование по меньшей мере одного корня. Ясно, что рассмотренную схему можно обобщить на случай \(n\) корней и производной \(\left( {n - 1} \right)\)-го порядка. Если функция имеет три действительных корня, то первая производная производная будет иметь (по крайней мере) два корня, а вторая производная − соответственно, не менее одного корня. В общем случае, если функция имеет \(n\) действительных корней, то производная \(\left( {n - 1} \right)\)-го порядка будет иметь не менее \(1\) корня.

Пример 6

Функция \({f\left( x \right)}\) непрерывна и дифференцируема на отрезке \(\left[ {2,10} \right].\) Известно, что \(f\left( 2 \right) = 8\) и производная на данном промежутке удовлетворяет условию \(f'\left( x \right) \le 4\) для всех \(x \in \left( {2,10} \right).\) Определить максимально возможное значение функции при \(x = 10.\) Для оценки значения \({f\left( {10} \right)}\) воспользуемся формулой Лагранжа, которая записывается как \[f\left( {10} \right) - f\left( 2 \right) = f'\left( \xi \right)\left( {10 - 2} \right),\] где \(\xi\) − некоторая точка, лежащая в интервале \(\left( {2,10} \right).\) Перепишем эту формулу в виде \[f\left( {10} \right) = f\left( 2 \right) + 8f'\left( \xi \right).\] Максимально возможное значение производной на данном интервале составляет \(f'\left( x \right) = 4.\) Следовательно, \[f\left( {10} \right) \le f\left( 2 \right) + 8 \cdot 4 = 4 + 32 = 40.\] Таким образом, максимально возможное значение функции на правой границе интервала равно \(40.\)