Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями \({e^x}\) и \({e^{ - x}}\). Например, гиперболические синус и косинус определяются как \[\sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2},\;\;\cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}.\] Производные этих функций имеют вид \[ {{\left( {\sinh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} = \cosh x,}\;\; {{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} = \sinh x.} \] Выведем производную гиперболического тангенса: \[ {{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }\cosh x - \sinh x{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }}}{{{{\cosh }^2}x}} = \frac{{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{{{\cosh }^2}x - {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}}.} \] Известно, что для гиперболических синуса и косинуса справедливо соотношение \[{\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1.\] Поэтому производная гиперболического тангенса записывается в виде \[ {{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = \frac{{{{\cosh }^2}x - {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} } = {{\text{sech}^2}x.} \] Аналогичным образом можно получить формулы производных остальных гиперболических функций: \[ {{\left( {\coth x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }\sinh x - \cosh x{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }}}{{{{\sinh }^2}x}} } = { - \frac{{{{\cosh }^2}x - {{\sinh }^2}x}}{{{{\sinh }^2}x}} } = { - \frac{1}{{{{\sinh }^2}x}} } = { - {\text{csch}^2}x,} \] \[ {{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot \sinh x } = { - \frac{1}{{\cosh x}} \cdot \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} } = { - \text{sech}\,x\tanh x,} \] \[ {{\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\sinh x}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot \cosh x } = { - \frac{1}{{\sinh x}} \cdot \frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} } = { - \text{csch}\,x\coth x\;\;\left( {x \ne 0} \right).} \] Как видно, производные гиперболических функций очень похожи на производные тригонометрических функций. Однако важно отметить различие в знаках! Если производная косинуса равна \[{\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x,\] то у производной гиперболического косинуса знак "минус" отсутствует: \[{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x.\] Для функции секанс ситуация со знаком в точности обратная: \[ {{\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x\tan x,}\;\; {{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } = - \text{sech}\,x\tanh x.} \] Рассмотрим теперь производные \(6\) обратных гиперболических функций. Соответствующие формулы можно вывести, используя теорему о производной обратной функции. Возьмем, к примеру, функцию \(y = f\left( x \right) = \text{arcsinh}\,x\) (обратный гиперболический синус). Вместе с функцией \(x = \varphi \left( y \right) = \sinh y\) они образуют пару взаимно-обратных функций. Тогда производная обратного гиперболического синуса равна \[ {{\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sinh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\cosh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}y} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.} \] Точно также можно вывести производные обратного гиперболического косинуса, тангенса и котангенса. \[ {{\left( {\text{arccosh}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\cosh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\sinh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}y - 1} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}\left( {\text{arccosh}\,x} \right) - 1} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\;\;\left( {x>1} \right),} \] \[ {{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\tanh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}}} } = {{\cosh ^2}y.} \] Из тождества \({\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1\) следует, что \[ {1 - {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}}\;\; {\text{или}\;\;{\cosh ^2}y = \frac{1}{{1 - {{\tanh }^2}y}}.} \] Поэтому \[ {{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } = {\cosh ^2}y = \frac{1}{{1 - {{\tanh }^2}y}} } = {\frac{1}{{1 - {{\tanh }^2}\left( {\text{arctanh}\,x} \right)}} } = {\frac{1}{{1 - {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right|<1} \right).} \] Аналогично находим производную функции \(y = f\left( x \right) = \text{arccoth}\,x\) (обратный гиперболический котангенс): \[ {{\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\coth y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\left( { - \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}}} \right)}} } = { - {\sinh ^2}y.} \] Учитывая, что \[ {{\coth ^2}y - 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}},}\;\; {\Rightarrow {\sinh ^2}y = \frac{1}{{{{\coth }^2}y - 1}},} \] получаем \[ {\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } = - {\sinh ^2}y = - \frac{1}{{{{\coth }^2}y - 1}} = - \frac{1}{{{{\coth }^2}\left( {\text{arccoth}\,x} \right) - 1}} = - \frac{1}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{1 - {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right|>1} \right). \] Как видно, производные функций \(\text{arctanh}\,x\) и \(\text{arccoth}\,x\) одинаковы, но определяются при различных значениях \(x\). Ограничения на область определения для обратного гиперболического тангенса и котангенса следуют из множества допустимых значений функций \(y = \tanh x\) и \(y = \coth x\), соответственно. Выведем также производные обратного гиперболического секанса и косеканса, хотя эти функции встречаются достаточно редко. В соответствии с описанной схемой запишем две взаимно-обратные функции: \(y = f\left( x \right) = \text{arcsech}\,x\) \(\left( {x \in \left( {0,1} \right]} \right)\) и \(x = \varphi \left( y \right) = \text{sech}\,y\) \(\left( {y>0} \right)\). Вычислим производную: \[ {{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\text{sech}\,y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\text{sech}\,y\tanh y}}.} \] Выразим \(\tanh y\) через \(\text{sech}\,y\), учитывая, что \(y>0\): \[ {{\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1,}\;\; {\Rightarrow 1 - {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}} = {\text{sech}^2}y,}\;\; {\Rightarrow {\tanh ^2}y = 1 - {\text{sech}^2}y,}\;\; {\Rightarrow \tanh y = \sqrt {1 - {{\text{sech}}^2}y}.} \] В результате получаем: \[ {{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\text{sech}\,y \tanh y}} } = { - \frac{1}{{\text{sech}\left( {\text{arcsech}\,x} \right)\sqrt {1 - {\text{sech}^2}\left( {\text{arcsech}\,x} \right)} }} } = { - \frac{1}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }},\;\;x \in \left( {0,1} \right).} \] Аналогично можно найти производную обратного гиперболического косеканса. Полагаем \(y = f\left( x \right) = \text{arccsch}\,x\) \(\left( {x \in \mathbb{R},\;x \ne 0} \right)\) и \(x = \varphi \left( y \right) = \text{csch}\,y\) \(\left( {y \ne 0} \right)\). Рассмотрим сначала ветвь \(x>0\). В этом случае переменная \(y\) принимает значения \(y>0\) (графики данных функций можно посмотреть на странице Функции и их графики). Производная обратного гиперболического косеканса выражается в виде \[ {{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\text{csch}\,y} \right)}^\prime }}} } = { - \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}}.} \] Сделаем подстановку \[ {{\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1,}\;\; {\Rightarrow {\coth ^2}y - 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}} = {\text{csch}^2}y,}\;\; {\Rightarrow {\coth ^2}y = 1 + {\text{csch}^2}y,}\;\; {\Rightarrow \coth y = \pm \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y}.} \] Учитывая, что \(y>0\), выбираем знак "\(+\)" перед корнем. Следовательно, \[ {{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\text{csch}\,y \coth y}} } = { - \frac{1}{{\text{csch}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)\sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)} }} } = { - \frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;\left( {x>0} \right).} \] Теперь рассмотрим пару взаимно-обратных функций при \(x<0\). В силу нечетности гиперболического косеканса это соответствует условию \(y<0\). Кроме того, гиперболический котангенс также отрицателен при \(y<0\): \(\coth y<0\), то есть в этом случае необходимо записать \[\coth y = - \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y} \;\;\left( {y<0} \right).\] Тогда производная обратного гиперболического косеканса при \(x<0\) выражается формулой \[ {{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}} } = { - \frac{1}{{\text{csch}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)\left( { - \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)} } \right)}} } = {\frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;\left( {x<0} \right).} \] Объединяя обе ветви решений, получаем окончательное выражение для производной обратного гиперболического косеканса в виде \[{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;\left( {x \ne 0} \right).\] Для удобства соберем формулы производных всех гиперболических функций в одной таблице:

В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции.

Пример 1

\[y = \coth \frac{1}{x}\] Дифференцируя как сложную функцию, находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\coth \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = { - {\text{csch}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = { - {\text{csch}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {\frac{{{{\text{csch}}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right)}}{{{x^2}}}.} \]

Пример 2

\[y = \ln \left( {\sinh x} \right),\;x>0.\] \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {\sinh x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\sinh x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} = \tanh x.} \]

Пример 3

\[y = \sinh \left( {\tan x} \right)\] Дифференцируя как сложную функцию, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\sinh \left( {\tan x} \right)} \right]^\prime } } = {\cosh \left( {\tan x} \right) \cdot {\left( {\tan x} \right)^\prime } } = {\cosh \left( {\tan x} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\cosh \left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}},} \] где \(x \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

Пример 4

\[y = \tanh \left( {{x^2}} \right)\] Дифференцируя как сложную функцию, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\tanh \left( {{x^2}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{{{\cosh }^2}\left( {{x^2}} \right)}} \cdot {\left( {{x^2}} \right)^\prime } } = {\frac{{2x}}{{{{\cosh }^2}\left( {{x^2}} \right)}}.} \]

Пример 5

\[y = x\sinh x - \cosh x\] Применяя правила дифференцирования разности и произведения функций, имеем: \[\require{cancel} {y'\left( x \right) = {\left( {x\sinh x - \cosh x} \right)^\prime } } = {{\left( {x\sinh x} \right)^\prime } - {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = {x'\sinh x + x{\left( {\sinh x} \right)^\prime } - {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = {1 \cdot \sinh x + x \cdot \cosh x - \sinh x } = {\cancel{\sinh x} + x\cosh x - \cancel{\sinh x} = x\cosh x.} \]

Пример 6

\[y = {\sinh ^2}x\] \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\sinh }^2}x} \right)^\prime } } = {2\sinh x \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = {2\sinh x\cosh x.} \] Упрощаем ответ по формуле двойного угла: \(\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x\). Следовательно, \[y'\left( x \right) = 2\sinh x\cosh x = \sinh 2x.\]

Пример 7

\[y = \sinh x\tanh x\] Используя правило дифференцирования произведения двух функций, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sinh x\tanh x} \right)^\prime } } = {{\left( {\sinh x} \right)^\prime }\tanh x + \sinh x{\left( {\tanh x} \right)^\prime } } = {\cosh x \cdot \tanh x + \sinh x \cdot \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{\cancel{\cosh x}\sinh x}}{{\cancel{\cosh x}}} + \sinh x\,{\text{sech}^2}x } = {\sinh x\left( {1 + {{\text{sech}}^2}x} \right).} \]

Пример 8

\[y = \text{arctanh}\frac{1}{x}\] \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\text{arctanh}\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = { - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{1}{{{x^2}}} } = {\frac{1}{{1 - {x^2}}}.} \] Интересно, что производные функций \(y = \text{arctanh}\large\frac{1}{x}\normalsize\) и \(y = \text{arctanh}\,x\) одинаковы.

Пример 9

\[y = \text{arctanh}\left( {\cos x} \right)\] \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\text{arctanh}\left( {\cos x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 - {{\cos }^2}x}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cdot \left( { -\sin x} \right) } = { - \frac{{\cancel{\sin x}}}{{{{\sin }^{\cancel{2}}}x}} } = { - \frac{1}{{\sin x}} } = { - \csc x.} \] Область допустимых значений \(x\) определяется неравенством \(x \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

Пример 10

\[y = \text{arccosh}\frac{x}{a}\] \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\text{arccosh}\frac{x}{a}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2} - 1} }} \cdot {\left( {\frac{x}{a}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{x^2} - {a^2}}}{{{a^2}}}} }} \cdot \frac{1}{a} } = {\frac{\cancel{a}}{{\cancel{a}\sqrt {{x^2} - {a^2}} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}.} \] Решение существует при условии \(\large\frac{x}{a}\normalsize>1.\)

Пример 11

\[y = {\text{csch}^2}\left( {3x} \right)\] Дважды применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {{{\text{csch}}^2}\left( {3x} \right)} \right]^\prime } } = {2\,\text{csch}\left( {3x} \right) \cdot {\left[ {\text{csch}\left( {3x} \right)} \right]^\prime } } = {2\,\text{csch}\left( {3x} \right) \cdot \left[ { - \text{csch}\left( {3x} \right)\coth \left( {3x} \right)} \right] \cdot {\left( {3x} \right)^\prime } } = { - 2\,\text{csch}\left( {3x} \right) \cdot \text{csch}\left( {3x} \right) \cdot \coth \left( {3x} \right) \cdot 3 } = { - 6\,{\text{csch}^2}\left( {3x} \right)\coth \left( {3x} \right)\;\;\left( {x \ne 0} \right).} \]

Пример 12

\[y = \text{arcsinh}\left( {\tan x} \right)\] Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\text{arcsinh}\left( {\tan x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {{{\tan }^2}x + 1} }} \cdot {\left( {\tan x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {{{\tan }^2}x + 1} }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.} \] Это выражение упрощается с помощью тригонометрического тождества \[{\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\] Следовательно, \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{{\tan }^2}x + 1} }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\cancel{\cos x}}}{{{{\cos }^{\cancel{2}}}x}} } = {\frac{1}{{\cos x}} } = {\sec x,} \] где \(x \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

Пример 13

\[y = {\text{sech}^2}\ln x\] Аналогично, применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\text{sech}}^2}\ln x} \right)^\prime } } = {2\,\text{sech}\ln x \cdot {\left( {\text{sech}\ln x} \right)^\prime } } = {2\,\text{sech}\ln x \cdot \left( { - \text{sech}\ln x \cdot \tanh \ln x} \right) \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime } } = { - \frac{2}{x}{\text{sech}^2}\ln x \cdot \tanh \ln x.} \]

Пример 14

Доказать равенство \(\text{arcsinh}\,x = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right).\) Продифференцируем обе части выражения и упростим. \[ {{\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)^\prime } = {\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot {\left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{1}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot 2x}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{\frac{\cancel{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{\cancel{x + \sqrt {1 + {x^2}} }},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \equiv \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.} \] Следовательно, исходное выражение верно (по крайней мере, с точностью до постоянного слагаемого).

Пример 15

\[y = \text{arccosh}\frac{1}{{{x^2}}}\] Используя формулу производной сложной функции, можно записать: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\text{arccosh}\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2} - 1} }} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{1 - {x^4}}}{{{x^4}}}} }} \cdot \left( { - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) } = { - \frac{{2x}}{{{x^3}\sqrt {1 - {x^4}} }} } = { - \frac{2}{{x\sqrt {1 - {x^4}} }}.} \] Заданная функция и ее производная существуют при всех \(x\), удовлетворяющих неравенству \({x^2}<1.\)

Пример 16

\[y = \text{arctanh}\left( {2\sqrt x } \right)\] По правилу дифференцирования сложной функции \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\text{arctanh}\left( {2\sqrt x } \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 - {{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}}} \cdot {\left( {2\sqrt x } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 - 4x}} \cdot \frac{\cancel{2}}{{\cancel{2}\sqrt x }} } = {\frac{1}{{\sqrt x \left( {1 - 4x} \right)}}.} \] Данный ответ верен при условии \[ \left\{ \begin{array}{l} \left| {2\sqrt x } \right|<1\\ x>0 \end{array} \right.\;\;\text{или}\;\;0<x<\frac{1}{4}. \]

Пример 17

\[y = \arctan \left( {\tanh x} \right)\] \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\arctan \left( {\tanh x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\tanh }^2}x}} \cdot {\left( {\tanh x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\tanh }^2}x}} \cdot \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{1}{{\left( {1 + \frac{{{{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}}} \right){{\cosh }^2}x}} } = {\frac{1}{{{{\cosh }^2}x + {{\sinh }^2}x}}.} \] Знаменатель упрощается по формуле двойного угла: \[\cosh 2x = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x.\] В результате получаем ответ в виде \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cosh }^2}x + {{\sinh }^2}x}} } = {\frac{1}{{\cosh 2x}}.} \]

Пример 18

\[y = \ln \left( {\cosh x} \right) + \frac{1}{{2{{\cosh }^2}x}}\] Используя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, имеем: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {\cosh x} \right) + \frac{1}{{2{{\cosh }^2}x}}} \right]^\prime } } = {{\left( {\ln \left( {\cosh x} \right)} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{2{{\cosh }^2}x}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\cosh x}} \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } + \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{2}{{{{\cosh }^3}x}}} \right) \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} - \frac{{\cancel{2}\sinh x}}{{\cancel{2}{{\cosh }^3}x}} } = {\tanh x - \tanh x \cdot \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\tanh x\left( {1 - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}}} \right).} \] Используя соотношение \[1 - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} = {\tanh ^2}x,\] которое следует из тождества \[{\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1,\] получаем следующий ответ: \[ {y'\left( x \right) = \tanh x\left( {1 - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}}} \right) } = {\tanh x \cdot {\tanh ^2}x } = {{\tanh ^3}x.} \]

Пример 19

\[y = \arccos \left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)\] Дважды применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\arccos \left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)} \right]^\prime } } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}}} }} \cdot \left( { - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}}} \right) \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{{\cosh }^2}x - 1}}{{{{\cosh }^2}x}}} }} \cdot \frac{{\sinh x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{\cosh x}}{{\sqrt {{{\cosh }^2}x - 1} }} \cdot \frac{{\sinh x}}{{{{\cosh }^2}x}}.} \] Учтем, что \({\cosh ^2}x - 1 = {\sinh ^2}x.\) Следовательно, \[ {y'\left( x \right) = \frac{{\cancel{\cosh x} \cdot \sinh x}}{{{{\cosh }^{\cancel{2}}}x\sqrt {{{\cosh }^2}x - 1} }} } = {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x\sqrt {{\sinh^2}x} }} } = {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x\left| {\sinh x} \right|}}.} \] Отношение \(\large\frac{{\sinh x}}{{\left| {\sinh x} \right|}}\normalsize\) равно \(\pm 1\) в зависимости от знака аргумента \(x\). Поэтому, окончательный ответ можно записать в виде \[ {y'\left( x \right) = \frac{{\sinh x}}{{\cosh x\left| {\sinh x} \right|}} } = {\frac{{\text{sign}\,x}}{{\cosh x}}\;\;\left( {x \ne 0} \right).} \]

Пример 20

\[y = \text{arcsech}\sqrt {1 - {x^2}} \] Исследуем сначала область определения данной функции: \[ {0<\sqrt {1 - {x^2}} <1,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - {x^2}} >0}\\ {\sqrt {1 - {x^2}} <1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {x^2}>0}\\ {1 - {x^2}<1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}<1}\\ {{x^2}>0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left| x \right|<1,\;\;x \ne 0.} \] Вычислим производную, используя правило дифференцирования сложной функции: \[ y'\left( x \right) = {\left( {\text{arcsech}\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^\prime } = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} \sqrt {1 - {{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} }} \cdot {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^\prime } = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} \sqrt {1 - \left( {1 - {x^2}} \right)} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} \cdot \left( { - 2x} \right) = \frac{{\cancel{2}x}}{{\cancel{2}\sqrt {1 - {x^2}} \sqrt {\cancel{1} - \cancel{1} + {x^2}} \sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{x}{{{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}\sqrt {{x^2}} }} = \frac{x}{{\left| x \right|\left( {1 - {x^2}} \right)}} = \frac{{\text{sign}\,x}}{{1 - {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right|<1,\;x \ne 0} \right). \]