Логарифмом числа \(b\) (\(b>0\)) по основанию \(a\) (\(a>0\), \(a \ne 1\)) называется показатель степени \(x\), в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\): \({\log _a}b = x\; \Leftrightarrow \;{a^x} = b,\text{ где }b>0, a>0, a \ne 1\)

Логарифм единицы \({\log_a}1 = 0\)

Логарифм числа, равного основанию \({\log_a}a = 1\)

Логарифм произведения \({\log_a}{(bc)} = {\log_a}b + {\log_a}c\)

Логарифм частного \({\log_a}{(b/c)} = {\log_a}b - {\log_a}c\)

Логарифм степени \({\log _a}\left( {{b^p}} \right) = p\,{\log _a}b\)

Логарифм корня \({\log _a}\sqrt[\large p\normalsize]{b} = \large\frac{1}{p}\normalsize{\log _a}b\)

\({\log _{{a^{\large q\normalsize}}}}b = \large\frac{1}{q}\normalsize{\log _a}b\)

\({\log _{{a^{\large q\normalsize}}}}{b^p} = \large\frac{p}{q}\normalsize{\log _a}b\)

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию \({\log _a}b = \large\frac{{{{\log }_d}b}}{{{{\log }_d}a}}\normalsize,\text{ где }d \ne 1.\)

\({\log _a}b = \large\frac{1}{{{{\log }_b}a}}\normalsize,\text{ где }b \ne 1.\)

Основное логарифмическое тождество \({a^{\large{{\log }_a}b}\normalsize} = b,\text{ где }b>0,a>0,a \ne 1.\)

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию \(10\). Он обозначается в виде \({\log _{10}}b = \log b = \lg b.\)

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\), где трансцендентное число \(e\) приблизительно равно \(e \approx 2.718281828 \ldots \) Натуральный логарифм обозначается как \({\log _e}b = \ln b.\)

Число \(e\) как предел числовой последовательности \(e = \lim\limits_{x \to \infty } \left( {1 + \large\frac{1}{x}}\normalsize \right)\)

Константа перехода от натурального лагарифма к десятичному логарифму \(M = 1/\ln 10 = \lg e \approx 0.4343 \ldots \)

Переход от натурального лагарифма к десятичному логарифму \(\lg b = M \cdot \ln b \approx 0.4343\ln b\)

Переход от десятичного логарифма к натуральному логарифму \(\ln a = 1/M \cdot \lg b \approx 2.3026\lg b\)