Правильные многогранники
Ребро правильного многогранника: \(a\) Объем многогранника: \(V\) Площадь поверхности: \(S\)
Радиус вписанной сферы: \(r\) Радиус описанной сферы: \(R\)

  1. Многогранником называется объемная выпуклая фигура с плоскими гранями и прямыми ребрами. Если грани представляют собой одинаковые правильные многоугольники, то такой многогранник является правильным. Правильные многогранники известны с давних времен. Так, на территории Шотландии найдены каменные фигуры правильных многогранников, возраст которых достигает \(4000\) лет! Позже древнегреческий философ и математик Платон (\(428/427 \text{ BC}\) - \(348/347 \text{ BC}\)) подробно описал правильные многогранники, выделив \(5\) возможных типов (их называют также платоновыми телами). К правильным многогранникам относятся следующие тела: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

  2. Основные свойства платоновых тел

    Тело
    Число вершин
    Число ребер
    Число граней
    Тетраэдр
    \(4\)
    \(6\)
    \(4\)
    Куб
    \(8\)
    \(12\)
    \(6\)
    Октаэдр
    \(6\)
    \(12\)
    \(8\)
    Икосаэдр
    \(12\)
    \(30\)
    \(20\)
    Додекаэдр
    \(20\)
    \(30\)
    \(12\)

  3. Октаэдр − правильный многогранник с \(8\) гранями в форме треугольников.

    октаэдр

  4. Радиус сферы, вписанной в октаэдр \(r = \large\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\normalsize\)

  5. Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра \(R = \large\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\normalsize\)

  6. Площадь поверхности октаэдра \(S = 2{a^2}\sqrt 3 \)

  7. Объем октаэдра \(V = \large\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\normalsize\)

  8. Икосаэдр − правильный многогранник с \(20\) гранями, имеющих форму треугольника.

    икосаэдр

  9. Радиус сферы, вписанной в икосаэдр \(r = \large\frac{{a\sqrt 3 \left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{12}}\normalsize\)

  10. Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра \(R = \large\frac{a}{4}\normalsize\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} \)

  11. Площадь поверхности икосаэдра \(S = 5{a^2}\sqrt 3 \)

  12. Объем икосаэдра \(V = \large\frac{{5{a^3}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{12}}\normalsize\)

  13. Додекаэдр − правильный многогранник с \(12\) гранями, каждая из которых имеет форму правильного пятиугольника.

    додекаэдр

  14. Радиус сферы, вписанной в додекаэдр \(r = \large\frac{a}{2}\normalsize\sqrt {10\left( {25 + 11\sqrt 5 } \right)} \)

  15. Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра \(R = \large\frac{{a\sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{4}\normalsize\)

  16. Площадь поверхности додекаэдра \(S = 3{a^2}\sqrt {5\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)} \)

  17. Объем додекаэдра \(V = \large\frac{{{a^3}\left( {15 + 7\sqrt 5 } \right)}}{4}\normalsize\)