Правильный многоугольник
Сторона правильного многоугольника: \(a\) Число сторон многоугольника: \(n\) Внутренний угол: \(\alpha\) Апофема правильного многоугольника: \(m\) Площадь: \(S\)
Радиус вписанной окружности: \(r\) Радиус описанной окружности: \(R\) Периметр: \(P\) Полупериметр: \(p\)

  1. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными углами.

    правильный n-угольник

  2. Внутренние углы в правильном многоугольнике равны между собой и определяются выражением \(\alpha = \large\frac{{n - 2}}{n}\normalsize \cdot 180^\circ\), где \(n\) − число сторон.

  3. Радиус описанной окружности \(R = \large\frac{a}{{2\sin \frac{\pi }{n}}}\normalsize\)

  4. Радиус вписанной окружности правильного многоугольника совпадает с апофемой (перпендикуляром, опущенным из центра на любую сторону) и выражается формулой \(r = m = \large\frac{a}{{2\tan \frac{\pi }{n}}}\normalsize = \sqrt {{R^2} - \large\frac{{{a^2}}}{4}}\normalsize \), где \(r\) − радиус вписанной окружности, \(m\) − апофема, \(R\) − радиус описанной окружности, \(a\) − сторона многоугольника.

  5. Периметр правильного многоугольника \(P = na\)

  6. Площадь правильного многоугольника \(S = \large\frac{{n{R^2}}}{2}\normalsize\sin \large\frac{{2\pi }}{n}\normalsize\) \(S = pr = p\sqrt {{R^2} - \large\frac{{{a^2}}}{4}}\normalsize \), где \(p = \large\frac{P}{2}\normalsize\).