Основные понятия теории устойчивости
Предположим, что некоторое явление описывается системой \(n\) дифференциальных уравнений
\[\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {f_i}\left( {t,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),\;\;i = 1,2, \ldots ,n\]
с начальными условиями
\[{x_i}\left( {{t_0}} \right) = {x_{i0}},\;\;i = 1,2, \ldots ,n.\]
Будем считать, что функции \({f_i}\left( {t,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)\)
определены и непрерывны вместе со своими частными производными на множестве \(\left\{ {t \in \left[ {{t_0}, + \infty } \right),{x_i} \in {\Re^n}} \right\}.\)
Далее без ограничения общности полагаем, что начальный момент равен нулю: \({t_0} = 0.\)
Систему дифференциальных уравнений удобнее записать в векторной форме:
\[
{\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right),\;\;\text{где}}\;\;
{\mathbf{X} = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}\;\;
{\mathbf{f} = \left( {{f_1},{f_2}, \ldots ,{f_n}} \right).}
\]
В реальных системах начальные условия задаются с определенной точностью. Поэтому возникает естественный вопрос: как малые изменения начальных условий
влияют на поведение решения при больших временах - в предельном случае при \(t \to \infty?\)
Если траектория движения системы мало изменяется при малых возмущениях начального положения, то говорят, что движение системы является
устойчивым.
Строгое определение устойчивости в терминах \(\varepsilon - \delta\)-нотации было предложено в \(1892\) году
русским математиком А.М.Ляпуновым (\(1857-1918\)). Рассмотрим более подробно понятие устойчивости, введенное Ляпуновым.
Устойчивость по Ляпунову
Решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) системы дифференциальных уравнений
\[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\]
с начальными условиями
\[\mathbf{X}\left( 0 \right) = {\mathbf{X}_0}\]
устойчиво (в смысле Ляпунова), если для любого
\(\varepsilon >0\) найдется число \(\delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0,\) такое, что если
\[
{\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\|<\delta ,}\;\;
{\text{то}\;\;\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\|<\varepsilon }
\]
для всех значений \(t \ge 0.\) В противном случае решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) называется неустойчивым.
В качестве нормы для измерения расстояния между точками можно использовать, например, эвклидову метрику
\(\left\| {{\mathbf{x}_e}} \right\|\) или метрику Манхеттена \(\left\| {{\mathbf{x}_m}} \right\|:\)
\[\left\| {{\mathbf{x}_e}} \right\| = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^2}} } ,\;\;\left\| {{\mathbf{x}_m}} \right\| = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right|} .\]
В случае \(n = 2\) устойчивость по Ляпунову означает, что любая траектория \({\mathbf{X}\left( t \right)},\) которая начинается в
\(\delta \left( \varepsilon \right)\)-окрестности точки \({\boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)},\) остается внутри трубки с максимальным радиусом
\(\varepsilon\) при всех \(t \ge 0\) (рисунок\(1\)).
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Асимптотическая и экспоненциальная устойчивость
Если решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) системы дифференциальных уравнений не только устойчиво в смысле Ляпунова, но и удовлетворяет соотношению
\[\lim\limits_{t \to \infty } \left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| = 0\]
при условии
\[\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\|<\delta,\]
то говорят, что решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) является асимптотически устойчивым. В этом случае все решения, достаточно
близкие к \(\boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)\) в начальный момент времени, постепенно сходятся к \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) при увеличении \(t.\) Схематически это показано
на рисунке \(2.\)
Если решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) асимптотически устойчиво и, кроме того, из условия
\[\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\|<\delta\]
следует, что
\[\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| \le \alpha \left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\|{e^{ - \beta t}}\]
для всех \(t \ge 0,\) то говорят, что решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) является экспоненциально устойчивым.
В таком случае все решения, близкие к \(\boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)\) в начальный момент, сходятся к \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) со скоростью (большей или равной), которая
определяется экспоненциальной функцией с параметрами \(\alpha,\) \(\beta\) (рисунок\(3\)).
Общая теория устойчивости, помимо устойчивости в смысле Ляпунова, содержит много других концепций и определений устойчивого движения. В частности, важное значение имеют
понятия орбитальной и структурной устойчивости.
Орбитальная устойчивость
Орбитальная устойчивость описывает поведение замкнутой траектории (орбиты) под действием малых внешних возмущений.
Рассмотрим автономную систему
\[
{\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {f_i}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}\;\;
{{x_i}\left( {{t_0}} \right) = {x_{i0}},}\;\;
{i = 1,2, \ldots ,n,}
\]
т.е. систему уравнений, правая часть которых не содержит в явном виде независимой переменной \(t.\) В векторном виде автономная система
записывается как
\[
{\mathbf{X'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( \mathbf{X} \right),\;\;\text{где}}\;\;
{\mathbf{X} = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}\;\;
{\mathbf{f} = \left( {{f_1},{f_2}, \ldots ,{f_n}} \right).}
\]
Пусть \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) − периодическое решение заданной автономной системы, т.е. имеет вид замкнутой траектории (орбиты). Если для любого
\(\varepsilon >0\) найдется постоянное число \(\delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0,\) такое, что
траектория всякого решения \(\mathbf{X}\left( t \right),\) начинающегося в \(\delta\)-окрестности траектории \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right),\)
остается в \(\varepsilon\)-окрестности траектории \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) при всех \(t \ge 0,\) то такая траектория \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\)
называется орбитально устойчивой (рисунок\(4\)).
По аналогии с асимптотической устойчивостью в смысле Ляпунова вводится также понятие асимптотической орбитальной устойчивости.
Такой тип движения реализуется, например, в системах, имеющих предельный цикл.
Структурная устойчивость
Предположим, что у нас имеются две автономных системы с близкими свойствами - в том смысле, что их фазовые портреты содержат одинаковые особые точки и геометрически похожие
траектории. Такие системы можно назвать структурно устойчивыми.
В строгом определении требуется, чтобы данные системы были орбитально топологически эквивалентными, т.е. должен существовать
гомеоморфизм (это страшное слово означает взаимно-однозначное и непрерывное отображение), который преобразует семейство траекторий
первой системы в семейство траекторий второй системы с сохранением направления движения. В этих терминах определение структурной устойчивости формулируется следующим образом.
Рассмотрим автономную систему, которая в невозмущенном и возмущенном состоянии описывается, соответственно, двумя уравнениями:
\[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( \mathbf{X} \right),\]
\[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( \mathbf{X} \right) + \varepsilon\mathbf{g}\left( \mathbf{X} \right).\]
Если для любой ограниченной и непрерывно-дифференцируемой векторной функции \(\mathbf{g}\left( \mathbf{X} \right)\) существует число
\(\varepsilon>0,\) такое, что траектории невозмущенной и возмущенной системы являются орбитально топологически эквивалентными, то такая система
называется структурно устойчивой.
Редукция к задаче об устойчивости нулевого решения
Пусть задана произвольная неавтономная система
\[\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\]
с начальным условием \(\mathbf{X}\left( 0 \right) = {\mathbf{X}_0}\) (задача Коши), где вектор-функция \(\mathbf{f}\) определена на множестве
\(\left\{ {t \in \left[ {{t_0}, + \infty } \right),{x_i} \in {\Re^n}} \right\}.\)
Предположим, что данная система имеет решение \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right),\) устойчивость которого требуется исследовать. Анализ устойчивости упрощается, если
рассмотреть возмущения
\[\mathbf{Z}\left( t \right) = \mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right),\]
для которых получается дифференциальное уравнение
\[\mathbf{Z'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{Z}} \right).\]
Очевидно, что последнему уравнению удовлетворяет нулевое решение
\[\mathbf{Z}\left( {t,\mathbf{0}} \right) \equiv \mathbf{0},\]
что соответствует тождеству
\[\mathbf{X}\left( t \right) \equiv \boldsymbol{\varphi} \left( t \right).\]
Таким образом, исследование устойчивости решения \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right)\) можно заменить на исследование устойчивости функции \(\mathbf{Z}\left( t \right)\)
вблизи точки \(\mathbf{Z} = \mathbf{0}.\)
Устойчивость линейных систем
Линейная система
\[\mathbf{X'} = A\left( t \right)\mathbf{X} + \mathbf{f}\left( t \right)\]
называется устойчивой, если все ее решения устойчивы в смысле Ляпунова.
Оказывается, что неоднородная линейная система будет устойчивой при любом свободном члене \(\mathbf{f}\left( t \right),\)
если устойчиво нулевое решение соответствующей однородной системы
\[\mathbf{X'} = A\left( t \right)\mathbf{X}.\]
Поэтому при изучении устойчивости в классе линейных систем достаточно ограничиться анализом однородных дифференциальных систем.
В наиболее простом случае, когда матрица коэффициентов \(A\) является постоянной, условия устойчивости формулируются в терминах
собственных значений матрицы \(A.\)
Рассмотрим однородную линейную систему
\[\mathbf{X'} = A\mathbf{X},\]
где \(A\) − постоянная матрица размером \(n \times n.\) Такая система (она также является автономной)
имеет нулевое решение \(\mathbf{X}\left( t \right) = \mathbf{0}.\) Устойчивость данного решения определяется следующими теоремами.
Пусть \({\lambda _i}\) − собственные числа матрицы \(A.\)
Теорема \(1\). Линейная однородная система с постоянными коэффициентами устойчива в смысле Ляпунова
тогда и только тогда, когда все собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы \(A\) удовлетворяют соотношению
\[\text{Re}\left[ {{\lambda _i}} \right] \le 0\;\;\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right),\]
причем у собственных значений, действительная часть которых равна нулю, алгебраическая и геометрическая кратность должны быть одинаковы (т.е. соответствующие
жордановы клетки должны быть размера \(1 \times 1.\))
Теорема \(2\). Линейная однородная система с постоянными коэффициентами является асимптотически устойчивой
тогда и только тогда, когда все собственные значения \({\lambda _i}\) имеют отрицательные действительные части:
\[\text{Re}\left[ {{\lambda _i}} \right] \lt 0\;\;\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right).\]
Теорема \(3\). Линейная однородная система с постоянными коэффициентами неустойчива,
если выполнено хотя бы одно из условий:
матрица \(A\) имеет собственное значение \({\lambda _i}\) с положительной действительной частью;
матрица \(A\) имеет собственное значение \({\lambda _i}\) с нулевой действительной частью, причем геометрическая кратность собственного числа \({\lambda _i}\) меньше его алгебраической кратности.
Устойчивость по первому приближению
Рассмотрим нелинейную автономную систему
\(\mathbf{X'} = f\left( \mathbf{X} \right).\)
Предположим, что система имеет нулевое решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0},\) которое будем исследовать на устойчивость.
Считая функции \({f_i}\left( \mathbf{X} \right)\) дважды непрерывно дифференцируемыми в некоторой окрестности начала
координат, можно разложить правую часть в ряд Маклорена:
\[
{\frac{{d{x_1}}}{{dt}} = \frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_1}}}\left( 0 \right){x_1} + \frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_2}}}\left( 0 \right){x_2} + \cdots }
+ {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_n}}}\left( 0 \right){x_n} }
+ {{R_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}
\]
\[
{\frac{{d{x_2}}}{{dt}} = \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_1}}}\left( 0 \right){x_1} + \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_2}}}\left( 0 \right){x_2} + \cdots }
+ {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_n}}}\left( 0 \right){x_n} }
+ {{R_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),}
\]
\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\]
\[
{\frac{{d{x_n}}}{{dt}} = \frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_1}}}\left( 0 \right){x_1} + \frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_2}}}\left( 0 \right){x_2} + \cdots }
+ {\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_n}}}\left( 0 \right){x_n} }
+ {{R_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right).}
\]
где слагаемые \({R_i}\) описывают члены второго (и более высокого) порядка малости относительно координатных функций
\({{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}}.\)
Возвращаясь к векторно-матричной записи, получаем:
\[\mathbf{X'} = J\mathbf{X} + \mathbf{R}\left( \mathbf{X} \right),\]
где якобиан \(J\) определяется формулой
\[J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_n}}}}\\
{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_n}}}}\\
\cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_n}}}}
\end{array}} \right).\]
Значения частных производных в этой матрице вычисляются в точке разложения в ряд, т.е. в данном случае в нуле.
Во многих случаях вместо исходной нелинейной автономной системы можно рассматривать и исследовать на устойчивость соответствующую
линеаризованную систему или систему уравнений первого приближения. Устойчивость такой
системы определяется следующими признаками:
Если все собственные значения якобиана \(J\) имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) исходной системы и линеаризованной является асимптотически устойчивым.
Если хотя бы одно собственное значение якобиана \(J\) имеет положительную действительную часть, то нулевое решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) исходной системы и линеаризованной системы является неустойчивым.
Функции Ляпунова
Одним из мощных инструментов анализа устойчивости систем дифференциальных уравнений, включая нелинейные системы, являются
функции Ляпунова. Данная техника подробно рассматривается на отдельной web-странице
"Метод функций Ляпунова".
Пример 1
Используя определение устойчивости по Ляпунову, показать, что нулевое решение системы устойчиво.
\[\frac{{dx}}{{dt}} = - x - y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - x + y.\]
Решение.
Сначала найдем общее решение системы. Собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы коэффициентов \(A\) равны:
\[
{A = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - 1}&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right),}\;\;
{\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{1 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( { - 1 - \lambda } \right)^2} + 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2} + 2\lambda + 2 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = - 1 \pm i.}
\]
Определим собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) для собственного значения \({\lambda _1} = - 1 + i:\)
\[
{\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1 - \left( { - 1 + i} \right)}&{ - 1}\\
1&{ - 1 - \left( { - 1 + i} \right)}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - i}&{ - 1}\\
1&{ - i}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - i{V_{11}} - {V_{21}} = 0}\\
{{V_{11}} - i{V_{21}} = 0}
\end{array}} \right..}
\]
Полученные уравнения являются линейно зависимыми. Поэтому, полагая \({V_{21}} = t,\) из второго уравнения находим:
\[{V_{11}} = i{V_{21}} = it.\]
Следовательно, собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) равен:
\[
{{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{it}\\
t
\end{array}} \right) }
= {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
i\\
1
\end{array}} \right) }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
i\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Тогда решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right),\) соответствующее комплексному числу \({\lambda _1} = - 1 + i,\)
имеет вид:
\[
{{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right) = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} }
= {{e^{\left( { - 1 + i} \right)t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
i\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Разложим экспоненциальную функцию по формуле Эйлера:
\[
{{e^{\left( { - 1 + i} \right)t}} = {e^{ - t}}{e^{it}} }
= {{e^{ - t}}\left( {\cos t + i\sin t} \right).}
\]
Получаем
\[
{{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right) }
= {{e^{ - t}}\left( {\cos t + i\sin t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
i\\
1
\end{array}} \right) }
= {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {\cos t + i\sin t} \right)i}\\
{\cos t + i\sin t}
\end{array}} \right) }
= {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \sin t + i\cos t}\\
{\cos t + i\sin t}
\end{array}} \right) }
= {{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \sin t}\\
{\cos t}
\end{array}} \right) + i{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t}\\
{\sin t}
\end{array}} \right).}
\]
Отсюда видно, что действительная и мнимая части решения равны
\[
{\text{Re}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} \right] = {e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \sin t}\\
{\cos t}
\end{array}} \right),}\;\;
{\text{Im}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right)} \right] = {e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t}\\
{\sin t}
\end{array}} \right).}
\]
Следовательно, общее решение системы выражается формулой
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right) }
= {{C_1}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \sin t}\\
{\cos t}
\end{array}} \right) }
+ {{C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t}\\
{\sin t}
\end{array}} \right)}
\]
или
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = - {C_1}{e^{ - t}}\sin t + {C_2}{e^{ - t}}\cos t\\
y\left( t \right) = {C_1}{e^{ - t}}\cos t + {C_2}{e^{ - t}}\sin t
\end{array} \right..\]
Полагая, что в начальный момент \(t = 0\) система находится в точке \(\left( {{x_0},{y_0}} \right),\) получаем:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( 0 \right) = {C_2} = {x_0}\\
y\left( 0 \right) = {C_1} = {y_0}
\end{array} \right..\]
С учетом этого решение можно записать в следующем виде:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = - {y_0}{e^{ - t}}\sin t + {x_0}{e^{ - t}}\cos t\\
y\left( t \right) = {y_0}{e^{ - t}}\cos t + {x_0}{e^{ - t}}\sin t
\end{array} \right..\]
Траектория этого решения выходит из точки \(\left( {{x_0},{y_0}} \right).\)
Теперь исследуем устойчивость нулевого решения, которое обозначим как \(\boldsymbol{\varphi} \left( t \right) \equiv 0.\)
Согласно определению устойчивости по Ляпунову введем некоторое число \(\varepsilon>0\) и найдем
соответствующее ему число \(\delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0,\) такое, что при
\[\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\|<\delta \]
будет выполняться соотношение
\[\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\|<\varepsilon \]
для всех \(t \ge 0.\)
Пусть возмущенное решение \(\mathbf{X}\left( t \right)\) в начальный момент имеет координаты \(\left( {{x_0},{y_0}} \right).\)
Считая, что отклонение от нуля по каждой из координат не превосходит \(\large\frac{\delta }{2}\normalsize\) и применяя неравенство треугольника, можно записать:
\[
{\left\| {\mathbf{X}\left( 0 \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( 0 \right)} \right\| }
= {\sqrt {{{\left| {{x_0}} \right|}^2} + {{\left| {{y_0}} \right|}^2}} \le \left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right| }
= {\frac{\delta }{2} + \frac{\delta }{2} = \delta .}
\]
Здесь в качестве нормы мы использовали обычную эвклидову метрику.
Установим связь между числами \(\delta\) и \(\varepsilon.\) Подставляя известные выражения для решения
\(\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right),\) получаем:
\[
{\left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| }
= {{e^{ - t}}\sqrt {{{\left| { - {y_0}\sin t + {x_0}\cos t} \right|}^2} + {{\left| {{y_0}\cos t + {x_0}\sin t} \right|}^2}} }
\le {{e^{ - t}}\sqrt {{{\left( {\left| {{y_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right)}^2} + {{\left( {\left| {{y_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right)}^2}} }
= {{e^{ - t}}\sqrt {2{{\left( {\left| {{y_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right)}^2}} }
= {{e^{ - t}}\sqrt {2{{\left( {\frac{\delta }{2} + \frac{\delta }{2}} \right)}^2}} }
= {{e^{ - t}}\sqrt {2{\delta ^2}} }
= {\sqrt 2 {e^{ - t}}\delta \le \sqrt 2 \delta = \varepsilon .}
\]
Итак, если мы положим \(\delta = \large\frac{\varepsilon }{{\sqrt 2 }}\normalsize,\) то все возмущенные траектории, выходящие из точки
\(\left( {{x_0},{y_0}} \right),\) при условии \(\left| {{x_0}} \right|<\large\frac{\delta }{2}\normalsize,\;\left| {{y_0}} \right|<\large\frac{\delta }{2}\normalsize,\)
будут оставаться в трубке с радиусом \(\varepsilon.\) Таким образом, система является устойчивой в смысле Ляпунова.
Заметим, что на самом деле выполняется более сильное условие:
\[\lim\limits_{t \to \infty } \left\| {\mathbf{X}\left( t \right) - \boldsymbol{\varphi} \left( t \right)} \right\| = \lim\limits_{t \to \infty } \left( {\sqrt 2 {e^{ - t}}\delta } \right) = 0.\]
т.е. система является асимптотически устойчивой.
Пример 2
Исследовать на устойчивость и асимптотическую устойчивость нулевое решение системы, общее решение которой имеет вид
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = 3{C_1} + {C_2}{e^{ - t}}\\
y\left( t \right) = 2{C_1}{t^2}{e^{ - t}} - {C_2}\cos t
\end{array} \right..\]
Решение.
Пусть начальные условия заданы в виде \(x\left( 0 \right) = {x_0},y\left( 0 \right) = {y_0}.\)
Выразим общее решение системы через координаты \({x_0},{y_0}:\)
\[
{\left\{ \begin{array}{l}
x\left( 0 \right) = 3{C_1} = {x_0}\\
y\left( 0 \right) = - {C_2} = {y_0}
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{C_1} = \frac{{{x_0}}}{3}}\\
{{C_2} = - {y_0}}
\end{array}} \right..}
\]
Тогда
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = {x_0} - {y_0}{e^{ - t}}\\
y\left( t \right) = \frac{2}{3}{x_0}{t^2}{e^{ - t}} + {y_0}\cos t
\end{array} \right..\]
Предположим, что решения \(x\left( t \right),y\left( t \right)\) при всех значениях \(t \ge 0\) удовлетворяют соотношениям
\[\left| {x\left( t \right)} \right|<\varepsilon ,\;\;\left| {y\left( t \right)} \right|<\varepsilon ,\]
где \(\varepsilon\) − произвольное положительное число. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову попробуем подобрать число
\(\delta \left( \varepsilon \right),\) зависящее от \(\varepsilon,\) такое, чтобы выполнялись неравенства
\[
{\left| {x\left( 0 \right)} \right| = \left| {{x_0}} \right|<\delta \left( \varepsilon \right),}\;\;
{\left| {y\left( 0 \right)} \right| = \left| {{y_0}} \right|<\delta \left( \varepsilon \right).}
\]
В результате получаем
\[
{\left| {x\left( t \right)} \right| = \left| {{x_0} - {y_0}{e^{ - t}}} \right| }
\le {\left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right|<\varepsilon ,}
\]
\[
{\left| {y\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{2}{3}{x_0}{t^2}{e^{ - t}} + {y_0}\cos t} \right| }
\le {\frac{2}{3}\left| {{x_0}} \right|{t^2}{e^{ - t}} + \left| {{y_0}} \right|<\varepsilon .}
\]
Учтем, что функция \(g\left( t \right) = {t^2}{e^{ - t}}\) является ограниченной. Действительно,
\[
{g'\left( t \right) = {\left( {{t^2}{e^{ - t}}} \right)^\prime } }
= {2t{e^{ - t}} - {t^2}{e^{ - t}} }
= {\left( {2t - {t^2}} \right){e^{ - t}} }
= {t\left( {2 - t} \right){e^{ - t}},}\;\;
{\Rightarrow g'\left( t \right) = 0\;\;\text{при}\;\;t = 0,2.}
\]
При \(t = 2\) функция \(g\left( t \right) = {t^2}{e^{ - t}}\) имеет максимум, равный
\[
{{g_{\max }} = g\left( {t = 2} \right) }
= {{2^2}{e^{ - 2}} }
\approx {0.54<1.}
\]
Тогда неравенство для \(\left| {y\left( t \right)} \right|\) записывается в виде
\[\left| {y\left( t \right)} \right| \le \frac{2}{3}\left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right|<\varepsilon .\]
Если мы теперь выберем \(\delta = \large\frac{\varepsilon }{2}\normalsize,\) так что
\[
{\left| {{x_0}} \right|<\delta = \frac{\varepsilon }{2}\;\;\text{и}}\;\;
{\left| {{y_0}} \right|<\delta = \frac{\varepsilon }{2},}
\]
то будут заведомо выполняться неравенства
\[
{\left| {x\left( t \right)} \right| = \left| {{x_0}} \right| + \;\left| {{y_0}} \right|<\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon ,}\;\;
{\left| {y\left( t \right)} \right| \le \frac{2}{3}\left| {{x_0}} \right| + \left| {{y_0}} \right|<\frac{2}{3} \cdot \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} }
= {\frac{{5\varepsilon }}{6}<\varepsilon .}
\]
Следовательно, нулевое решение заданной системы уравнений устойчиво.
Из формул для \({x\left( t \right)},{y\left( t \right)} \) видно, что система не является асимптотически устойчивой,
поскольку при \(t \to \infty\) значения \({x\left( t \right)},{y\left( t \right)} \) не стремятся к нулю.
Пример 3
Определить, при каких значениях параметров \(a, b\) нулевое решение системы
\[\frac{{dx}}{{dt}} = ax + y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + by\]
является асимптотически устойчивым?
Решение.
Вычислим собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы коэффициентов \(A:\)
\[
{A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1\\
1&b
\end{array}} \right),}\;\;
{\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a - \lambda }&1\\
1&{b - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left( {a - \lambda } \right)\left( {b - \lambda } \right) - 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda ^2} - \left( {a + b} \right)\lambda + ab - 1 = 0.}
\]
Решим полученное квадратное уравнение с параметрами \(a, b.\)
\[
{D = {\left( {a + b} \right)^2} - 4\left( {ab - 1} \right) }
= {{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab + 4 }
= {{a^2} - 2ab + {b^2} + 4 }
= {{\left( {a - b} \right)^2} + 4>0.}
\]
Как видно, дискриминант всегда положительный. Поэтому собственные значения являются действительными числами и определяются формулой
\[{\lambda _{1,2}} = \frac{{a + b \pm \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} }}{2}.\]
Найдем множество значений чисел \(a, b\) при которых собственные значения \({\lambda _1},\) \({\lambda _2}\)
отрицательны (что соответствует условию асимптотической устойчивости системы):
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\lambda _1}<0\\
{\lambda _2}<0
\end{array} \right.,\;\; \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b + \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} <0}\\
{a + b - \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} <0}
\end{array}} \right..\]
Складывая оба неравенства, получаем \(a + b<0.\) В таком случае второе неравенство
\[\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} >a + b\]
выполняется при всех \(a, b,\) удовлетворяющих условию \(a + b<0.\)
Решим первое неравенство:
\[
{\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4} < - \left( {a + b} \right)\\
a + b<0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} + 4<{\left( {a + b} \right)^2}\\
a + b<0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2}>4\\
a + b<0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a + b - a + b} \right)\left( {a + b + a - b} \right)>4\\
a + b<0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4ab>4\\
a + b<0
\end{array} \right.,}\;\;
{\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ab>1\\
a + b<0
\end{array} \right..}
\]
Решение обоих элементарных неравенств показаны графически на рисунке \(5.\) Общим решением является область (заштрихованная зеленым цветом),
расположенная ниже гиперболы \(ab = 1\) в левой полуплоскости. При всех значениях \(a, b\) из этой области решение системы будет
асимптотически устойчивым.
Рис.5