Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция \(f\left( x \right)\) имеет непрерывные производные вплоть до \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: \[ {f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^n}}}{{n!}}} } = {f\left( a \right) + f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \frac{{f''\left( a \right){{\left( {x - a} \right)}^2}}}{{2!}} + \ldots } + {\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right){{\left( {x - a} \right)}^n}}}{{n!}} + {R_n},} \] где \({R_n}\) − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением \[ {{R_n} = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \xi \right){{\left( {x - a} \right)}^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}},}\;\; {a<\xi <x.} \] Если приведенное разложение сходится в некотором интервале \(x,\) т.е. \(\lim\limits_{n \to \infty } {R_n} = 0,\) то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции \(f\left( x \right)\) в точке \(a.\) Если \(a = 0,\) то такое разложение называется рядом Маклорена: \[ {f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)\frac{{{x^n}}}{{n!}}} } = {f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x + \frac{{f''\left( 0 \right){x^2}}}{{2!}} + \ldots } +{ \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right){x^n}}}{{n!}} + {R_n}.} \]

• \({e^x} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{x^n}}}{{n!}}\normalsize} = 1 + x + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \ldots \)

• \(\cos x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize} = 1 - \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}}{{4!}}\normalsize - \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots \)

• \(\sin x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize} = x - \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}}\normalsize - \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots \)

• \(\cosh x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize} = 1 + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}}{{4!}}\normalsize + \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots \)

• \(\sinh x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize} = x + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}}\normalsize + \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots \)

Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции \({\cos ^2}x.\) Воспользуемся тригонометрическим равенством \({\cos ^2}x = \large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize.\) Поскольку ряд Маклорена для \(\cos x\) имеет вид \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize},\) то можно записать \[ {\cos 2x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {2x} \right)}^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{2^{2n}}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} .} \] Отсюда следует: \[ {1 + \cos 2x } ={ 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{2^{2n}}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} } ={ 2 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{2^{2n}}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} ,} \] \[ {{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} } = {1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{2^{2n - 1}}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} .} \]

Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 5\) в точке \(x = 1.\) Вычислим производные: \[ {f'\left( x \right) = 6x - 6,}\;\; {f''\left( x \right) = 6,}\;\; {f'''\left( x \right) = 0.} \] Видно, что \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0\) для всех \(n \ge 3.\) Для \(x = 1\) получаем значения: \[ {f\left( 1 \right) = 2,}\;\; {f'\left( 1 \right) = 0,}\;\; {f''\left( 1 \right) = 6.} \] Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид \[ {f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( 1 \right)\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{n!}}} } = {2 + \frac{{6{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{2!}} } = {2 + 3{\left( {x - 1} \right)^2}.} \]

Пример 3

Найти разложение в ряд Маклорена функции \({e^{kx}},\) \(k\) − действительное число. Вычислим производные: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{e^{kx}}} \right)^\prime } = k{e^{kx}},}\;\; {f''\left( x \right) = {\left( {k{e^{kx}}} \right)^\prime } = {k^2}{e^{kx}}, \ldots }\;\; {{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {k^n}{e^{kx}}.} \] Тогда в точке \(x = 0\) получаем \[ {f\left( 0 \right) = {e^0} = 1,}\;\; {f'\left( 0 \right) = k{e^0} = k,}\;\; {f''\left( 0 \right) = {k^2}{e^0} = {k^2}, \ldots }\;\; {{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right) = {k^n}{e^0} = {k^n}.} \] Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой \[ {{e^{kx}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)\frac{{{x^n}}}{{n!}}} } = {1 + kx + \frac{{{k^2}{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{k^3}{x^3}}}{{3!}} + \ldots } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{k^n}{x^n}}}{{n!}}} .} \]

Пример 4

Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции \({x^3}\) в точке \(x = 3.\) Обозначим \(f\left( x \right) = {x^3}.\) Тогда \[ {f'\left( x \right) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2},}\;\; {f''\left( x \right) = {\left( {3{x^2}} \right)^\prime } = 6x,}\;\; {f'''\left( x \right) = {\left( {6x} \right)^\prime } = 6,}\;\; {{f^{IV}}\left( x \right) = 0,} \] и далее \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0\) для всех \(x \ge 4.\) В точке \(x = 2,\) соответственно, получаем \[ {f\left( 2 \right) = 8,}\;\; {f'\left( 2 \right) = 12,}\;\; {f''\left( 2 \right) = 12,}\;\; {f'''\left( 2 \right) = 6.} \] Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид \[ {{x^3} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^n}}}{{n!}}} } = {8 + 12\left( {x - 2} \right) + \frac{{12{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{6{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{3!}} } = {8 + 12\left( {x - 2} \right) + 6{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^3}.} \]

Пример 5

Найти разложение в ряд Маклорена функции \({\left( {1 + x} \right)^\mu }.\) Пусть \(f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^\mu },\) где \(\mu\) − действительное число, и \(x \ne -1.\) Производные будут равны \[f'\left( x \right) = \mu {\left( {1 + x} \right)^{\mu - 1}},\] \[f''\left( x \right) = \mu \left( {\mu - 1} \right){\left( {1 + x} \right)^{\mu - 2}},\] \[f'''\left( x \right) = \mu \left( {\mu - 1} \right)\left( {\mu - 2} \right){\left( {1 + x} \right)^{\mu - 3}},\] \[ {{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) } = {\mu \left( {\mu - 1} \right)\left( {\mu - 2} \right) \cdots \left( {\mu - n + 1} \right){\left( {1 + x} \right)^{\mu - n}}.} \] При \(x = 0,\) соответственно, получаем \[ {f\left( 0 \right) = 1,}\;\; {f'\left( 0 \right) = \mu ,}\;\; {f''\left( 0 \right) = \mu \left( {\mu - 1} \right), \ldots }\;\; {{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right) = \mu \left( {\mu - 1} \right) \cdots \left( {\mu - n + 1} \right).} \] Следовательно, разложение в ряд записывается в виде \[ {{\left( {1 + x} \right)^\mu } } = {1 + \mu x + \frac{{\mu \left( {\mu - 1} \right)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{\mu \left( {\mu - 1} \right)\left( {\mu - 2} \right)}}{{3!}}{x^2} + \ldots } + {\frac{{\mu \left( {\mu - 1} \right) \cdots \left( {\mu - n + 1} \right)}}{{n!}}{x^n} + \ldots } \] Полученное выражение называется биномиальным рядом.

Пример 6

Найти разложение в ряд Маклорена функции \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + x}. \) Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя \(\mu = \large\frac{1}{2}\normalsize,\) получаем \[ {\sqrt {1 + x} = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{2}}} } = {1 + \frac{x}{2} + \frac{{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{2} - 2} \right)}}{{3!}}{x^3} + \ldots } = {1 + \frac{x}{2} - \frac{{1 \cdot {x^2}}}{{{2^2}2!}} + \frac{{1 \cdot 3 \cdot {x^3}}}{{{2^3}3!}} - \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot {x^3}}}{{{2^4}4!}} + \ldots } + {{\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left( {2n - 3} \right){x^n}}}{{{2^n}n!}}.} \] Ограничиваясь первыми \(3\)-мя членами, разложение можно записать в виде \[\sqrt {1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{{{x^2}}}{8}.\]