Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов. Даны два ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) − такие, что \(0<{a_n} \le {b_n}\) для всех \(n.\) Тогда справедливы следующие признаки:

• Если \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) сходится, то \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) также сходится;

• Если \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) расходится, то \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) также расходится.

Пусть даны два ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}},\) у которых члены \({a_n}\) и \({b_n}\) положительны для всех \(n.\) Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если \(0<\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize<\infty ,\) то оба ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\) либо сходятся, либо расходятся;

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = 0,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится, если сходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\);

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = \infty,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится, если расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\).

Так называемый обобщенный гармонический ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}\normalsize} \) сходится при \(p>1\) и расходится при \(0<p \le 1.\)

Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{{n^2}}}\normalsize} .\) Легко видеть, что \({e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} \le e\) для \(n>1.\) Применяя далее признак сравнения, находим \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}}}{{{n^2}}}} } {\le \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{e}{{{n^2}}}} } = {e\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} .} \] Поскольку ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}\) сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени \(p = 2,\) то исходный ряд также сходится.

Пример 2

Определить, сходится или расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^4}}}\normalsize} .\) Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что \(\large\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^4}}}\normalsize<\large\frac{{{n^2}}}{{{n^4}}}\normalsize = \large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize\) для всех натуральных \(n.\) Ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} \) является обобщенным гармоническим рядом с \(p = 2>1\) и, следовательно, сходится. Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Пример 3

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - 3}}\normalsize}.\) Можно заметить, что \({n^3} - 3<{n^3}\) для всех натуральных \(n.\) Тогда \[ {\frac{1}{{{n^3} - 3}}>\frac{1}{{{n^3}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{{n^2}}}{{{n^3} - 3}}>\frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} = \frac{1}{n}.} \] Поскольку \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} \) − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

Пример 4

Определить, сходится или расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{3n - 1}}{{2{n^3} - 4n + 5}}\normalsize} .\) Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize}.\) Тогда \[ {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3n - 1}}{{2{n^3} - 4n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {3n - 1} \right){n^2}}}{{2{n^3} - 4n + 5}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3{n^3} - {n^2}}}{{2{n^3} - 4n + 5}}.} \] Разделим числитель и знаменатель на \({n^3}:\) \[\require{cancel} {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} - \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} - \frac{{4n}}{{{n^3}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} = \frac{3}{2}.} \] Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

Пример 5

Исследовать ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}\normalsize} \) на сходимость. Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize} .\) Получаем \[ {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \cdot {n^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{2{n^2} + n + 5}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + n + 5}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} + \frac{n}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{2}.} \] Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

Пример 6

Исследовать ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{n}{{{n^2} - 2n - 3}}\normalsize}\) на сходимость. Применяем предельный признак сравнения. Сравним \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{n}{{{n^2} - 2n - 3}}\normalsize}\) с расходящимся гармоническим рядом \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize}.\) Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов: \[ {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{n}{{{n^2} - 2n - 3}}}}{{\frac{1}{n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} - 2n - 3}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} - \frac{{2n}}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 - \frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^2}}}}} = 1.} \] Таким образом, исходный ряд расходится.

Пример 7

Определить, сходится или расходится ряд \[\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + \ldots + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} + \ldots \;?\] Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize} .\) Находим значение предела: \[ {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\cancel{n}\sqrt n }}{{\cancel{n}\sqrt {n + 1} }} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}}}}{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}} + \frac{1}{n}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}}} = 1.} \] Следовательно, ряд сходится.