Бесконечные ряды

Пусть задана числовая последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}.\) Тогда бесконечная сумма \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} + \ldots \] называется бесконечным рядом или просто рядом. Частичные суммы ряда определяются формулой \[\sum\limits_{n = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n},\] где \({S_n}\) называется \(n\)-частичной суммой ряда. Если частичные суммы \(\left\{ {{S_n}} \right\}\) сходятся к \(L\) при \(n \to \infty,\) то говорят, что бесконечный ряд сходится к \(L:\) \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = L,\;\;\text{если}\;\;\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = L.\] В противном случае ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) расходится. Если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) сходится, то \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\) Внимание! Обратное утверждение неверно. Сходимость общего члена \({{a_n}}\) к нулю не означает, что ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) сходится. Например, гармонический ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} \) расходится, хотя \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\) Соответственно, если \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\) или этот предел не существует, то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) расходится (достаточное условие расходимости ряда). Предположим, что \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = A \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} = B \) являются сходящимися рядами, а \(c\) − действительным числом. Тогда справедливы следующие линейные свойства:

• \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n} + {b_n}} \right)} = A + B\)

• \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {c{a_n}} = cA\)

Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt[\large n\normalsize]{3}}.\) Поскольку \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{3} = \lim\limits_{n \to \infty } {3^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} = 1,\) то выполнен достаточный признак расходимости ряда. Таким образом, ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt[\large n\normalsize]{3}} \) расходится.

Пример 2

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{e^n}}}{{{n^2}}}\normalsize}.\) Вычислим предел \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{e^n}}}{{{n^2}}}\normalsize .\) Заменяя числовую последовательность на непрерывную функцию и применяя правило Лопиталя, получаем \[ {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{e^x}}}{{{x^2}}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{e^x}}}{{2x}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{e^x}}}{2} = \infty .} \] Следовательно исходный числовой ряд расходится (выполнено достаточное условие расходимости).

Пример 3

Показать, что гармонический ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} \) расходится. Запишем данный ряд в следующем виде: \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} } = {1 + \frac{1}{2} + \underbrace {\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right)}_{\frac{7}{{12}}>\frac{1}{2}} } + {\underbrace {\left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right)}_{\frac{{533}}{{840}}>\frac{1}{2}} + \ldots \;\text{и так далее}.} \] Поэтому \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} >\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{2}\normalsize} = \infty .\) Следовательно, гармонический ряд является расходящимся. Этот факт впервые доказал средневековый французский экономист и математик Николь Орезм, живший более \(600\) лет назад.

Пример 4

Исследователь сходимость ряда \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\large\frac{1}{{{3^n}}}\normalsize + \large\frac{1}{{{5^n}}}\normalsize} \right)} .\) Данный ряд сходится, поскольку он является суммой двух сходящихся рядов − \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{1}{{{3^n}}}\normalsize} \) и \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{1}{{{5^n}}}\normalsize}.\) Оба этих ряда представляют собой бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем \(\left| q \right|<1.\) Тогда \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} } = {\frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2},} \] \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{5^n}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}} } = {\frac{1}{{1 - \frac{1}{5}}} = \frac{5}{4}.} \] Следовательно, сумма исходного ряда равна \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{{3^n}}} + \frac{1}{{{5^n}}}} \right)} } = {\frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{{11}}{4}.} \]

Пример 5

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{\left( {n + \pi } \right)\left( {n + \pi + 1} \right)}}\normalsize} .\) Видно, что \[\frac{1}{{\left( {n + \pi } \right)\left( {n + \pi + 1} \right)}} = \frac{1}{{n + \pi }} - \frac{1}{{n + \pi + 1}}.\] Тогда \(n\)-частичная сумма будет равна \[ {{S_n} = \left( {\frac{1}{{1 + \pi }} - \frac{1}{{2 + \pi }}} \right) } + {\left( {\frac{1}{{2 + \pi }} - \frac{1}{{3 + \pi }}} \right) + \ldots } + {\left( {\frac{1}{{n + \pi }} - \frac{1}{{n + \pi + 1}}} \right) } = {\frac{1}{{1 + \pi }} - \frac{1}{{n + \pi + 1}}.} \] Вычислим предел \({S_n}\) при \(n \to \infty:\) \[ {\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{1 + \pi }} - \frac{1}{{n + \pi + 1}}} \right) } = {\frac{1}{{1 + \pi }} \approx 0,24.} \] Следовательно, ряд сходится.

Пример 6

Определить, сходится или расходится ряд \[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \ldots \] Запишем выражение для \(n\)-частичной суммы: \[{S_n} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}.\] Легко видеть, что \[ {\frac{1}{{1 \cdot 2}} = 1 - \frac{1}{2},}\;\; {\frac{1}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3},}\;\; {\frac{1}{{3 \cdot 4}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4},}\;\; {\frac{1}{{4 \cdot 5}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}, \ldots ,} {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}.} \] Тогда \[ {{S_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) } + {\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \ldots } + {\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right).} \] Отсюда находим, что \[ {{S_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\;\;\text{и}\;\;} {\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = \lim\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.} \] Таким образом, заданный ряд сходится к \(1.\)

Пример 7

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\ln \large\frac{{n + 2}}{{n + 1}}\normalsize} .\) Запишем общий член ряда в виде \[ {{a_n} = \ln \frac{{n + 2}}{{n + 1}} } = {\ln \left( {n + 2} \right) - \ln \left( {n + 1} \right).} \] Вычислим \(n\)-частичную сумму: \[ {{S_n} = \left( {\ln 2 - \ln 1} \right) + \left( {\ln 3 - \ln 2} \right) } + {\left( {\ln 4 - \ln 3} \right) + \ldots } + {\left[ {\ln \left( {n + 2} \right) - \ln \left( {n + 1} \right)} \right] } = {\left( { - \ln 1 + \ln 2} \right) + \left( { - \ln 2 + \ln 3} \right) } + {\left( { - \ln 3 + \ln 4} \right) + \ldots } + {\left[ { - \ln \left( {n + 1} \right) + \ln \left( {n + 2} \right)} \right] } = { - \ln 1 + \ln \left( {n + 2} \right) } = {\ln \left( {n + 2} \right).} \] Поскольку \(\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = \lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\ln \left( {n + 2} \right)} \right] = \infty ,\) то данный ряд расходится.