Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Разложение в ряд Фурье в интервале
Рассмотрим кусочно-непрерывную заданную в интервале
Используя подстановку преобразуем ее в функцию
определенную и интегрируемую в интервале Разложение в ряд Фурье для функции
имеет вид
Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами
Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая получим следующие выражения
для ряда Фурье исходной функции
где
Разложение в ряд Фурье в интервале
Если функция определена в интервале
то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой
где а коэффициенты вычисляются следующим образом:
Четные и нечетные функции
Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале
имеет вид
где
Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале
выражается формулой
где коэффициенты Фурье равны
Пример 1
Найти разложение в ряд Фурье функции
Решение.
Определим коэффициенты разложения:
Можно заметить, что для четных
Для нечетных
Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок )


Рис.1,
A = 2, L = 2,
n = 2,
n = 10
Рис.2,
n = 5,
n = 10
Пример 2
Найти разложение в ряд Фурье функции:
Решение.
Здесь Следовательно, можно записать
Вычислим коэффициенты
Определим теперь коэффициенты
В результате получаем следующее выражение для ряда Фурье (рисунок ):
Пример 3
Найти разложение в ряд Фурье трапециевидной волны, заданной функцией
Решение.
В данном случае, очевидно, Вычислим коэффициенты разложения и
Так как
то получаем
Коэффициенты равны нулю, поскольку функция четная на заданном интервале
Тогда разложение в ряд Фурье выражается формулой
График данной функции и аппроксимации Фурье при и показаны на рисунке

Рис.3,
n = 1,
n = 3
Пример 4
Найти разложение в ряд Фурье функции
Решение.
Данная функция − четная и имеет период
Поэтому Определим коэффициенты и
Однако полученный результат справедлив лишь при Поэтому рассчитаем отдельно.
Таким образом, разложение в ряд Фурье функции имеет вид
Полученное выражение является хорошо известным
тригонометрическим тождеством.