Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Рассмотрим кусочно-непрерывную $f\left( x \right),$ заданную в интервале $\left[ { - L,L} \right].$ Используя подстановку $x = \large\frac{{Ly}}{\pi }\normalsize\;\left( { - \pi \le x \le \pi } \right),$ преобразуем ее в функцию $$F\left( y \right) = f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right),$$ определенную и интегрируемую в интервале $\left[ { - \pi ,\pi } \right].$ Разложение в ряд Фурье для функции $F\left( y \right)$ имеет вид $${F\left( y \right) = f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right) } = {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos ny + {b_n}\sin ny} \right)} .}$$ Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами $${a_0} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( y \right)dy} ,$$ $${{a_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( y \right)\cos nydy} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right)\cos nydy} ,}$$ $${{b_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( y \right)\sin nydy} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right)\sin nydy} ,}\; {n = 1,2,3, \ldots }$$ Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая $y = \large\frac{{\pi x}}{L}\normalsize,$ получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции $f\left( x \right):$ $$f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L} + {b_n}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} ,$$ где $${{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} ,}\;\; {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} ,}\;\; {{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} .}$$ Если функция $f\left( x \right)$ определена в интервале $\left[ { a,b} \right],$ то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой $$f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L} + {b_n}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} ,$$ где $L = \large\frac{{b - a}}{2}\normalsize,$ а коэффициенты вычисляются следующим образом: $${{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} ,}\;\; {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} ,}\;\; {{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} ,}\;\; {n = 1,2,3, \ldots }$$ Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале $\left[ { - L,L} \right],$ имеет вид $$f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L}} ,$$ где $${{a_0} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)dx} ,}\;\; {{a_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx}.}$$ Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале $\left[ { - L,L} \right],$ выражается формулой $$f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} ,$$ где коэффициенты Фурье равны $${b_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} .$$

Пример 1

Найти разложение в ряд Фурье функции $$f\left( x \right) = \begin{cases} A, & 0 \le x \le L \\ 0, & L<x \le 2L \end{cases}.$$ Определим коэффициенты разложения: $${{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } = {\frac{1}{L}\int\limits_0^L {Adx} = A,}$$ $${{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{1}{L}\int\limits_a^b {A\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{A}{L}\left[ {\left. {\left( {\frac{L}{{n\pi }}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right|_0^L} \right] } = {\frac{A}{{n\pi }}\left( {\sin n\pi - \sin 0} \right) = 0,}$$ $${{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{1}{L}\int\limits_a^b {A\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{A}{L}\left[ {\left. {\left( { - \frac{L}{{n\pi }}\cos\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right|_0^L} \right] } = {\frac{A}{{n\pi }}\left[ { - \cos n\pi + \cos 0} \right] = \frac{A}{{n\pi }}\left[ {1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right] } = {\frac{A}{{n\pi }}\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right].}$$ Можно заметить, что для четных $n = 2k,\;k = 1,2,3, \ldots$ $${b_{2k}} = \frac{A}{{2k\pi }}\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{2k + 1}}} \right] = 0.$$ Для нечетных $n = 2k - 1,\;k = 1,2,3, \ldots$ $${{b_{2k - 1}} = \frac{A}{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{2k}}} \right] } = {\frac{{2A}}{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}.}$$ Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок $1$) $$f\left( x \right) = \frac{A}{2} + \frac{{2A}}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k - 1}}\sin \left( {\frac{{2k - 1}}{L}\pi x} \right)} .$$

Пример 2

Найти разложение в ряд Фурье функции: $$f\left( x \right) = \begin{cases} 0, & -1 \le x \le 0 \\ x, & 0<x \le 1 \end{cases}.$$ Здесь $L = 1.$ Следовательно, можно записать $${{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } = {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} } = {\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.}$$ Вычислим коэффициенты ${a_n}:$ $${{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\int\limits_0^1 {x\cos \left( {n\pi x} \right)dx} } = {\left. {\left( {\frac{1}{{n\pi }}x\sin \left( {n\pi x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_0^1 {\sin \left( {n\pi x} \right)dx} } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ {\left. {\left( {x\sin n\pi x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{\cos n\pi x}}{{n\pi }}} \right)} \right|_0^1} \right] } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ {\sin n\pi + \frac{{\cos n\pi }}{{n\pi }} - \frac{1}{{n\pi }}} \right] } = {\frac{1}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {\cos n\pi - 1} \right] } = {\frac{1}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1} \right].}$$ Определим теперь коэффициенты ${b_n}:$ $${{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\int\limits_0^1 {x\sin \left( {n\pi x} \right)dx} } = {\left. {\left( { - \frac{1}{{n\pi }}x\cos \left( {n\pi x} \right)} \right)} \right|_0^1 + \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_0^1 {\cos\left( {n\pi x} \right)dx} } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ {\left. { - \left( {x\cos n\pi x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{\sin n\pi x}}{{n\pi }}} \right)} \right|_0^1} \right] } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ { - \cos n\pi + \frac{{\sin n\pi }}{{n\pi }}} \right] } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n\pi }}.}$$ В результате получаем следующее выражение для ряда Фурье (рисунок $2$): $${f\left( x \right) = \frac{1}{4} } + {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1} \right)}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos n\pi x + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n\pi }}\sin n\pi x} \right]} .}$$

Пример 3

Найти разложение в ряд Фурье трапециевидной волны, заданной функцией $$f\left( x \right) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \\ 1, & 1 \lt x \le 2 \\ 3-x, & 2 \lt x \le 3 \end{cases}.$$ В данном случае, очевидно, $L = \large\frac{3}{2}\normalsize.$ Вычислим коэффициенты разложения ${a_0}$ и ${a_n}.$ $${{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } = {\frac{2}{3}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} } = {\frac{2}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^2 {1dx} + \int\limits_2^3 {\left( {3 - x} \right)dx} } \right] } = {\frac{2}{3}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. x \right|_0^1 + \left. {\left( {3x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^3} \right] } = {\frac{4}{3};}$$ $${{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{2}{3}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\int\limits_0^1 {x\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right. } + {\int\limits_1^2 {\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } + {\left. {\int\limits_2^3 {\left( {3 - x} \right)\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right\} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{{2n\pi }}x\sin\frac{{2n\pi x}}{3}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right]} \right. } + {\left. {\left( {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi x}}{3}} \right)} \right|_1^2 } + {\left. {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{{2n\pi }}\left( {3 - x} \right)\sin\frac{{2n\pi x}}{3}} \right)} \right|_2^3 + \int\limits_2^3 {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right]} \right\} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi }}{3}} \right. } + {\frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos\frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right) } + {\frac{3}{{2n\pi }}\left( {\sin\frac{{4n\pi }}{3} - \sin\frac{{2n\pi }}{3}} \right) } - {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{4n\pi }}{3} } + {\left. {\frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( { - \cos 2n\pi + \cos\frac{{4n\pi }}{3}} \right)} \right\} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos\frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right) + \frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos\frac{{4n\pi }}{3} - 1} \right)} \right\}.}$$ Так как $\cos \large\frac{{4n\pi }}{3}\normalsize = \cos \left( {2n\pi - \large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize} \right) = \cos \large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize,$ то получаем $${{a_n} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2 \cdot 9}}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos \frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right) } = {\frac{3}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos \frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right),}\; {n = 1,2,3, \ldots }$$ Коэффициенты ${b_n}$ равны нулю, поскольку функция четная на заданном интервале $\left[ {0,3} \right].$ Тогда разложение в ряд Фурье выражается формулой $$f\left( x \right) = \frac{2}{3} - \frac{3}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{1 - \cos \frac{{2n\pi }}{3}}}{{{n^2}}}\cos \frac{{2n\pi x}}{3}} .$$ График данной функции и аппроксимации Фурье при $n = 1$ и $n = 3$ показаны на рисунке $3.$

Пример 4

Найти разложение в ряд Фурье функции $f\left( x \right) = {\cos ^2}x.$ Данная функция − четная и имеет период $\pi$ $\left( {L = \large\frac{\pi }{2}\normalsize} \right).$ Поэтому ${b_n} = 0.$ Определим коэффициенты ${a_0}$ и ${a_n}.$ $${{a_0} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)dx} } = {\frac{4}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^2}xdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} } = {\frac{2}{\pi }\left[ {\left. {\left( {x + \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } = {\frac{2}{\pi }\left[ {\frac{\pi }{2} + \frac{{\sin \pi }}{2}} \right] = 1.}$$ $${{a_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{4}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^2}x\cos 2nxdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2nxdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\cos 2nx + \cos 2x\cos 2nx} \right)dx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left\{ {\cos 2nx + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2n - 2} \right)x + \cos \left( {2n + 2} \right)x} \right]} \right\}dx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left[ {2\cos 2nx + \cos \left( {2n - 2} \right)x + \cos \left( {2n + 2} \right)x} \right]dx} } = {\frac{1}{\pi }\left. {\left[ {\sin \frac{{2nx}}{n} + \sin \frac{{\left( {2n - 2} \right)x}}{{2n - 2}} + \sin \frac{{\left( {2n + 2} \right)x}}{{2n + 2}}} \right]} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} } = {\frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{\sin n\pi }}{n} + \frac{{\sin \left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n - 2}} + \frac{{\sin \left( {n + 1} \right)\pi }}{{2n + 2}}} \right] = 0.}$$ Однако полученный результат справедлив лишь при $n \ge 2.$ Поэтому рассчитаем ${a_1}$ отдельно. $${{a_1} = \frac{4}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^2}x\cos 2xdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2xdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {2\cos 2x + 1 + \cos 4x} \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\left( {\sin 2x + x + \frac{{\sin 4x}}{4}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } = {\frac{1}{\pi }\left( {\sin \pi + \frac{\pi }{2} + \frac{{\sin 2\pi }}{4}} \right) } = {\frac{1}{2}.}$$ Таким образом, разложение в ряд Фурье функции $f\left( x \right) = {\cos ^2}x$ имеет вид $$f\left( x \right) = {\cos ^2}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x.$$ Полученное выражение является хорошо известным тригонометрическим тождеством.