Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Разложение в ряд Фурье в интервале [L,L]\left[ { - L,L} \right]
Рассмотрим кусочно-непрерывную f(x),f\left( x \right), заданную в интервале [L,L].\left[ { - L,L} \right]. Используя подстановку x=Lyπ  (πxπ),x = \large\frac{{Ly}}{\pi }\normalsize\;\left( { - \pi \le x \le \pi } \right), преобразуем ее в функцию F(y)=f(Lyπ),F\left( y \right) = f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right), определенную и интегрируемую в интервале [π,π].\left[ { - \pi ,\pi } \right]. Разложение в ряд Фурье для функции F(y)F\left( y \right) имеет вид F(y)=f(Lyπ)=a02+n=1(ancosny+bnsinny). {F\left( y \right) = f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right) } = {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos ny + {b_n}\sin ny} \right)} .} Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами a0=1πππF(y)dy,{a_0} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( y \right)dy} , an=1πππF(y)cosnydy=1πππf(Lyπ)cosnydy, {{a_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( y \right)\cos nydy} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right)\cos nydy} ,} bn=1πππF(y)sinnydy=1πππf(Lyπ)sinnydy,  n=1,2,3, {{b_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( y \right)\sin nydy} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right)\sin nydy} ,}\; {n = 1,2,3, \ldots } Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая y=πxL,y = \large\frac{{\pi x}}{L}\normalsize, получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f(x):f\left( x \right): f(x)=a02+n=1(ancosnπxL+bnsinnπxL), f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L} + {b_n}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} , где a0=1LLLf(x)dx,    an=1LLLf(x)cosnπxLdx,    bn=1LLLf(x)sinnπxLdx. {{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} ,}\;\; {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} ,}\;\; {{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} .}
Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]\left[ { a,b} \right]
Если функция f(x)f\left( x \right) определена в интервале [a,b],\left[ { a,b} \right], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой f(x)=a02+n=1(ancosnπxL+bnsinnπxL),f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L} + {b_n}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} , где L=ba2,L = \large\frac{{b - a}}{2}\normalsize, а коэффициенты вычисляются следующим образом: a0=1LLLf(x)dx,    an=1LLLf(x)cosnπxLdx,    bn=1LLLf(x)sinnπxLdx,    n=1,2,3, {{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} ,}\;\; {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} ,}\;\; {{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} ,}\;\; {n = 1,2,3, \ldots }
Четные и нечетные функции
Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [L,L],\left[ { - L,L} \right], имеет вид f(x)=a02+n=1ancosnπxL,f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L}} , где a0=2L0Lf(x)dx,    an=2L0Lf(x)cosnπxLdx. {{a_0} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)dx} ,}\;\; {{a_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx}.} Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [L,L],\left[ { - L,L} \right], выражается формулой f(x)=n=1bnsinnπxL,f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} , где коэффициенты Фурье равны bn=2L0Lf(x)sinnπxLdx.{b_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} .
Пример 1
Найти разложение в ряд Фурье функции f(x)={A,0xL0,L<x2L. f\left( x \right) = \begin{cases} A, & 0 \le x \le L \\ 0, & L<x \le 2L \end{cases}.
Решение.
Определим коэффициенты разложения: a0=1Labf(x)dx=1L0LAdx=A, {{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } = {\frac{1}{L}\int\limits_0^L {Adx} = A,} an=1Labf(x)cosnπxLdx=1LabAcosnπxLdx=AL[(LnπsinnπxL)0L]=Anπ(sinnπsin0)=0, {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{1}{L}\int\limits_a^b {A\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{A}{L}\left[ {\left. {\left( {\frac{L}{{n\pi }}\sin\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right|_0^L} \right] } = {\frac{A}{{n\pi }}\left( {\sin n\pi - \sin 0} \right) = 0,} bn=1Labf(x)sinnπxLdx=1LabAsinnπxLdx=AL[(LnπcosnπxL)0L]=Anπ[cosnπ+cos0]=Anπ[1(1)n]=Anπ[1+(1)n+1]. {{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{1}{L}\int\limits_a^b {A\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{A}{L}\left[ {\left. {\left( { - \frac{L}{{n\pi }}\cos\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right|_0^L} \right] } = {\frac{A}{{n\pi }}\left[ { - \cos n\pi + \cos 0} \right] = \frac{A}{{n\pi }}\left[ {1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right] } = {\frac{A}{{n\pi }}\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right].} Можно заметить, что для четных n=2k,  k=1,2,3,n = 2k,\;k = 1,2,3, \ldots b2k=A2kπ[1+(1)2k+1]=0.{b_{2k}} = \frac{A}{{2k\pi }}\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{2k + 1}}} \right] = 0. Для нечетных n=2k1,  k=1,2,3,n = 2k - 1,\;k = 1,2,3, \ldots b2k1=A(2k1)π[1+(1)2k]=2A(2k1)π. {{b_{2k - 1}} = \frac{A}{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{2k}}} \right] } = {\frac{{2A}}{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}.} Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок 11) f(x)=A2+2Aπk=112k1sin(2k1Lπx).f\left( x \right) = \frac{A}{2} + \frac{{2A}}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k - 1}}\sin \left( {\frac{{2k - 1}}{L}\pi x} \right)} .
Рис.1, A = 2, L = 2, n = 2, n = 10
Рис.2, n = 5, n = 10
Пример 2
Найти разложение в ряд Фурье функции: f(x)={0,1x0x,0<x1. f\left( x \right) = \begin{cases} 0, & -1 \le x \le 0 \\ x, & 0<x \le 1 \end{cases}.
Решение.
Здесь L=1.L = 1. Следовательно, можно записать a0=1Labf(x)dx=11f(x)dx=01xdx=(x22)01=12. {{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } = {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} } = {\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.} Вычислим коэффициенты an:{a_n}: an=1Labf(x)cosnπxLdx=01xcos(nπx)dx=(1nπxsin(nπx))011nπ01sin(nπx)dx=1nπ[(xsinnπx)01+(cosnπxnπ)01]=1nπ[sinnπ+cosnπnπ1nπ]=1n2π2[cosnπ1]=1n2π2[(1)n1]. {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\int\limits_0^1 {x\cos \left( {n\pi x} \right)dx} } = {\left. {\left( {\frac{1}{{n\pi }}x\sin \left( {n\pi x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_0^1 {\sin \left( {n\pi x} \right)dx} } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ {\left. {\left( {x\sin n\pi x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{\cos n\pi x}}{{n\pi }}} \right)} \right|_0^1} \right] } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ {\sin n\pi + \frac{{\cos n\pi }}{{n\pi }} - \frac{1}{{n\pi }}} \right] } = {\frac{1}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {\cos n\pi - 1} \right] } = {\frac{1}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1} \right].} Определим теперь коэффициенты bn:{b_n}: bn=1Labf(x)sinnπxLdx=01xsin(nπx)dx=(1nπxcos(nπx))01+1nπ01cos(nπx)dx=1nπ[(xcosnπx)01+(sinnπxnπ)01]=1nπ[cosnπ+sinnπnπ]=(1)n+1nπ. {{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\sin\frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\int\limits_0^1 {x\sin \left( {n\pi x} \right)dx} } = {\left. {\left( { - \frac{1}{{n\pi }}x\cos \left( {n\pi x} \right)} \right)} \right|_0^1 + \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_0^1 {\cos\left( {n\pi x} \right)dx} } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ {\left. { - \left( {x\cos n\pi x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{\sin n\pi x}}{{n\pi }}} \right)} \right|_0^1} \right] } = {\frac{1}{{n\pi }}\left[ { - \cos n\pi + \frac{{\sin n\pi }}{{n\pi }}} \right] } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n\pi }}.} В результате получаем следующее выражение для ряда Фурье (рисунок 22): f(x)=14+n=1[((1)n1)n2π2cosnπx+(1)n+1nπsinnπx]. {f\left( x \right) = \frac{1}{4} } + {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1} \right)}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos n\pi x + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n\pi }}\sin n\pi x} \right]} .}
Пример 3
Найти разложение в ряд Фурье трапециевидной волны, заданной функцией f(x)={x,0x11,1<x23x,2<x3. f\left( x \right) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \\ 1, & 1 \lt x \le 2 \\ 3-x, & 2 \lt x \le 3 \end{cases}.
Решение.
В данном случае, очевидно, L=32.L = \large\frac{3}{2}\normalsize. Вычислим коэффициенты разложения a0{a_0} и an.{a_n}. a0=1Labf(x)dx=2303f(x)dx=23[01xdx+121dx+23(3x)dx]=23[(x22)01+x01+(3xx22)23]=43; {{a_0} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } = {\frac{2}{3}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} } = {\frac{2}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^2 {1dx} + \int\limits_2^3 {\left( {3 - x} \right)dx} } \right] } = {\frac{2}{3}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. x \right|_0^1 + \left. {\left( {3x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^3} \right] } = {\frac{4}{3};} an=1Labf(x)cosnπxLdx=2303f(x)cos2nπx3dx=23{01xcos2nπx3dx+12cos2nπx3dx+23(3x)cos2nπx3dx}=23{[(32nπxsin2nπx3)010132nπsin2nπx3dx]+(32nπsin2nπx3)12+[(32nπ(3x)sin2nπx3)23+2332nπsin2nπx3dx]}=23{32nπsin2nπ3+94n2π2(cos2nπ31)+32nπ(sin4nπ3sin2nπ3)32nπsin4nπ3+94n2π2(cos2nπ+cos4nπ3)}=23{94n2π2(cos2nπ31)+94n2π2(cos4nπ31)}. {{a_n} = \frac{1}{L}\int\limits_a^b {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{2}{3}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\int\limits_0^1 {x\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right. } + {\int\limits_1^2 {\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } + {\left. {\int\limits_2^3 {\left( {3 - x} \right)\cos \frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right\} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{{2n\pi }}x\sin\frac{{2n\pi x}}{3}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right]} \right. } + {\left. {\left( {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi x}}{3}} \right)} \right|_1^2 } + {\left. {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{{2n\pi }}\left( {3 - x} \right)\sin\frac{{2n\pi x}}{3}} \right)} \right|_2^3 + \int\limits_2^3 {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi x}}{3}dx} } \right]} \right\} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{2n\pi }}{3}} \right. } + {\frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos\frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right) } + {\frac{3}{{2n\pi }}\left( {\sin\frac{{4n\pi }}{3} - \sin\frac{{2n\pi }}{3}} \right) } - {\frac{3}{{2n\pi }}\sin\frac{{4n\pi }}{3} } + {\left. {\frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( { - \cos 2n\pi + \cos\frac{{4n\pi }}{3}} \right)} \right\} } = {\frac{2}{3}\left\{ {\frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos\frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right) + \frac{9}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos\frac{{4n\pi }}{3} - 1} \right)} \right\}.} Так как cos4nπ3=cos(2nπ2nπ3)=cos2nπ3,\cos \large\frac{{4n\pi }}{3}\normalsize = \cos \left( {2n\pi - \large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize} \right) = \cos \large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize, то получаем an=23294n2π2(cos2nπ31)=3n2π2(cos2nπ31),  n=1,2,3, {{a_n} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2 \cdot 9}}{{4{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos \frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right) } = {\frac{3}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left( {\cos \frac{{2n\pi }}{3} - 1} \right),}\; {n = 1,2,3, \ldots } Коэффициенты bn{b_n} равны нулю, поскольку функция четная на заданном интервале [0,3].\left[ {0,3} \right]. Тогда разложение в ряд Фурье выражается формулой f(x)=233π2n=11cos2nπ3n2cos2nπx3.f\left( x \right) = \frac{2}{3} - \frac{3}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{1 - \cos \frac{{2n\pi }}{3}}}{{{n^2}}}\cos \frac{{2n\pi x}}{3}} . График данной функции и аппроксимации Фурье при n=1n = 1 и n=3n = 3 показаны на рисунке 3.3.
Рис.3, n = 1, n = 3
Пример 4
Найти разложение в ряд Фурье функции f(x)=cos2x.f\left( x \right) = {\cos ^2}x.
Решение.
Данная функция − четная и имеет период π\pi (L=π2).\left( {L = \large\frac{\pi }{2}\normalsize} \right). Поэтому bn=0.{b_n} = 0. Определим коэффициенты a0{a_0} и an.{a_n}. a0=2L0Lf(x)dx=4π0π2cos2xdx=2π0π2(1+cos2x)dx=2π[(x+sin2x2)0π2]=2π[π2+sinπ2]=1. {{a_0} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)dx} } = {\frac{4}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^2}xdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} } = {\frac{2}{\pi }\left[ {\left. {\left( {x + \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } = {\frac{2}{\pi }\left[ {\frac{\pi }{2} + \frac{{\sin \pi }}{2}} \right] = 1.} an=2L0Lf(x)cosnπxLdx=4π0π2cos2xcos2nxdx=2π0π2(1+cos2x)cos2nxdx=2π0π2(cos2nx+cos2xcos2nx)dx=2π0π2{cos2nx+12[cos(2n2)x+cos(2n+2)x]}dx=2π0π2[2cos2nx+cos(2n2)x+cos(2n+2)x]dx=1π[sin2nxn+sin(2n2)x2n2+sin(2n+2)x2n+2]0π2=1π[sinnπn+sin(n1)π2n2+sin(n+1)π2n+2]=0. {{a_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx} } = {\frac{4}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^2}x\cos 2nxdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2nxdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\cos 2nx + \cos 2x\cos 2nx} \right)dx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left\{ {\cos 2nx + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2n - 2} \right)x + \cos \left( {2n + 2} \right)x} \right]} \right\}dx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left[ {2\cos 2nx + \cos \left( {2n - 2} \right)x + \cos \left( {2n + 2} \right)x} \right]dx} } = {\frac{1}{\pi }\left. {\left[ {\sin \frac{{2nx}}{n} + \sin \frac{{\left( {2n - 2} \right)x}}{{2n - 2}} + \sin \frac{{\left( {2n + 2} \right)x}}{{2n + 2}}} \right]} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} } = {\frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{\sin n\pi }}{n} + \frac{{\sin \left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n - 2}} + \frac{{\sin \left( {n + 1} \right)\pi }}{{2n + 2}}} \right] = 0.} Однако полученный результат справедлив лишь при n2.n \ge 2. Поэтому рассчитаем a1{a_1} отдельно. a1=4π0π2cos2xcos2xdx=2π0π2(1+cos2x)cos2xdx=2π0π2(cos2x+cos22x)dx=2π0π2(cos2x+1+cos4x2)dx=1π0π2(2cos2x+1+cos4x)dx=1π[(sin2x+x+sin4x4)0π2]=1π(sinπ+π2+sin2π4)=12. {{a_1} = \frac{4}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\cos }^2}x\cos 2xdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2xdx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx} } = {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {2\cos 2x + 1 + \cos 4x} \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\left( {\sin 2x + x + \frac{{\sin 4x}}{4}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } = {\frac{1}{\pi }\left( {\sin \pi + \frac{\pi }{2} + \frac{{\sin 2\pi }}{4}} \right) } = {\frac{1}{2}.} Таким образом, разложение в ряд Фурье функции f(x)=cos2xf\left( x \right) = {\cos ^2}x имеет вид f(x)=cos2x=12+12cos2x.f\left( x \right) = {\cos ^2}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x. Полученное выражение является хорошо известным тригонометрическим тождеством.