Моделирование рекламной кампании
Дифференциальные уравнения широко используются для описания различных динамических процессов в экономике, логистике и маркетинге. Ниже мы рассмотрим
как с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений можно смоделировать рекламную кампанию.
Представим, что некоторая компания разработала новый продукт или сервис. Маркетинговая стратегия компании предполагает агрессивное рекламирование.
Чтобы перейти к простой математической модели, введем две переменных:
Простая модель такого типа была предложена в \(1962\) году. Она называется моделью Нерлова-Эрроу
(кратко \(N-A\) модель). Данная модель связывает между собой две введенные переменные: рекламную активность
\(q\left( t \right)\) и осведомленность потребителей \(A\left( t \right)\) и описывается следующим дифференциальным уравнением:
\[\frac{{dA}}{{dt}} = bq\left( t \right) - kA,\]
где \(b\) − некоторая постоянная, описываюшая эффективность рекламы, \(k\) − константа, соответствующая скорости "забывания".
Данное уравнение содержит два члена в правой части. Первое слагаемое \(bq\left( t \right)\) обеспечивает линейный рост осведомленности
потребителей в результате воздействия рекламы. Второй член \(-kA\) описывает противоположный процесс − забывание о рекламируемом продукте.
Мы можем принять в первом приближении, что скорость забывания пропорциональна текущему уровню осведомленности \(A.\)
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Его удобнее записать в стандартной форме:
\[\frac{{dA}}{{dt}} + kA = bq\left( t \right).\]
Интегрирующий множитель представляет собой экспоненциальную функцию:
\[u\left( t \right) = {e^{\int {kdt} }} = {e^{kt}}.\]
Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения выражается формулой
\[A\left( t \right) = \frac{{b\int {{e^{kt}}q\left( t \right)dt} + C}}{{{e^{kt}}}}.\]
Постоянную интегрирования \(C,\) как обычно, определяется из начального условия \(A\left( {{t_0}} \right) = {A_0}.\)
В приведенных ниже примерах мы исследуем как осведомленность потребителей \(A\left( t \right)\) зависит от режима рекламирования.
Величина \(q\left( t \right)\) представляет собой рекламную активность, которая описывается темпом расхода рекламного бюджета, например, суммой в рублях (или в любой другой валюте), которую компания тратит на рекламу за неделю;
Величина \(A\left( t \right)\) описывает осведомленность целевой группы потенциальных покупателей нового товара или услуги.


Рис.1
Рис.2
Пример 1
Менеджмент компании принял решение о постоянном рекламировании нового продукта в течение года. Рекламный бюджет составляет
\($12,000.\) Коэффициенты \(k\) и \(b\) равны: \(k = {\large\frac{1}{4}\normalsize},\;b = 25.\) Записать и решить дифференциальное уравнение, описывающее количество людей
\(A\left( t \right),\) ознакомившихся с данным продуктом.
Решение.
Уравнение динамики \(A\left( t \right)\) записывается в виде:
\[\frac{{dA}}{{dt}} + kA = bq\left( t \right).\]
Будем считать, что время \(t\) измеряется в месяцах. По условию задачи, расходы на рекламу постоянны в течение всего года. Тогда ежемесячные рекламные расходы составляют:
\[{q_0} = \frac{{12000}}{{12}} = 1000\,\frac{$}{\text{месяц}}.\]
Подставляя известные значения, получаем следующее дифференциальное уравнение:
\[\frac{{dA}}{{dt}} + \frac{A}{4} = 25000.\]
В данном случае интегрирующий множитель имеет вид:
\[u\left( t \right) = {e^{\int {{\large\frac{1}{4}\normalsize}dt} }} = {e^{\large\frac{t}{4}\normalsize}}.\]
Следовательно, общее решение уравнения записывается в виде:
\[
{A\left( t \right) = \frac{{25000\int {{e^{\large\frac{t}{4}\normalsize}}dt} + C}}{{{e^{\large\frac{t}{4}\normalsize}}}} }
= {\frac{{\frac{{25000}}{{\frac{1}{4}}}{e^{\large\frac{t}{4}\normalsize}} + C}}{{{e^{\large\frac{t}{4}\normalsize}}}} }
= {100000 + C{e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}.}
\]
Константу \(C\) определим из начального условия \(A\left( {t = 0} \right) = 0.\) Следовательно, \(C = -100000.\)
В результате частное решение выражается формулой
\[A\left( t \right) = 100000\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right).\]
График этой функции показан выше на рисунке \(2,\) Таким образом, в случае постоянной рекламы число потенциальных покупателей растет нелинейно, приближаясь к максимальному
значению
\[{A_{\max }} = \frac{{b{q_0}}}{k} = 100000.\]
Пример 2
Используя условия предыдущей задачи \(1,\) выяснить как изменится число потенциальных покупателей к концу года, если
весь рекламный бюджет израсходовать равномерно в течение первых \(6\) месяцев?
На рисунке для сравнения показана также кривая \(A\left( t \right)\) из предыдущей задачи.
Видно, что во втором случае осведомленность покупателей к концу года будет ниже, чем в режиме постоянного однородного рекламирования.
Точные значения \(A\) для обоих случаев равны
\[
{\text{Конец года:}}\;\;\;
{A\left( {\text{пример}\,1} \right) = 95021;}\;\;\;
{A\left( {\text{пример}\,2} \right) = 34669.}
\]
Интересно, что среднее значение \(A\) в течение года больше во втором случае:
\[
{\text{Среднее значение:}}\;\;\;
{\overline A\left( {\text{пример}\,1} \right) = 72117;}\;\;\;
{\overline A\left( {\text{пример}\,2} \right) = 89825.}
\]
Можно грубо предположить, что объем продаж пропорционален осведомленности покупателей о новом продукте, так что режим ступенчатого рекламирования (при одинаковом рекламном бюджете!)
является более выгодным с этой точки зрения.
Решение.
В данном случае режим рекламирования имеет ступенчатый характер. Схематически расходы на рекламу показаны ниже на рисунке \(3.\)
Исследуем как изменится осведомленность потребителей \(A\left( t \right)\) по сравнению со случаем, рассмотренным в задаче \(1,\) когда
рекламные расходы одинаковы в течение всего года.
Задача разбивается на две стадии. К концу \(6\)-го месяца величина \(A\) легко вычисляется по формуле
\[A\left( t \right) = \frac{{b{q_0}}}{k}\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right),\]
выведенной в примере \(1.\) Коэффициенты будут иметь следующие значения:
\(k = \large\frac{1}{4}\normalsize,\) \(b = 25,\) \({q_0} = 2000.\) Тогда
\[A\left( t \right) = 200000\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right).\]
В момент \(t = 6\) количество покупателей, ознакомленных с продуктом, составляет:
\[
{A\left( {t = 6} \right) }
= {200000\left( {1 - {e^{ - \large\frac{6}{4}\normalsize}}} \right) }
= {155374.}
\]
Во второй фазе − с \(7\)-го по \(12\)-й месяц включительно − реклама полностью отсутствует. В результате уровень осведомленности
\(A\left( t \right)\) будет уменьшаться в соответствии с уравнением:
\[\frac{{dA}}{{dt}} + kA = 0.\]
Решение однородного уравнения определяется экспоненциальной функцией:
\[A\left( t \right) = C{e^{ - k\left( {t - 6} \right)}},\]
где \(t>6\) месяцев. Константа \(C\) находится из начального условия для второй фазы:
\[
{A\left( {t = 6} \right) = C{e^0} = C }
= {155374 \approx 155400.}
\]
Таким образом, закон изменения \(A\left( t \right)\) во втором полугодии имеет вид:
\[A\left( t \right) = 155400\,{e^{ - \large\frac{{t - 6}}{4}\normalsize}}.\]
Итак, полное решение задачи записывается в виде:
\[
A\left( {t} \right) =
\begin{cases}
200000\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right), & 0 \le t \le 6 \\
155400\,{e^{ - \large\frac{{t - 6}}{4}\normalsize}}, & 6 \lt t \le 12
\end{cases}.
\]
График функции \(A\left( t \right)\) представлен на рисунке \(4.\)


Рис.3
Рис.4
Пример 3
Исследовать динамику осведомленности \(A\left( t \right)\) для случая линейно изменяющейся рекламной активности
\(q\left( t \right).\) Использовать те же данные, что и в примерах \(1,2.\)
В любом случае, общий годовой рекламный бюджет остается неизменным (Пусть он будет равен \(U\)).
Графически это означает, что площади всех трапеций (или треугольников в предельном случае), показанных на рисунке \(6,\) равны.
Ясно, что параметры \({q_0}\) и \(\alpha\) будут связаны следующим соотношением:
\[12\left( {{q_0} + 6\alpha } \right) = U.\]
Левая часть этой формулы соответствует площади трапеции. Поэтому коэффициент \(\alpha\) выражается через \({q_0}\)
следующим образом:
\[\alpha = \frac{1}{{72}}\left( {U - 12{q_0}} \right).\]
Зависимость рекламных расходов от времени будет описываться формулой:
\[q\left( t \right) = {q_0} + \frac{{\left( {U - 12{q_0}} \right)t}}{{72}}.\]
Подставим последнее выражение в формулу общего решения \(A\left( t \right)\) и затем проинтегрируем:
\[
{A\left( t \right) = \frac{{b\int {{e^{kt}}q\left( t \right)dt} + C}}{{{e^{kt}}}} }
= {\frac{{b\int {{e^{kt}}\left( {{q_0} + \frac{{\left( {U - 12{q_0}} \right)t}}{{72}}} \right)dt} + C}}{{{e^{kt}}}} }
= {\frac{{b{q_0}\int {{e^{kt}}dt} + \frac{{b\left( {U - 12{q_0}} \right)}}{{72}}\int {{e^{kt}}tdt} + C}}{{{e^{kt}}}}.}
\]
Интеграл \({\int {{e^{kt}}tdt} }\) в числителе можно найти,
интегрируя по частям.
Полагаем:
\[
{u' = {e^{kt}},\;\;v = t,}\;\;
{\Rightarrow u = \int {{e^{kt}}dt} = \frac{1}{k}{e^{kt}},\;\;v' = 1.}
\]
Следовательно,
\[
{\int {{e^{kt}}tdt} = \frac{1}{k}{e^{kt}}t - \frac{1}{k}\int {{e^{kt}} \cdot 1dt} }
= {\frac{1}{k}{e^{kt}}t - \frac{1}{{{k^2}}}{e^{kt}} }
= {\frac{1}{k}{e^{kt}}\left( {t - \frac{1}{k}} \right).}
\]
В результате мы получаем следующее выражение для \(A\left( t \right):\)
\[
{A\left( t \right) }
= {\frac{{\frac{{b{q_0}}}{k}{e^{kt}} + \frac{{b\left( {U - 12{q_0}} \right)}}{{72}}\frac{1}{k}{e^{kt}}\left( {t - \frac{1}{k}} \right) + C}}{{{e^{kt}}}} }
= {\frac{b}{k}\left[ {{q_0} + \frac{{U - 12{q_0}}}{{72}}\left( {t - \frac{1}{k}} \right)} \right] + C{e^{ - kt}}.}
\]
Константу \(C\) определим из начального условия \(A\left( {t = 0} \right) = 0:\)
\[
{0 = \frac{b}{k}\left[ {{q_0} - \frac{{U - 12{q_0}}}{{72k}}} \right] + C,}\;\;
{\Rightarrow C = - \frac{b}{k}\left[ {{q_0} - \frac{{U - 12{q_0}}}{{72k}}} \right].}
\]
Подставляя \(C\) в формулу для \(A\left( t \right),\) находим:
\[
{A\left( t \right) }
= {\frac{b}{k}\left[ {{q_0} - \frac{{U - 12{q_0}}}{{72k}} + \frac{{U - 12{q_0}}}{{72}}t} \right] }
- {\frac{b}{k}\left[ {{q_0} - \frac{{U - 12{q_0}}}{{72k}}} \right]{e^{ - kt}} }
= {\frac{b}{k}\left[ {{q_0} - \frac{{U - 12{q_0}}}{{72k}}} \right]\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right) }
+ {\frac{{b\left( {U - 12{q_0}} \right)}}{{72k}}t.}
\]
Наконец, подставим известные величины:
\(k = \large\frac{1}{4}\normalsize,\) \(b = 25,\) \(U = 12,000:\)
\[
{A\left( t \right) }
= {\frac{{25}}{{\frac{1}{4}}}\left[ {{q_0} - \frac{{12000 - 12{q_0}}}{{72 \cdot \frac{1}{4}}}} \right]\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right) }
+ {\frac{{25\left( {12000 - 12{q_0}} \right)}}{{72 \cdot \frac{1}{4}}}t }
= {100\left[ {{q_0} - \frac{2}{3}\left( {1000 - {q_0}} \right)} \right]\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right) }
+ {100 \cdot \frac{{1000 - {q_0}}}{6}t.}
\]
Если положить \({q_0} = 1000\) (режим постоянного однородного рекламирования, рассмотренный в примере \(1\)), то мы получим уже найденную выше формулу:
\[
{A\left( t \right) = 100 \cdot 1000\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right) + 0 }
= {100,000\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{4}\normalsize}}} \right).}
\]
Используя общее решение \(A\left( t \right),\) сравним динамику осведомленности для следующих предельных случаев: (смотрите рисунок \(6\) выше).
Средние значения \(A\left( t \right)\) в течение года для указанных сценариев приведены в таблице (рисунок \(8\)). Как видно,
наиболее агрессивный сценарий 2 может привести к росту продаж, хотя сценарий \(1\) имеет преимущество благодаря долговременному эффекту.
Конечно, эти выводы ограничены точностью модели. В реальном бизнесе динамика \(A\left( t \right)\) может иметь более сложный характер.
Решение.
В данной задаче мы еще несколько усложним нашу маркетинговую модель. Будем предполагать, что рекламный бюджет
расходуется в течение года по линейному закону:
\[q\left( t \right) = {q_0} + \alpha t.\]
Функция \(q\left( t \right)\) может быть как возрастающей, так и убывающей (рисунок \(5\)).


Рис.5
Рис.6
Сценарий 1: Рекламные расходы линейно возрастают от 0 до 2000;
Сценарий 2: Рекламные расходы линейно уменьшаются от 2000 до 0;
Сценарий 3: Рекламные расходы постоянны в течение года.


Рис.7
Рис.8