Интегрирование по частям

Пусть \(u\left( x \right)\) и \(v\left( x \right)\) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций \(u\) и \(v\) определяется формулой \[d\left( {uv} \right) = udv + vdu.\] Проинтегрировав обе части этого выражения, получим \[uv = \int {udv} + \int {vdu} ,\] или, переставляя члены, \[\int {udv} = uv - \int {vdu} .\] Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример 1

Вычислить интеграл \(\int {x\sin \left( {3x - 2} \right)dx}.\) Используем формулу интегрирования по частям \(\int {udv} = uv - \int {vdu} .\) Пусть \(u = x,\) \(dv = \sin \left( {3x - 2} \right)dx.\) Тогда \[ {v = \int {\sin \left( {3x - 2} \right)dx} } = { - \frac{1}{3}\cos \left( {3x - 2} \right),}\;\; {du = dx.} \] Следовательно, \[ {\int {x\sin \left( {3x - 2} \right)dx} } = { - \frac{x}{3}\cos \left( {3x - 2} \right) - \int {\left( { - \frac{1}{3}\cos \left( {3x - 2} \right)} \right)dx} } = { - \frac{x}{3}\cos \left( {3x - 2} \right) + \frac{1}{3}\int {\cos \left( {3x - 2} \right)dx} } = { - \frac{x}{3}\cos \left( {3x - 2} \right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\sin\left( {3x - 2} \right) + C } = {\frac{1}{9}\sin\left( {3x - 2} \right) - \frac{x}{3}\cos \left( {3x - 2} \right) + C.} \]

Пример 2

Проинтегрировать \(\int {\ln xdx}.\) В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем \(u = \ln x,\) \(dv = dx.\) Тогда \(du = {\large\frac{1}{x}\normalsize} dx,\;v = \int {dx} = x.\) Получаем \[ {\int {\ln xdx} } = {x\ln x - \int {x \cdot \frac{1}{x}dx} } = {x\ln x - x + C.} \]

Пример 3

Вычислить интеграл \(\int {\arcsin xdx}.\) Пусть \(u = \arcsin x,\;dv = dx.\) Тогда \(du = {\large\frac{d}{{dx}}\normalsize}\arcsin x = \large\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\) \(v = \int {dx} = x,\) так что интеграл переписывается в виде \[ {\int {\arcsin xdx} } = {x\arcsin x - \int {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx}.} \] Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену \(w = 1 - {x^2}.\) В этом случае \(dw = - 2xdx,\) \(xdx = - \large\frac{{dw}}{2}\normalsize.\) Врезультате последний интеграл становится равным \[ {\int {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} } = {\int {\frac{{\left( { - \frac{{dw}}{2}} \right)}}{{\sqrt w }}} } = { - \int {\frac{{dw}}{{2\sqrt w }}} } = { - \sqrt w + C } = { - \sqrt {1 - {x^2}} + C.} \] Отсюда находим искомый интеграл: \[ {\int {\arcsin xdx} } = {x\arcsin x - \left( { - \sqrt {1 - {x^2}} } \right) + C } = {x\arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C.} \]

Пример 4

Вычислить интеграл \(\int {{e^x}\sin xdx}.\) Используем интегрирование по частям: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} .\) Полагаем \(u = {e^x},\) \(dv = \sin xdx.\) Тогда \(du = {e^x}dx,\) \(v = \int {\sin xdx} = - \cos x\) и интеграл записывается в виде \[ {\int {{e^x}\sin xdx} } = { - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos xdx} .} \] Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь \(u = {e^x},\) \(dv = \cos xdx.\) Следовательно, \(du = {e^x}dx,\) \(v = \int {\cos xdx} = \sin x.\) Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение: \[ {\int {{e^x}\sin xdx} } = { - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos xdx} } = { - {e^x}\cos x + {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin xdx}.} \] Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим \[ {2\int {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x}\;\;\; {\text{или}\;\;\;\int {{e^x}\sin xdx} = \frac{{{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right)}}{2} + C.} \]

Пример 5

Вывести формулу редукции (понижения степени) для \(\int {{{\sin }^n}xdx} ,\;n \ge 2.\) Используя формулу интегрирования по частям \(\int {udv} = uv - \int {vdu},\) полагаем \(u = {\sin ^{n - 1}}x,\) \(dv = \sin xdx.\) Тогда \[ {du = \frac{d}{{dx}}{\sin ^{n - 1}}x } = {\left( {n - 1} \right){\sin ^{n - 2}}x\cos xdx,}\;\;\; {v = \int {\sin xdx} = - \cos x.} \] Следовательно, \[ {\int {{{\sin }^n}xdx} } = { - \cos x\,{\sin ^{n - 1}}x - \int {\left( { - \cos x} \right)\left( {n - 1} \right){{\sin }^{n - 2}}x\cos xdx} } = { - \cos x\,{\sin ^{n - 1}}x - \int {\left( {n - 1} \right){{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} } = { - \cos x\,{\sin ^{n - 1}}x + \int {\left( {n - 1} \right){{\sin }^{n - 2}}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} } = { - \cos x\,{\sin ^{n - 1}}x + \left( {n - 1} \right)\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx} - \left( {n - 1} \right)\int {{{\sin }^n}xdx} .} \] Решим полученное уравнение относительно \(\int {{{\sin }^n}xdx}.\) Получаем \[ {\int {{{\sin }^n}xdx} + \left( {n - 1} \right)\int {{{\sin }^n}xdx} = - \cos x\,{\sin ^{n - 1}}x + \left( {n - 1} \right)\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx} ,}\;\; {\Rightarrow n\int {{{\sin }^n}xdx} = \left( {n - 1} \right)\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx} - \cos x\,{\sin ^{n - 1}}x,}\;\; {\Rightarrow \int {{{\sin }^n}xdx} = \frac{{n - 1}}{n}\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx} - \frac{{\cos x\,{{\sin }^{n - 1}}x}}{n}.} \]