Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Нормальную линейную неоднородную систему \(n\) уравнений с постоянными коэффициентами можно записать в виде \[ {\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {x'_i} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{x_j}\left( t \right)} + {f_i}\left( t \right),}\;\; {i = 1,2, \ldots ,n,} \] где \(t\) − независимая переменная (часто \(t\) означает время), \({{x_i}\left( t \right)}\) − неизвестные функции, которые являются непрерывными и дифференцируемыми на некотором интервале \(\left[ {a,b} \right]\) действительной числовой оси \(t,\) \({a_{ij}}\left( {i,j = 1, \ldots ,n} \right)\) − постоянные коэффициенты, \({f_i}\left( t \right)\) − заданные функции переменной \(t,\) непрерывные на \(\left[ {a,b} \right].\) Будем считать, что функции \({{x_i}\left( t \right)},\) \({{f_i}\left( t \right)}\) и коэффициенты \({a_{ij}}\) могут принимать как действительные, так и комплексные значения. Введем следующие векторы: \[\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),\;\; \mathbf{f}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( t \right)}\\ {{f_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( t \right)} \end{array}} \right)\] и квадратную матрицу \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \vdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \vdots &{{a_{2n}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \vdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right).\] Тогда систему уравнений можно представить в более компактной матричной форме: \[\mathbf{X}'\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right).\] Для линейных неоднородных систем, также как и в случае одного линейного неоднородного уравнения, справедлива следующая важная теорема: Общее решение \(\mathbf{X}\left( t \right)\) неоднородной системы представляет собой сумму общего решения \({\mathbf{X}_0}\left( t \right)\) соответствующей однородной системы и частного решения \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородной системы: \[\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right).\] Методы построения решения однородной системы рассмотрены нами на других web-страницах этого раздела. Поэтому ниже мы акцентируем основное внимание на том, как найти частное решение. Еще одним важным свойством линейных неоднородных систем является принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом: Если \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) − решение системы с неоднородной частью \({\mathbf{f}_1}\left( t \right),\) а \({\mathbf{X}_2}\left( t \right)\) − решение такой же системы с неоднородной частью \({\mathbf{f}_2}\left( t \right),\) то векторная функция \[\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_1}\left( t \right) + {\mathbf{X}_2}\left( t \right)\] будет являться решением системы с неоднородной частью \[\mathbf{f}\left( t \right) = {\mathbf{f}_1}\left( t \right) + {\mathbf{f}_2}\left( t \right).\] Наиболее распространенными способами решения неоднородных систем являются метод исключения, метод неопределенных коэффициентов (в случае, когда функция \(\mathbf{f}\left( t \right)\) является векторным квазимногочленом) и метод вариации постоянных. Рассмотрим указанные методы решения более подробно. Данный метод позволяет свести нормальную неоднородную систему \(n\) уравнений к одному уравнению \(n\)-го порядка. Этот способ удобно использовать для решения систем \(2\)-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов хорошо подходит для решения систем уравнений, неоднородная часть которых представляет собой квазимногочлен. Действительным векторным квазимногочленом называется вектор-функция вида \[\mathbf{f}\left( t \right) = {e^{\alpha t}}\left[ {\cos \left( {\beta t} \right){\mathbf{P}_m}\left( t \right) + \sin \left( {\beta t} \right){\mathbf{Q}_m}\left( t \right)} \right],\] где \(\alpha,\) \(\beta\) − заданные действительные числа, а \({{\mathbf{P}_m}\left( t \right)},\) \({{\mathbf{Q}_m}\left( t \right)}\) − векторные многочлены степени \(m.\) Например, векторный многочлен \({{\mathbf{P}_m}\left( t \right)}\) записывается как \[{\mathbf{P}_m}\left( t \right) = {\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t + {\mathbf{A}_2}{t^2} + \cdots + {\mathbf{A}_m}{t^m},\] где \({\mathbf{A}_0},{\mathbf{A}_2}, \ldots ,{\mathbf{A}_m}\) − \(n\)-мерные векторы (\(n\) − число уравнений в системе). В случае, когда неоднородная часть \(\mathbf{f}\left( t \right)\) является векторным квазимногочленом, то частное решение также будет представляться некоторым векторным квазимногочленом, похожим по структуре на \(\mathbf{f}\left( t \right).\) Так, например, если неоднородная функция равна \[\mathbf{f}\left( t \right) = {e^{\alpha t}}{\mathbf{P}_m}\left( t \right),\] то частное решение системы следует искать в виде \[{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = {e^{\alpha t}}{\mathbf{P}_{m + k}}\left( t \right),\] где \(k = 0\) в нерезонансном случае, т.е. когда показатель \(\alpha\) в экспоненциальной функции не совпадает ни с одним из собственных значений \({\lambda _i}.\) Если же показатель \(\alpha\) совпадает с каким-либо собственным значением \({\lambda _i},\) т.е. в так называемом резонансном случае, то значение \(k\) полагается равным длине жордановой цепочки для данного собственного числа \({\lambda _i}.\) На практике в качестве \(k\) можно брать алгебраическую кратность собственного значения \({\lambda _i}.\) Аналогичные правила определения степени многочленов применяются и для квазимногочленов вида \[{e^{\alpha t}}\cos \left( {\beta t} \right),\;\;{e^{\alpha t}}\sin\left( {\beta t} \right).\] Здесь резонансный случай возникает, если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с комплексным собственным значением \({\lambda _i}\) матрицы \(A.\) После выбора структуры частного решения \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неизвестные векторные коэффициенты \({A_0},{A_1}, \ldots ,{A_m}, \ldots ,{A_{m + k}}\) устанавливаются путем подстановки выражения для \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) в исходную систему и приравнивания коэффициентов при членах с одинаковыми степенями \(t\) в левой и правой части каждого уравнения. В случае произвольной правой части \(\mathbf{f}\left( t \right)\) общим методом решения является метод вариации постоянных (метод Лагранжа). Пусть общее решение однородной системы найдено и представляется в виде \[{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C},\] где \(\Phi \left( t \right)\) − фундаментальная система решений, т.е. матрица размером \(n \times n,\) столбцы которой образованы линейно независимыми решениями однородной системы, \(\mathbf{C} = {\left( {{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}} \right)^T}\) − вектор произвольных постоянных чисел \({C_i}\left( {i = 1, \ldots ,n} \right).\) Заменим постоянные числа \({C_i}\) на неизвестные функции \({C_i}\left( t \right)\) и подставим функцию \(\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)\) в неоднородную систему уравнений: \[\require{cancel} {\mathbf{X'}\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \cancel{\Phi '\left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)} + \Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = \cancel{A\Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)} + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( t \right).} \] Поскольку вронскиан системы не равен нулю, то существует обратная матрица \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).\) Умножая последнее уравнение слева на \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right),\) получаем: \[ {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \mathbf{C}\left( t \right) = {\mathbf{C}_0} + \int {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right)dt} ,} \] где \({\mathbf{C}_0}\) − произвольный постоянный вектор. Тогда общее решение неоднородной системы можно записать как \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right) } = {\Phi \left( t \right){\mathbf{C}_0} + \Phi \left( t \right)\int {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right)dt} } = {{\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right).} \] Отсюда видно, что частное решение неоднородного уравнения представляется формулой \[{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\int {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right)dt}.\] Таким образом, решение неоднородного уравнения выражается в квадратурах для любой неоднородной части \(\mathbf{f}\left( t \right).\) Во многих задачах соответствующие интегралы можно вычислить аналитически. Это позволяет выразить решение неоднородной системы в явном виде.

Пример 1

Решить систему уравнений методом исключения. \[x' = x + 2y + {e^{ - 2t}},\;\;y' = 4x - y.\] Продифференцируем первое уравнение и подставим в него производную \(y'\) из второго уравнения: \[ {x'' = x' + 2y' + 2{e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow x'' = x' + 2\left( {4x - y} \right) - 2{e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow x'' = x' + 8x - 2y - 2{e^{ - 2t}}.} \] Из первого уравнения системы выразим \(2y\) и подставим в последнее уравнение: \[ {2y = x' - x - {e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow x'' = x' + 8x - \left( {x' - x - {e^{ - 2t}}} \right) - 2{e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow x'' = x' + 8x - x' + x + {e^{ - 2t}} - 2{e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow x'' - 9x = - {e^{ - 2t}}.} \] Мы получили линейное неоднородное уравнение \(2\)-го порядка для функции \(x\left( t \right).\) Решаем сначала однородное уравнение \[x'' - 9x = 0.\] Корни характеристического уравнения равны \[{\lambda ^2} - 9 = 0,\;\; \Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \pm 3.\] Тогда решение однородного уравнения для \(x\left( t \right)\) имеет вид: \[{x_0}\left( t \right) = {C_1}{e^{3t}} + {C_2}{e^{ - 3t}},\] где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные числа. Учитывая вид неоднородной части в уравнении для \(x\left( t \right),\) будем искать частное решение \({x_1}\left( t \right)\) в виде \[{x_1}\left( t \right) = A{e^{ - 2t}}.\] Подставляя это пробное решение в неоднородное уравнение, определим коэффициент\(A:\) \[ {{\left( { - 2} \right)^2}A{e^{ - 2t}} - 9A{e^{ - 2t}} = - {e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow 4A - 9A = - 1,}\;\; {\Rightarrow 5A = 1,}\;\; {\Rightarrow A = \frac{1}{5}.} \] Итак, частное решение \({x_1}\left( t \right)\) выражается формулой \[{x_1}\left( t \right) = \frac{1}{5}{e^{ - 2t}}.\] Соответственно, общее решение для функции \(x\left( t \right)\) записывается как \[ {x\left( t \right) = {x_0}\left( t \right) + {x_1}\left( t \right) } = {{C_1}{e^{3t}} + {C_2}{e^{ - 3t}} + \frac{1}{5}{e^{ - 2t}}.} \] Остается найти функцию \(y\left( t \right).\) Вычислим производную \(x'\left( t \right)\) и подставим ее в первое уравнение исходной системы: \[ {x'\left( t \right) = 3{C_1}{e^{3t}} - 3{C_2}{e^{ - 3t}} - \frac{2}{5}{e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow 3{C_1}{e^{3t}} - 3{C_2}{e^{ - 3t}} - \frac{2}{5}{e^{ - 2t}} = {C_1}{e^{3t}} + {C_2}{e^{ - 3t}} + \frac{1}{5}{e^{ - 2t}} + 2y + {e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow 2y = 2{C_1}{e^{3t}} - 4{C_2}{e^{ - 3t}} - \frac{7}{5}{e^{ - 2t}},}\;\; {\Rightarrow y\left( t \right) = {C_1}{e^{3t}} - 2{C_2}{e^{ - 3t}} - \frac{7}{{10}}{e^{ - 2t}}.} \] Окончательный ответ записывается в следующем виде: \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = {C_1}{e^{3t}} + {C_2}{e^{ - 3t}} + \frac{1}{5}{e^{ - 2t}}\\ y\left( t \right) = {C_1}{e^{3t}} - 2{C_2}{e^{ - 3t}} - \frac{7}{{10}}{e^{ - 2t}} \end{array} \right..\]

Пример 2

Решить систему уравнений методом неопределенных коэффициентов: \[\frac{{dx}}{{dt}} = 2x + y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = 3y + t{e^t}.\] Запишем данную систему в матричной форме: \[ {\mathbf{X}'\left( t \right) = A\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\text{где}\;\;\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right)}\\ {y\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right),}\;\; {\mathbf{f}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {t{e^t}} \end{array}} \right).} \] Найдем сначала решение однородной системы. Вычислим собственные значения матрицы \(A:\) \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - \lambda }&1\\ 0&{3 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( {3 - \lambda } \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 2,\;{\lambda _2} = 3.} \] Определим собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) для числа \({\lambda _1} = 2:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 2}&1\\ 0&{3 - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow 0 \cdot {V_{11}} + 1 \cdot {V_{21}} = 0.} \] Видно, что \({V_{21}} = 0,\) а координата \({V_{11}}\) может быть произвольной. Для простоты выбираем \({V_{11}} = 1.\) Следовательно, \({\mathbf{V}_1} = {\left( {1,0} \right)^T}.\) Аналогично найдем собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T},\) соответствующий числу \({\lambda _2} = 3:\) \[ {\left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 3}&1\\ 0&{3 - 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {-1}&1\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow -{V_{12}} + {V_{22}} = 0.} \] Полагая \({V_{22}} = t,\) имеем: \({V_{12}} = {V_{22}} = t.\) Тогда \[ {{\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Таким образом, общее решение однородной системы выражается формулой \[ {{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) } = {{C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}{\mathbf{V}_2} } = {{C_1}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right).} \] Теперь найдем частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right).\) Правая часть имеет вид квазимногочлена \({\mathbf{P}_1}\left( t \right){e^t}.\) Степень показательной функции равна \(\alpha = 1.\) Поскольку она не совпадает ни с одним из собственных значений \({\lambda _1} = 2,\) \({\lambda _2} = 3,\) то частное решение будем искать в виде, аналогичном \(\mathbf{f}\left( t \right),\) т.е. полагаем \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) = {\mathbf{P}_1}\left( t \right){e^t},}\;\; {\text{где}\;\;{\mathbf{P}_1}\left( t \right) = {\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t.} \] Неизвестные векторы \({\mathbf{A}_0},{\mathbf{A}_1}\) найдем методом неопределенных коэффициентов. Пусть \[{\mathbf{A}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}\\ {{b_0}} \end{array}} \right),\;\;{\mathbf{A}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{b_1}} \end{array}} \right).\] Следовательно, частное решение можно записать как \[{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^t}}\\ {\left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^t}} \end{array}} \right).\] Подставляем \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) в исходное неоднородное уравнение: \[ {{\mathbf{X'}_1}\left( t \right) = A{\mathbf{X}_1}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}{e^t} + \left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^t}}\\ {{b_1}{e^t} + \left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^t}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{a_0} + {a_1}t} \right){e^t}}\\ {\left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^t}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {t{e^t}} \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{a_1} + {a_0} + {a_1}t} \right){e^t} = \left( {2{a_0} + 2{a_1}t} \right){e^t} + \left( {{b_0} + {b_1}t} \right){e^t}}\\ {\left( {{b_1} + {b_0} + {b_1}t} \right){e^t} = \left( {3{b_0} + 3{b_1}t} \right){e^t} + t{e^t}} \end{array}} \right..} \] В каждом уравнении обе части сокращаем на \({{e^t}}:\) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1} + {a_0} + {a_1}t = 2{a_0} + 2{a_1}t + {b_0} + {b_1}t}\\ {{b_1} + {b_0} + {b_1}t = 3{b_0} + 3{b_1}t + t} \end{array}} \right..\] Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями \(t,\) получаем следующую систему уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} {a_1} + {a_0} = 2{a_0} + {b_0}\\ {a_1} = 2{a_1} + {b_1}\\ {b_1} + {b_0} = 3{b_0}\\ {b_1} = 3{b_1} + 1 \end{array} \right.,\;\; \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = {a_0} + {b_0}\\ {a_1} + {b_1} = 0\\ {b_1} = 2{b_0}\\ 2{b_1} + 1 = 0 \end{array} \right..\] Решаем эту систему и находим неизвестные коэффициенты \({a_0},{a_1},{b_0},{b_1}:\) \[ {{b_1} = - \frac{1}{2},\;\;{b_0} = \frac{{{b_1}}}{2} = - \frac{1}{4},}\;\; {{a_1} = - {b_1} = \frac{1}{2},}\;\; {{a_0} = {a_1} - {b_0} = \frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}.} \] Таким образом, частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) записывается в виде: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {{\mathbf{P}_1}\left( t \right){e^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} + {a_1}t}\\ {{b_0} + {b_1}t} \end{array}} \right){e^t} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{4} + \frac{1}{2}t}\\ { - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}t} \end{array}} \right){e^t} } = {\frac{1}{4}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 2t}\\ { - 1 - 2t} \end{array}} \right).} \] Тогда общее решение исходной неоднородной системы выражается следующей формулой: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) } = {{C_1}{e^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^{3t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) } + {\frac{1}{4}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 2t}\\ { - 1 - 2t} \end{array}} \right).} \]

Пример 3

Решить систему уравнений методом неопределенных коэффициентов: \[\frac{{dx}}{{dt}} = x + {e^t},\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + y - {e^t}.\] Вычислим собственные значения \({\lambda _i}\) матрицы \(A\) и построим общее решение однородной системы: \[ {A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 1&1 \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&0\\ 1&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {1 - \lambda } \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 1.} \] Таким образом, здесь мы имеем одно собственное значение \({\lambda _1} = 1\) кратностью \({k_1} = 2.\) Найдем собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) для \({\lambda _1} = 1:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 1}&0\\ 1&{1 - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow 1 \cdot {V_{11}} + 0 \cdot {V_{21}} = 0.} \] Ясно, что \({V_{11}} = 0,\) а координата \({V_{21}}\) может быть произвольной. Полагая \({V_{21}} = 1,\) получаем \({\mathbf{V}_1} = {\left( {0,1} \right)^T}.\) Второй линейно независимый вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\) вычислим как присоединенный к \({\mathbf{V}_1}:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_2} = {\mathbf{V}_1},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow 1 \cdot {V_{12}} + 0 \cdot {V_{22}} = 1.} \] Здесь \({V_{12}} = 1,\) а \({V_{22}}\) можно выбрать произвольно, например, \({V_{22}} = 0.\) Тогда \({\mathbf{V}_2} = {\left( {1,0} \right)^T}.\) Общее решение однородной системы будет выражаться формулой \[ {{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = {C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) } + {{C_2}{e^t}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)} \right].} \] где \({C_1},{C_2}\) − произвольные постоянные. Как видно, длина жордановой цепочки для \({\lambda _1} = 1\) равна \(2.\) Теперь перейдем к определению частного решения \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородного уравнения. Неоднородные члены в каждом уравнении содержат экспоненциальные функции \({e^t},\) которые совпадают с экспоненциальной функцией в решении однородного уравнения. Это значит, что мы имеем резонансный случай. Следовательно, частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) следует искать в виде векторного квазимногочлена \[{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = {\mathbf{P}_{m + k}}\left( t \right){e^t},\] где \(m = 0\) (\(m\) означает степень векторного многочлена неоднородной части \(\mathbf{f}\left( t \right)\)) и \(k = 2\) (\(k\) − длина жордановой цепочки для резонансного собственного числа \({\lambda _1} = 1\)), Итак, в данном случае нужно выбрать многочлен второй степени: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = {\mathbf{P}_2}\left( t \right){e^t} } = {\left( {{\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t + {\mathbf{A}_2}{t^2}} \right){e^t}.} \] Векторные коэффициенты \({\mathbf{A}_0},{\mathbf{A}_1},{\mathbf{A}_2}\) определим прямой подстановкой функции \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) в неоднородную систему. Пусть \[ {{\mathbf{A}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}\\ {{b_0}} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{A}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{b_1}} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{A}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}\\ {{b_2}} \end{array}} \right).} \] Тогда \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right){e^t}}\\ {\left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right){e^t}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}}\\ {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \end{array}} \right){e^t}.} \] Производная равна \[ {{\mathbf{X'}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x'_1}\left( t \right)}\\ {{y'_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}}\\ {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \end{array}} \right){e^t} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + 2{a_2}t}\\ {{b_1} + 2{b_2}t} \end{array}} \right){e^t} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} + {a_1} + \left( {{a_1} + 2{a_2}} \right)t + {a_2}{t^2}}\\ {{b_0} + {b_1} + \left( {{b_1} + 2{b_2}} \right)t + {b_2}{t^2}} \end{array}} \right){e^t}.} \] После подстановки в исходную систему получаем: \[ {\left( {{a_0} + {a_1} + \left( {{a_1} + 2{a_2}} \right)t + {a_2}{t^2}} \right){e^t} } = {\left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right){e^t} + {e^t},} \] \[ {\left( {{b_0} + {b_1} + \left( {{b_1} + 2{b_2}} \right)t + {b_2}{t^2}} \right){e^t} } = {\left( {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}} \right){e^t} } + {\left( {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \right){e^t} - {e^t}.} \] Сокращая обе части каждого уравнения на \({e^t}\) и приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями \(t,\) получаем следующую систему для определения неизвестных коэффициентов: \[\left\{ \begin{array}{l} {a_0} + {a_1} + \left( {{a_1} + 2{a_2}} \right)t + \cancel{{a_2}{t^2}} = {a_0} + {a_1}t + \cancel{{a_2}{t^2}} + 1\\ {b_0} + {b_1} + \left( {{b_1} + 2{b_2}} \right)t + \cancel{{b_2}{t^2}} = {a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2} + {b_0} + {b_1}t + \cancel{{b_2}{t^2}} - 1 \end{array} \right.,\] \[ {\left\{ \begin{array}{l} \cancel{a_0} + {a_1} = \cancel{a_0} + 1\\ \cancel{a_1} + 2{a_2} = \cancel{a_1}\\ \cancel{a_2} = \cancel{a_2}\\ \cancel{b_0} + {b_1} = {a_0} + \cancel{b_0} - 1\\ \cancel{b_1} + 2{b_2} = {a_1} + \cancel{b_1}\\ \cancel{b_2} = {a_2} + \cancel{b_2} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1} = 1}\\ {{a_2} = 0}\\ {{b_1} = {a_0} - 1}\\ {2{b_2} = {a_1}} \end{array}} \right..} \] Здесь независимыми являются лишь \(4\) уравнения. Числа \({a_0}\) и \({b_0}\) можно выбрать произвольными, например, \({a_0} = 0,\) \({b_0} = 0.\) В результате коэффициенты имеют такие значения: \[ {{a_0} = 0,\;\;{a_1} = 1,\;\;{a_2} = 0,}\;\; {{b_0} = 0,}\;\; {{b_1} = - 1,}\;\; {{b_2} = \frac{1}{2}.} \] Итак, частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) выражается формулой \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} + {a_1}t + {a_2}{t^2}}\\ {{b_0} + {b_1}t + {b_2}{t^2}} \end{array}} \right){e^t} } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {\frac{1}{2}{t^2} - t} \end{array}} \right){e^t}.} \] Окончательно общее решение неоднородной системы записывается в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) } = {{C_1}{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) + {C_2}{e^t}\left[ {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) } + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)} \right] + {e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {\frac{1}{2}{t^2} - t} \end{array}} \right).} \]

Пример 4

Решить систему линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов: \[\frac{{dx}}{{dt}} = - y,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = x + \cos t.\] Построим сначала общее решение однородной системы. Собственные значения матрицы \(A\) равны: \[ {A = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{r}} { - \lambda }&{ - 1}\\ 1&{ - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} = - 1,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \pm i.} \] В данном случае мы имеем пару комплексно-сопряженных собственных значений кратностью \(1.\) В соответствии с общей теорией, найдем комплексное решение, например, для числа \({\lambda _1} = + i\) и выделим в нем действительную и мнимую части, которые составят фундаментальную систему решений. Вычислим собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) для числа \({\lambda _1} = + i:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - i}&{ - 1}\\ 1&{ - i} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow {V_{11}} - i{V_{21}} = 0.} \] Пусть \({V_{21}} = t.\) Тогда \({V_{11}} = i{V_{21}} = it.\) Следовательно, \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {it}\\ t \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right).} \] Собственное значение \({\lambda _1}\) и собственный вектор \({\mathbf{V}_1}\) образуют комплексное решение вида \[ {{\mathbf{Z}_1}\left( t \right) = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} } = {{e^{it}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right) } = {\left( {\cos t + i\sin t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {i\cos t - \sin t}\\ {\cos t + i\sin t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right) + i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right) } = {\text{Re}\left[ {{\mathbf{Z}_1}\left( t \right)} \right] + \text{Im}\left[ {{\mathbf{Z}_1}\left( t \right)} \right].} \] Общее решение однородной системы записывается как \[{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = {C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right) + {C_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right),\] где \({C_1},{C_2}\) − произвольные числа. Определим теперь частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородной системы. Здесь мы снова встречаемся с резонансным случаем, поскольку неоднородная часть \[\mathbf{f}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\cos t} \end{array}} \right)\] описывается комплексным числом \(\gamma = \alpha + \beta i = + i\) и совпадает с собственным значением \({\lambda _1} = +i\) матрицы \(A.\) Поэтому будем искать частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) в виде \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {{\mathbf{A}_0} + {\mathbf{A}_1}t} \right)\cos t } + {\left( {{\mathbf{B}_0} + {\mathbf{B}_1}t} \right)\sin t.} \] Пусть векторы \({\mathbf{A}_0},\) \({\mathbf{A}_1},\) \({\mathbf{B}_0},\) \({\mathbf{B}_1}\) имеют следующие координаты: \[ {{\mathbf{A}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}\\ {{b_0}} \end{array}} \right),\;\;{\mathbf{A}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{b_1}} \end{array}} \right),}\;\; {{\mathbf{B}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_0}}\\ {{d_0}} \end{array}} \right),\;\;{\mathbf{B}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}\\ {{d_1}} \end{array}} \right).} \] Тогда компоненты \({x_1}\left( t \right),{y_1}\left( t \right)\) вектора \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) можно представить в виде: \[{x_1}\left( t \right) = \left( {{a_0} + {a_1}t} \right)\cos t + \left( {{c_0} + {c_1}t} \right)\sin t,\] \[{y_1}\left( t \right) = \left( {{b_0} + {b_1}t} \right)\cos t + \left( {{d_0} + {d_1}t} \right)\sin t.\] Производные данных функций равны: \[ {{x'_1}\left( t \right) = {a_1}\cos t - \left( {{a_0} + {a_1}t} \right)\sin t } + {{c_1}\sin t + \left( {{c_0} + {c_1}t} \right)\cos t,} \] \[ {{y'_1}\left( t \right) = {b_1}\cos t - \left( {{b_0} + {b_1}t} \right)\sin t } + {{d_1}\sin t + \left( {{d_0} + {d_1}t} \right)\cos t.} \] Подставляем эти выражения в неоднородную систему: \[ {\color{blue}{{a_1}\cos t} - \color{red}{{a_0}\sin t} - \color{magenta}{{a_1}t\sin t} + \color{red}{{c_1}\sin t} } + {\color{blue}{{c_0}\cos t} + \color{green}{{c_1}t\cos t} } = { - \color{blue}{{b_0}\cos t} - \color{green}{{b_1}t\cos t} } - {\color{red}{{d_0}\sin t} - \color{magenta}{{d_1}t\sin t},} \] \[ {\color{blue}{{b_1}\cos t} - \color{red}{{b_0}\sin t} - \color{magenta}{{b_1}t\sin t} + \color{red}{{d_1}\sin t} } + {\color{blue}{{d_0}\cos t} + \color{green}{{d_1}t\cos t} } = { \color{blue}{{a_0}\cos t} + \color{green}{{a_1}t\cos t} } + {\color{red}{{c_0}\sin t} + \color{magenta}{{c_1}t\sin t} } + {\color{blue}{\cos t},} \] Приравнивая коэффициенты у подобных функций в левой и правой части, получаем алгебраическую систему для определения неизвестных коэффициентов: \[\left\{ \begin{array}{l} {a_1} + {c_0} = - {b_0}\\ - {a_0} + {c_1} = - {d_0}\\ - {a_1} = - {d_1}\\ {c_1} = - {b_1}\\ {b_1} + {d_0} = {a_0} + 1\\ - {b_0} + {d_1} = {c_0}\\ {d_1} = {a_1}\\ - {b_1} = {c_1} \end{array} \right..\] Часть уравнений в этой системе является зависимой от других. Поэтому некоторые коэффициенты можно взять произвольными (например, равными нулю). В результате получаем следующий набор чисел: \[ {{a_0} = 0,\;\;{b_0} = 0,}\;\; {{c_0} = 0,\;\;{d_0} = \frac{1}{2},}\;\; {{a_1} = 0,\;\;{b_1} = \frac{1}{2},}\;\; {{c_1} = - \frac{1}{2},\;\;{d_1} = 0.} \] Итак, частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) имеет вид: \[ {{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{y_1}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{a_0} + {a_1}t} \right)\cos t + \left( {{c_0} + {c_1}t} \right)\sin t}\\ {\left( {{b_0} + {b_1}t} \right)\cos t + \left( {{d_0} + {d_1}t} \right)\sin t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{2}t\sin t}\\ {\frac{1}{2}t\cos t + \frac{1}{2}\sin t} \end{array}} \right).} \] Общее решение исходной системы записывается как \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) } = {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right) + {C_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right) } + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{2}t\sin t}\\ {\frac{1}{2}t\cos t + \frac{1}{2}\sin t} \end{array}} \right).} \]

Пример 5

Решить систему уравнений методом вариации постоянных: \[\frac{{dx}}{{dt}} = y + \frac{1}{{\cos t}},\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - x.\] Построим сначала общее решение однородной системы. Вычислим собственные значения: \[ {A = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right),}\;\; {\Rightarrow \det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{r}} {-\lambda} &1\\ { - 1}&{ - \lambda } \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} = - 1,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \pm i.} \] Для собственного числа \({\lambda _1} = + i\) найдем комплексный собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}:\) \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - i}&1\\ { - 1}&{ - i} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow - i{V_{11}} + {V_{21}} = 0.} \] Полагаем \({V_{11}} = t.\) Тогда \({V_{21}} = i{V_{11}} = it.\) Следовательно, \[ {{\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {it} \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ i \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ i \end{array}} \right).} \] Собственному значению \({\lambda _1}\) и собственному вектору \({\mathbf{V}_1}\) соответствует решение вида \[ {{\mathbf{Z}_1}\left( t \right) = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} = {e^{it}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ i \end{array}} \right) } = {\left( {\cos t + i\sin t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ i \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t + i\sin t}\\ {i\cos t - \sin t} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ { - \sin t} \end{array}} \right) + i\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right).} \] Действительная и мнимая части в последнем выражении образуют фундаментальную систему решений: \[{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = {C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ { - \sin t} \end{array}} \right) + {C_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right),\] где \({C_1},{C_2}\) − произвольные постоянные. Запишем полученное решение отдельно для каждой координаты: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_0}\left( t \right) = {C_1}\cos t + {C_2}\sin t\\ {y_0}\left( t \right) = - {C_1}\sin t + {C_2}\cos t \end{array} \right..\] Теперь рассмотрим неоднородную систему. В соответствии с методом вариации постоянных, будем считать, что \({C_1},{C_2}\) являются функциями переменной \(t:\) \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = {C_1}\left( t \right)\cos t + {C_2}\left( t \right)\sin t\\ y\left( t \right) = - {C_1}\left( t \right)\sin t + {C_2}\left( t \right)\cos t \end{array} \right..\] Подставим эти выражения в исходную неоднородную систему: \[ {\left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\cos t - \cancel{{C_1}\sin t} + {C'_2}\sin t + \cancel{{C_2}\cos t} = - \cancel{{C_1}\sin t} + \cancel{{C_2}\cos t} + \frac{1}{{\cos t}}\\ - {C'_1}\sin t - \cancel{{C_1}\cos t} + {C'_2}\cos t - \cancel{{C_2}\sin t} = - \cancel{{C_1}\cos t} - \cancel{{C_2}\sin t} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C'_1}\cos t + {C'_2}\sin t = \frac{1}{{\cos t}}\\ - {C'_1}\sin t + {C'_2}\cos t = 0 \end{array} \right..} \] Решим полученную систему и найдем функции \({C_1}\left( t \right),\) \({C_2}\left( t \right).\) Это удобно сделать, используя формулы Крамера: \[ {\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{r}} {\cos t}&{\sin t}\\ { - \sin t}&{\cos t} \end{array}} \right| = {\cos ^2}t + {\sin ^2}t = 1,}\;\; {{\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\cos t}}}&{\sin t}\\ 0&{\cos t} \end{array}} \right| = \frac{1}{{\cos t}} \cdot \cos t - 0 = 1,}\;\; {{\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{r}} {\cos t}&{\frac{1}{{\cos t}}}\\ { - \sin t}&0 \end{array}} \right| = 0 + \frac{1}{{\cos t}} \cdot \sin t = \tan t.} \] Отсюда получаем \[ {{C'_1} = \frac{{{\Delta _1}}}{\Delta } = \frac{1}{1} = 1,}\;\; {{C'_2} = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta } = \frac{{\tan t}}{1} = \tan t.} \] Интегрируя, находим: \[ {{C_1}\left( t \right) = \int {1dt} = t + {A_1},}\;\; {{C_2}\left( t \right) = \int {\tan tdt} } = {\int {\frac{{\sin t}}{{\cos t}}dt} } = { - \int {\frac{{d\left( {\cos t} \right)}}{{\cos t}}dt} } = { - \ln \left| {\cos t} \right| + {A_2},} \] где \({A_1},{A_2}\) − постоянные интегрирования. В результате получаем следующие выражения для \(x\left( t \right)\) и \(y\left( t \right):\) \[ {x\left( t \right) = {C_1}\left( t \right)\cos t + {C_2}\left( t \right)\sin t } = {\left( {t + {A_1}} \right)\cos t + \left( { - \ln \left| {\cos t} \right| + {A_2}} \right)\sin t } = {{A_1}\cos t + {A_2}\sin t + t\cos t - \sin t\ln \left| {\cos t} \right|,} \] \[ {y\left( t \right) = - {C_1}\left( t \right)\sin t + {C_2}\left( t \right)\cos t } = { - \left( {t + {A_1}} \right)\sin t + \left( { - \ln \left| {\cos t} \right| + {A_2}} \right)\cos t } = { - {A_1}\sin t + {A_2}\cos t - t\sin t - \cos t\ln \left| {\cos t} \right|.} \] Первые два слагаемых с коэффициентами \({A_1},{A_2}\) в каждом выражении описывают решение однородной системы. Остальные части обусловлены неоднородной частью. Окончательный ответ можно представить в виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right)}\\ {y\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ { - \sin t} \end{array}} \right) } + {{A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right) } + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t\cos t - \sin t\ln \left| {\cos t} \right|}\\ { - t\sin t - \cos t\ln \left| {\cos t} \right|} \end{array}} \right).} \]

Пример 6

Решить линейную неоднородную систему методом вариации постоянных. \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = 2x - y + {e^{2t}},}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = 6x - 3y + {e^t} + 1.} \] Начнем с построения общего решения однородной системы. Вычислим собственные значения матрицы \(A\) и соответствующие им собственные векторы. \[ {\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 6&{ - 3} \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2 - \lambda } \right)\left( { - 3 - \lambda } \right) + 6 = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right)\left( {\lambda + 3} \right) + 6 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} - 2\lambda + 3\lambda - \cancel{6} + \cancel{6} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2} + \lambda = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda \left( {\lambda + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = 0,\;{\lambda _2} = - 1.} \] Для числа \({\lambda _1} = 0\) собственный вектор \({\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T}\) равен: \[ {\left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 6&{ - 3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow 2{V_{11}} - {V_{21}} = 0,}\;\; {{V_{11}} = t,}\;\; {\Rightarrow {V_{21}} = 2{V_{11}} = 2t,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{11}}}\\ {{V_{21}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {2t} \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right).} \] Аналогично находим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T},\) ассоциированный с числом \({\lambda _2} = -1:\) \[ {\left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}\\ 6&{ - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\; {\Rightarrow 3{V_{12}} - {V_{22}} = 0,}\;\; {{V_{12}} = t,}\;\; {\Rightarrow {V_{22}} = 3{V_{12}} = 3t,}\;\; {\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{12}}}\\ {{V_{22}}} \end{array}} \right) } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} t\\ {3t} \end{array}} \right) } = {t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right) } \sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right).} \] Итак, общее решение однородной системы имеет вид: \[ {{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0}\left( t \right)}\\ {{y_0}\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right) + {C_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right),} \] где \({C_1},{C_2}\) − постоянные числа. Рассмотрим исходную неоднородную систему и найдем ее решение методом вариации постоянных. Заменим постоянные числа \({C_1},{C_2}\) на функции \({C_1}\left( t \right),\) \({C_2}\left( t \right),\) т.е. будем искать решение в виде: \[\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}\left( t \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right) + {C_2}\left( t \right){e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right)\] или \[\left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = {C_1}\left( t \right) + {C_2}\left( t \right){e^{ - t}}\\ y\left( t \right) = 2{C_1}\left( t \right) + 3{C_2}\left( t \right){e^{ - t}} \end{array} \right..\] Производные данных функций равны: \[ \left\{ \begin{array}{l} x'\left( t \right) = {C'_1} + {C'_2}{e^{ - t}} - {C_2}{e^{ - t}}\\ y'\left( t \right) = 2{C'_1} + 3{C'_2}{e^{ - t}} - 3{C_2}{e^{ - t}} \end{array} \right.. \] Подставляем эти выражения в неоднородную систему: \[ {\left\{ \begin{array}{l} {C'_1} + {C'_2}{e^{ - t}} - \cancel{{C_2}{e^{ - t}}} = \cancel{2{C_1}} + \cancel{2{C_2}{e^{ - t}}} - \cancel{2{C_1}} - \cancel{3{C_2}{e^{ - t}}} + {e^{2t}}\\ 2{C'_1} + 3{C'_2}{e^{ - t}} - \cancel{3{C_2}{e^{ - t}}} = \cancel{6{C_1}} + \cancel{6{C_2}{e^{ - t}}} - \cancel{6{C_1}} - \cancel{9{C_2}{e^{ - t}}} + {e^t} + 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C'_1} + {C'_2}{e^{ - t}} = {e^{2t}}}\\ {2{C'_1} + 3{C'_2}{e^{ - t}} = {e^t} + 1} \end{array}} \right..} \] Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим производные \({C'_1},{C'_2}\) и затем сами функции \({C_1}\left( t \right),{C_2}\left( t \right):\) \[ {\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{e^{ - t}}}\\ 2&{3{e^{ - 2t}}} \end{array}} \right| } = {3{e^{ - t}} - 2{e^{ - t}} = {e^{ - t}},} \] \[ {{\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{2t}}}&{{e^{ - t}}}\\ {{e^t} + 1}&{3{e^{ - 2t}}} \end{array}} \right| } = {3{e^{2t}}{e^{ - t}} - {e^{ - t}}\left( {{e^t} + 1} \right) } = {3{e^t} - {e^{ - t}} - 1,} \] \[ {{\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{e^{2t}}}\\ 2&{{e^t} + 1} \end{array}} \right| } = {{e^t} - 2{e^{2t}} + 1,} \] \[ {\Rightarrow {C'_1} = \frac{{{\Delta _1}}}{\Delta } = \frac{{3{e^t} - {e^{ - t}} - 1}}{{{e^{ - t}}}} } = {3{e^{2t}} + {e^t} - 1,} \] \[ {\Rightarrow {C'_2} = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta } = \frac{{{e^t} - 2{e^{2t}} + 1}}{{{e^{ - t}}}} } = {{e^{2t}} - 2{e^{3t}} + {e^t}.} \] Интегрируя, получаем: \[ {{C_1}\left( t \right) = \int {\left( {3{e^{2t}} + {e^t} - 1} \right)dt} } = {\frac{3}{2}{e^{2t}} + {e^t} - t + {A_1},} \] \[ {{C_2}\left( t \right) = \int {\left( {{e^{2t}} - 2{e^{3t}} + {e^t}} \right)dt} } = {\frac{1}{2}{e^{2t}} - \frac{2}{3}{e^{3t}} + {e^t} + {A_2}.} \] Функции \(x\left( t \right),y\left( t \right)\) будут иметь следующий вид: \[ {x\left( t \right) = {C_1}\left( t \right) + {C_2}\left( t \right){e^{ - t}} } = {\left( {\frac{3}{2}{e^{2t}} + {e^t} - t + {A_1}} \right) } + {\left( {\frac{1}{2}{e^{2t}} - \frac{2}{3}{e^{3t}} + {e^t} + {A_2}} \right){e^{ - t}} } = {{A_1} + {A_2}{e^{ - t}} + \frac{3}{2}{e^{2t}} } + {{e^t} - t + \frac{1}{2}{e^t} } - {\frac{2}{3}{e^{2t}} + 1 } = {{A_1} + {A_2}{e^{ - t}} + \frac{5}{9}{e^{2t}} } + {\frac{3}{2}{e^t} - t + 1,} \] \[ {y\left( t \right) = 2{C_1}\left( t \right) + 3{C_2}\left( t \right){e^{ - t}} } = {2\left( {\frac{3}{2}{e^{2t}} + {e^t} - t + {A_1}} \right) } + {3\left( {\frac{1}{2}{e^{2t}} - \frac{2}{3}{e^{3t}} + {e^t} + {A_2}} \right){e^{ - t}} } = {2{A_1} + 3{A_2}{e^{ - t}} + 3{e^{2t}} + 2{e^t} - 2t } + {\frac{3}{2}{e^t} - 2{e^{2t}} + 3 } = {2{A_1} + 3{A_2}{e^{ - t}} + {e^{2t}} } + {\frac{7}{2}{e^t} - 2t + 3.} \] Окончательный ответ можно представить в таком виде: \[ {\mathbf{X}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right)}\\ {y\left( t \right)} \end{array}} \right) } = {{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right) + {A_2}{e^{ - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right) } + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{5}{9}{e^{2t}} + \frac{3}{2}{e^t} - t + 1}\\ {{e^{2t}} + \frac{7}{2}{e^t} - 2t + 3} \end{array}} \right).} \] Заметим, что в данной задаче неоднородная часть состоит из квазимногочленов. Поэтому решение этой системы можно также получить, используя метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции.