-
Действительные числа состоят из положительных действительных чисел, отрицательных действительных чисел и числа ноль. \(\mathbb{R} = \mathbb{R^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{R^ + }\)
-
Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа. \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)
-
Примеры иррациональных чисел \(\pi = 3.141592653 \ldots \), \(e = 2.718281828 \ldots \), \(\sqrt 2 = 1.414213562 \ldots \), \(\ln 3 = 1.098612289 \ldots \)
-
Свойство упорядоченности Для любой пары действительных чисел \(a\) и \(b\) справедливо одно и только одно из следующих соотношений: \(a = b,\;a>b,\;a<b\)
-
Свойство транзитивности Если \(a \le b\) и \(b \le c\), то \(a \le c\)
-
Если \(a \le b\), то \(a + c \le b + c\)
-
Если \(a>0\) и \(b>0\), то \(ab>0\)
-
Коммутативность сложения \(a + b = b + a\)
-
Ассоциативность сложения \(a + (b + c) = (a + b) + c\)
-
Существование нейтрального (нулевого) элемента при сложении \(a + 0 = a\)
-
Существование противоположного элемента Для любого действительного числа \(a\) существует противоположное число \(-a\), такое, что \(a + (-a) = 0\)
-
Коммутативность умножения \(a \cdot b = b \cdot a\)
-
Ассоциативность умножения \(a \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c\)
-
Дистрибутивность умножения относительно сложения \(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)
-
Существование нейтрального элемента (единицы) при умножении \(a \cdot 1 = a\)
-
\(a \cdot 0 = 0\)
-
Существование обратного элемента Для любого действительного числа \(a \ne 0\) существует противоположное число \({a^{ - 1}}\), такое, что \(a \cdot {a^{ - 1}} = 1\)
-
Аксиома Архимеда Для любой пары положительных действительных чисел \(a\) и \(b\) число \(a\) можно повторить в качестве слагаемого столько раз, что в результате сумма будет больше числа \(b\): \(a + a + \ldots + a>b\)
-
Свойство непрерывности действительных чисел Пусть заданы два непустых множества \(A \subset \mathbb{R}\) и \(B \subset \mathbb{R}\), причем для любых двух чисел \(a \in A\) и \(b \in B\) выполняется неравенство \(a \le b\). Тогда существует число \(\xi \in \mathbb{R}\), такое, что для всех чисел \(a \in A\) и \(b \in B\) справедливо соотношение \(a \le \xi \le b\)
Действительные числа
Множества действительных чисел: \(\mathbb{R}\), \(A\), \(B\)
Множество положительных действительных чисел: \(\mathbb{R^ + }\)
Множество отрицательных действительных чисел: \(\mathbb{R^ - }\)
Множество рациональных чисел: \(\mathbb{Q}\)
Множество иррациональных чисел: \(\mathbb{I}\)
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(\xi\)