Действительные числа
Множества действительных чисел: \(\mathbb{R}\), \(A\), \(B\) Множество положительных действительных чисел: \(\mathbb{R^ + }\) Множество отрицательных действительных чисел: \(\mathbb{R^ - }\)
Множество рациональных чисел: \(\mathbb{Q}\) Множество иррациональных чисел: \(\mathbb{I}\) Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(\xi\)

  1. Действительные числа состоят из положительных действительных чисел, отрицательных действительных чисел и числа ноль. \(\mathbb{R} = \mathbb{R^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{R^ + }\)

  2. Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа. \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)

  3. Примеры иррациональных чисел \(\pi = 3.141592653 \ldots \), \(e = 2.718281828 \ldots \), \(\sqrt 2 = 1.414213562 \ldots \), \(\ln 3 = 1.098612289 \ldots \)

  4. Свойство упорядоченности Для любой пары действительных чисел \(a\) и \(b\) справедливо одно и только одно из следующих соотношений: \(a = b,\;a>b,\;a<b\)

  5. Свойство транзитивности Если \(a \le b\) и \(b \le c\), то \(a \le c\)

  6. Если \(a \le b\), то \(a + c \le b + c\)

  7. Если \(a>0\) и \(b>0\), то \(ab>0\)

  8. Коммутативность сложения \(a + b = b + a\)

  9. Ассоциативность сложения \(a + (b + c) = (a + b) + c\)

  10. Существование нейтрального (нулевого) элемента при сложении \(a + 0 = a\)

  11. Существование противоположного элемента Для любого действительного числа \(a\) существует противоположное число \(-a\), такое, что \(a + (-a) = 0\)

  12. Коммутативность умножения \(a \cdot b = b \cdot a\)

  13. Ассоциативность умножения \(a \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c\)

  14. Дистрибутивность умножения относительно сложения \(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

  15. Существование нейтрального элемента (единицы) при умножении \(a \cdot 1 = a\)

  16. \(a \cdot 0 = 0\)

  17. Существование обратного элемента Для любого действительного числа \(a \ne 0\) существует противоположное число \({a^{ - 1}}\), такое, что \(a \cdot {a^{ - 1}} = 1\)

  18. Аксиома Архимеда Для любой пары положительных действительных чисел \(a\) и \(b\) число \(a\) можно повторить в качестве слагаемого столько раз, что в результате сумма будет больше числа \(b\): \(a + a + \ldots + a>b\)

  19. Свойство непрерывности действительных чисел Пусть заданы два непустых множества \(A \subset \mathbb{R}\) и \(B \subset \mathbb{R}\), причем для любых двух чисел \(a \in A\) и \(b \in B\) выполняется неравенство \(a \le b\). Тогда существует число \(\xi \in \mathbb{R}\), такое, что для всех чисел \(a \in A\) и \(b \in B\) справедливо соотношение \(a \le \xi \le b\)