Действительные числа
Множество рациональных чисел: Q\mathbb{Q} Множество иррациональных чисел: I\mathbb{I} Действительные числа: aa, bb, cc, dd, ξ\xi
  1. Действительные числа состоят из положительных действительных чисел, отрицательных действительных чисел и числа ноль. R=R{0}R+\mathbb{R} = \mathbb{R^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{R^ + }

  2. Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа. R=QI\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

  3. Примеры иррациональных чисел π=3.141592653\pi = 3.141592653 \ldots , e=2.718281828e = 2.718281828 \ldots , 2=1.414213562\sqrt 2 = 1.414213562 \ldots , ln3=1.098612289\ln 3 = 1.098612289 \ldots

  4. Свойство упорядоченности Для любой пары действительных чисел aa и bb справедливо одно и только одно из следующих соотношений: a=b,  a>b,  a<ba = b,\;a>b,\;a<b

  5. Свойство транзитивности Если aba \le b и bcb \le c, то aca \le c

  6. Если aba \le b, то a+cb+ca + c \le b + c

  7. Если a>0a>0 и b>0b>0, то ab>0ab>0

  8. Коммутативность сложения a+b=b+aa + b = b + a

  9. Ассоциативность сложения a+(b+c)=(a+b)+ca + (b + c) = (a + b) + c

  10. Существование нейтрального (нулевого) элемента при сложении a+0=aa + 0 = a

  11. Существование противоположного элемента Для любого действительного числа aa существует противоположное число a-a, такое, что a+(a)=0a + (-a) = 0

  12. Коммутативность умножения ab=baa \cdot b = b \cdot a

  13. Ассоциативность умножения a(bc)=(ab)ca \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c

  14. Дистрибутивность умножения относительно сложения a(b+c)=ab+aca \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c

  15. Существование нейтрального элемента (единицы) при умножении a1=aa \cdot 1 = a

  16. a0=0a \cdot 0 = 0

  17. Существование обратного элемента Для любого действительного числа a0a \ne 0 существует противоположное число a1{a^{ - 1}}, такое, что aa1=1a \cdot {a^{ - 1}} = 1

  18. Аксиома Архимеда Для любой пары положительных действительных чисел aa и bb число aa можно повторить в качестве слагаемого столько раз, что в результате сумма будет больше числа bb: a+a++a>ba + a + \ldots + a>b

  19. Свойство непрерывности действительных чисел Пусть заданы два непустых множества ARA \subset \mathbb{R} и BRB \subset \mathbb{R}, причем для любых двух чисел aAa \in A и bBb \in B выполняется неравенство aba \le b. Тогда существует число ξR\xi \in \mathbb{R}, такое, что для всех чисел aAa \in A и bBb \in B справедливо соотношение aξba \le \xi \le b