Действительные числа состоят из положительных действительных чисел, отрицательных действительных чисел и числа ноль. $\mathbb{R} = \mathbb{R^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{R^ + }$

Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа. $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел $\pi = 3.141592653 \ldots$, $e = 2.718281828 \ldots$, $\sqrt 2 = 1.414213562 \ldots$, $\ln 3 = 1.098612289 \ldots$

Свойство упорядоченности Для любой пары действительных чисел $a$ и $b$ справедливо одно и только одно из следующих соотношений: $a = b,\;a>b,\;a<b$

Свойство транзитивности Если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$

Если $a \le b$, то $a + c \le b + c$

Если $a>0$ и $b>0$, то $ab>0$

Коммутативность сложения $a + b = b + a$

Ассоциативность сложения $a + (b + c) = (a + b) + c$

Существование нейтрального (нулевого) элемента при сложении $a + 0 = a$

Существование противоположного элемента Для любого действительного числа $a$ существует противоположное число $-a$, такое, что $a + (-a) = 0$

Коммутативность умножения $a \cdot b = b \cdot a$

Ассоциативность умножения $a \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c$

Дистрибутивность умножения относительно сложения $a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c$

Существование нейтрального элемента (единицы) при умножении $a \cdot 1 = a$

$a \cdot 0 = 0$

Существование обратного элемента Для любого действительного числа $a \ne 0$ существует противоположное число ${a^{ - 1}}$, такое, что $a \cdot {a^{ - 1}} = 1$

Аксиома Архимеда Для любой пары положительных действительных чисел $a$ и $b$ число $a$ можно повторить в качестве слагаемого столько раз, что в результате сумма будет больше числа $b$: $a + a + \ldots + a>b$

Свойство непрерывности действительных чисел Пусть заданы два непустых множества $A \subset \mathbb{R}$ и $B \subset \mathbb{R}$, причем для любых двух чисел $a \in A$ и $b \in B$ выполняется неравенство $a \le b$. Тогда существует число $\xi \in \mathbb{R}$, такое, что для всех чисел $a \in A$ и $b \in B$ справедливо соотношение $a \le \xi \le b$