Рациональные числа
Множество рациональных чисел: \(\mathbb{Q}\) Множество целых чисел: \(\mathbb{Z}\) Множество положительных рациональных чисел: \(\mathbb{Q^ + }\) Множество отрицательных рациональных чисел: \(\mathbb{Q^ - }\)
Целые числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) Натуральные числа: \(n\)

  1. Рациональные числа представляются в виде обыкновенной дроби \(\large\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) − целые числа и \(b \ne 0.\) \(\mathbb{Q} = \left\{ {x \mid x = \large\frac{a}{b},\;\normalsize a \in \mathbb{Z},\;b \in \mathbb{Z},\;b \ne 0} \right\}\)

  2. Рациональные числа включают в себя положительные рациональные числа, отрицательные рациональные числа и число ноль. \(\mathbb{Q} = \mathbb{Q^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{Q^ + }\)

  3. Правильная дробь Дробь \(\large\frac{a}{b}\) является правильной, если модуль ее числителя меньше модуля знаменателя: \(\left| a \right|<\left| b \right|\).

  4. Неправильная дробь Дробь \(\large\frac{a}{b}\) является неправильной, если модуль ее числителя больше или равен модулю знаменателя: \(\left| a \right| \ge \left| b \right|\).

  5. Высота обыкновенной дроби Высота дроби \(\large\frac{a}{b}\) равна сумме модуля числителя и модуля знаменателя: \(\left| a \right| + \left| b \right|\).

  6. Обратное значение дроби \(\large\frac{1}{{a/b}} = \frac{b}{a}\;\;\normalsize\left( {a \ne 0,\;b \ne 0} \right)\)

  7. Любое целое число может быть представлено в виде рационального числа: \(a = \large\frac{a}{1}\)

  8. \(\large\frac{0}{a}=\normalsize 0\)

  9. Равенство рациональных чисел \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) тогда и только тогда, когда \(ad = bc\) (свойство пропорции).

  10. Расширение дроби \(\large\frac{a}{b} = \frac{{na}}{{nb}}\;\;\normalsize\left( {n \ne 0} \right)\)

  11. Сокращение дроби \(\large\frac{{na}}{{nb}} = \frac{a}{b}\)

  12. Упорядоченность рациональных чисел \(\large\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\) тогда и только тогда, когда \(ad>bc\).

  13. \(\large\frac{a}{b}>\frac{c}{b}\), если \(a>c\) (\(a>0\), \(b>0\), \(c>0\)).

  14. \(\large\frac{a}{b}<\frac{a}{c}\), если \(b>c\) (\(a>0\), \(b>0\), \(c>0\)).

  15. Сложение рациональных чисел \(\large\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{{ad + bc}}{{bd}}\)

  16. Вычитание рациональных чисел \(\large\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{{ad - bc}}{{bd}}\)

  17. Умножение рациональных чисел \(\large\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{ac}}{{bd}}\)

  18. Умножение целого числа на рациональное число \(a \cdot \large\frac{b}{c} = \frac{a}{1} \cdot \frac{b}{c} = \frac{{ab}}{c}\)

  19. Деление рациональных чисел \(\large\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{ad}}{{bc}}\;\;\normalsize\left( {c \ne 0} \right)\)

  20. Деление целого числа на рациональное число \(a:\large\frac{b}{c} = \frac{a}{1}:\frac{b}{c} = \normalsize a \cdot \large\frac{c}{b} = \frac{{ac}}{b}\;\;\normalsize\left( {b \ne 0} \right)\)

  21. Деление рационального числа на целое число \(\large\frac{a}{b}:\normalsize c = \large\frac{a}{b}:\frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{{bc}}\;\;\normalsize\left( {c \ne 0} \right)\)

  22. Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем \(\large{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)