Число е

Число \(e\) выражается через предел следующим образом: \[e = \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}.\] Это число является трансцендентным и приблизительно равно \(2.718281828\ldots\) (\(2.7\), затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку \(u = \large\frac{1}{n}\normalsize\), где \(u = \large\frac{1}{n}\normalsize \to 0\) при \(n \to \pm \infty\), получим альтернативную формулу для данного предела: \[e = \lim\limits_{u \to 0} {\left( {1 + u} \right)^u}.\] Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу \(a\) (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

Пример 1

Вычислить предел \(\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{1}{n}}\normalsize \right)^{n + 5}}\). \[ {\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 5}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^5}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \cdot \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^5} } = {e \cdot 1 = e.} \]

Пример 2

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{1}{x}}\normalsize \right)^{3x}}\). Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем \[ {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{3x}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}} \right] } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \cdot \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \cdot \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} } = {e \cdot e \cdot e = {e^3}.} \]

Пример 3

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{6}{x}}\normalsize \right)^x}\). Сделаем замену: \(\large\frac{6}{x}\normalsize = \large\frac{1}{y}\normalsize\), так что \(x = 6y\) и \(y \to \infty\), если \(x \to \infty\). В результате получаем \[ {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{6}{x}} \right)^x} } = {\lim\limits_{y \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)^{6y}} } = {\lim\limits_{y \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)}^y}} \right]^6} } = {{\left[ {\lim\limits_{y \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)}^y}} \right]^6} = {e^6}.} \]

Пример 4

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 0} \sqrt[\large x\normalsize]{{1 + 3x}}\). \[ {\lim\limits_{x \to 0} \sqrt[\large x\normalsize]{{1 + 3x}} = \lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + 3x} \right)^{\large\frac{1}{x}\normalsize}} } = {\lim\limits_{3x \to 0} {\left( {1 + 3x} \right)^{\large\frac{1}{{3x}}\normalsize \cdot 3}} } = {\lim\limits_{3x \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\large\frac{1}{{3x}}\normalsize}}} \right]^3} } = {{\left[ {\lim\limits_{3x \to 0} {{\left( {1 + 3x} \right)}^{\large\frac{1}{{3x}}\normalsize}}} \right]^3} = {e^3}.} \]

Пример 5

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{{x + a}}{{x - a}}\normalsize} \right)^x}\). Сначала преобразуем основание функции: \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + a}}{{x - a}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x - a + 2a}}{{x - a}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)^x}.} \] Введем новую переменную: \(y = \large\frac{{2a}}{{x - a}}\normalsize\). Если \(x \to \infty\), то \(y \to 0\) и \[x - a = \frac{{2a}}{y},\;\;x = a + \frac{{2a}}{y}.\] В результате замены получаем \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^{a + \large\frac{{2a}}{y}\normalsize}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^a} \cdot \lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^{\large\frac{{2a}}{y}\normalsize}} } = {1 \cdot {e^{2a}} = {e^{2a}}.} \]

Пример 6

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{x}{{x + 1}}\normalsize} \right)^x}\). Предварительно преобразуем основание: \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)^x}.} \] Пусть \({ - \large\frac{1}{{x + 1}}\normalsize} = y\). Тогда \[x + 1 = - \frac{1}{y},\;\; \Rightarrow x = - \frac{1}{y} - 1\;\; {\text{и}\;\; y \to 0,\;\;\text{если}\;\;x \to \infty .} \] Теперь можно найти предел: \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^{ - \large\frac{1}{y}\normalsize - 1}} } = {\frac{{\lim\limits_{y \to 0} {{\left( {1 + y} \right)}^{ - \large\frac{1}{y}\normalsize}}}}{{\lim\limits_{y \to 0} {{\left( {1 + y} \right)}^{ + 1}}}} } = {\frac{{\lim\limits_{y \to 0} {{\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]}^{ - 1}}}}{1} } = {{\left[ {\lim\limits_{y \to 0} {{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{ - 1}} = \frac{1}{e}} \]

Пример 7

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{{x + 3}}{{x - 2}}\normalsize} \right)^{x - 1}}\). Преобразуем предел следующим образом: \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 3}}{{x - 2}}} \right)^{x - 1}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x - 2 + 5}}{{x - 2}}} \right)^{x - 1}}} = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{5}{{x - 2}}} \right)^{x - 1}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{5}{{x - 2}}} \right)^{\left( {\large\frac{{x - 2}}{5} \cdot \frac{5}{{x - 2}}\normalsize} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{5}{{x - 2}}} \right)}^{\large\frac{{x - 2}}{5}}\normalsize}} \right]^{\large\frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}}}\normalsize.} \] Сделаем замену: \[ {\frac{5}{{x - 2}} = y,}\;\; {\Rightarrow x - 2 = \frac{5}{y},}\;\; {\Rightarrow x = \frac{5}{y} + 2.} \] Здесь \(y \to 0\) когда \(x \to \infty\). Тогда предел равен \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{5}{{x - 2}}} \right)}^{\large\frac{{x - 2}}{5}\normalsize}}} \right]^{\large\frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\normalsize}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{y\left( {\large\frac{5}{y}\normalsize + 2 - 1} \right)}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{5 + y}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^5} \cdot \lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^y} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^5} \cdot \lim\limits_{y \to 0} \left( {1 + y} \right) = {e^5} \cdot 1 = {e^5}.} \]

Пример 8

Найти предел \(\lim\limits_{x \to a} \large\frac{{\ln x - \ln a}}{{x - a}}\normalsize,\;\left( {a>0} \right)\). Пусть \(x - a = t\). Легко видеть, что \(t \to 0\) при \(x \to a\). Тогда \[ {L = \lim\limits_{x \to a} \frac{{\ln x - \ln a}}{{x - a}} } = {\lim\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {t + a} \right) - \ln a}}{t} } = {\lim\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \large\frac{{t + a}}{a}\normalsize}}{t} } = {\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln \left( {1 + \frac{t}{a}} \right).} \] Сделаем еще одну замену: \[\frac{t}{a} = z,\;\;z \to 0\;\;\text{при}\;\;t \to 0.\] Следовательно, предел равен: \[ {L = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln \left( {1 + \frac{t}{a}} \right) } = {\lim\limits_{z \to 0} \frac{1}{{az}}\ln \left( {1 + z} \right) } = {\frac{1}{a}\lim\limits_{z \to 0} \ln {\left( {1 + z} \right)^{\large\frac{1}{z}\normalsize}} } = {\frac{1}{a}\ln \left[ {\lim\limits_{z \to 0} {{\left( {1 + z} \right)}^{\large\frac{1}{z}\normalsize}}} \right] } = {\frac{1}{a}\ln e = \frac{1}{a}.} \]

Пример 9

Найти предел \(\lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin x} \right)^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}\). Данный предел можно представить в следующей форме: \[ {L = \lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin x} \right)^{\large\frac{1}{x}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin x} \right)^{\large\frac{1}{{\sin x}} \cdot \frac{{\sin x}}{x}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} \right]^{\large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize}}.} \] После взятия логарифма получаем \[ {\ln L = \ln \left( {\lim\limits_{x \to 0} {{\left[ {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} \right]}^{\large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize}}} \right) } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \ln \left[ {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} \right]} \right) } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \left( {\ln \left[ {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} \right]} \right).} \] Заметим, что \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize = 1\). Кроме того, \(\sin x \to 0\) при \(x \to 0\). Поэтому предельный переход \(x \to 0\) во втором пределе можно заменить на \(\sin x \to 0\). Это приводит к следующему выражению: \[ {\ln L = 1 \cdot \lim\limits_{\sin x \to 0} \left( {\ln \left[ {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} \right]} \right) } = {\ln \lim\limits_{\sin x \to 0} \left[ {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} \right].} \] Учитывая, что \(\lim\limits_{\sin x \to 0} {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize}}} = e\), получаем \[\ln L = \ln e = 1.\] Следовательно, \(L = e\).

Пример 10

Найти предел \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}\normalsize} \right)^{\large\frac{x}{2}\normalsize}}\). Перепишем предел в следующем виде: \[ {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^{\large\frac{x}{2}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + x + 3 + x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^{\large\frac{x}{2}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^{\large\frac{x}{2}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^{\large\frac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)x}}{{2\left( {{x^2} + x + 3} \right)}}}\normalsize} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^{\large\frac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}} \cdot \frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}}}\normalsize} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)}^{\large\frac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}}\normalsize}} \right]^{\large\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}}}\normalsize}.} \] Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения. \[ {\ln L = \ln \left( {\lim\limits_{x \to \infty } {{\left[ {{{\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)}^{\large\frac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}}\normalsize}} \right]}^{\large\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}}}\normalsize}} \right) } = {\lim\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}} \cdot \ln \left[ {{{\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)}^{\large\frac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}}\normalsize}} \right]} \right) } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}} \cdot \ln \left( {\lim\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\left( {1 + \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)}^{\large\frac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}}\normalsize}} \right]} \right).} \] Видно, что \({\large\frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 3}}\normalsize} \to 0\) при \(x \to \infty\). Тогда второй предел равен \(e\). В результате получаем \[ {\ln L = \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}} \cdot \ln e } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} + 2x + 6}} \cdot 1 } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\large\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2}}}\normalsize}}{{\large\frac{{2{x^2} + 2x + 6}}{{{x^2}}}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{1 - \large\frac{2}{x}\normalsize}}{{2 + \large\frac{2}{x}\normalsize + \large\frac{6}{{{x^2}}}\normalsize}} = \frac{1}{2}.} \] Окончательный ответ: \(L = {e^{1/2}} = \sqrt e \).