Целые положительные числа \(\mathbb{Z^ + } = \mathbb{N} = \left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}\)

Целые отрицательные числа \(\mathbb{Z^ - } = \left\{ { \ldots , - 3, - 2, - 1} \right\}\)

Целые числа состоят из натуральных чисел \(\left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}\), чисел, противоположных натуральным (т.е. с отрицательным знаком) \(\left\{ { \ldots , - 3, - 2, - 1} \right\}\), и числа \(\left\{ 0 \right\}\). \(\mathbb{Z} = \mathbb{Z^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{Z^ + } = \left\{ { \ldots , - 3, - 2, - 1,0,1,2,3, \ldots } \right\}\)

Сумма, разность или произведение двух целых чисел являются целыми числами.

Коммутативность сложения \(a + b = b + a\)

Ассоциативность сложения \(a + \left( {b + c} \right) = \left( {a + b} \right) + c\)

Существование нейтрального элемента при сложении \(a + 0 = a\)

Операция вычитания \(a - b = a + \left( { - b} \right)\)

\(a - 0 = a\)

\(0 - a = -a\)

\(a + \left( { - a} \right) = 0\)

Коммутативность умножения \(a \cdot b = b \cdot a\)

Ассоциативность умножения \(a \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c\)

Дистрибутивность умножения относительно сложения \(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

Существование нейтрального элемента при умножении \(a \cdot 1 = a\)

\(a \cdot 0 = 0\)

Если \(a<b\) и \(c<d\), то \(a + c<b + d\)

Если \(a<b\) и \(c>0\), то \(ac<bc\)

Если \(a<b\) и \(c<0\), то \(ac>bc\)

Определение модуля (абсолютной величины) числа

\(\left| a \right| \ge 0\)

\(\left| { - a} \right| = \left| a \right|\)

\(a \le \left| a \right|\)

\( - \left| a \right| \le a\)

Неравенство треугольника \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)

\(\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)