Факториалом числа \(n\) называется произведение всех натуральных чисел, меньше или равныx \(n\). Факториал обозначается \(n!\) \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \left( {n - 1} \right) \cdot n\)

Факториал нуля по определению равен \(1\). \(0! = 1\)

Значения факториалов чисел от \(1\) до \(10\)

Рекуррентное соотношение \(\left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right)\)

Обобщение факториала для неотрицательных действительных чисел Факториал числа \(x\) выражается через гамма-функцию по формуле \(x! = \Gamma \left( {x + 1} \right)\), которая позволяет вычислить факториал для любых действительных чисел \(x \ge 0\).

Скорость возрастания Факториал возрастает быстрее, чем экспоненциальная функция. Неравенство \(n!>\exp \left( n \right)\) выполняется при всех \(n \ge 6\). При \(n \ge 1\) справедливо соотношение \(n \le n! \le {n^n}\).

Формула Стирлинга При больших \(n\) значение факториала можно определить с помощью асимптотической формулы Стирлинга: \(n! \approx {n^n}\sqrt {2\pi n} \,\exp \left( { - n} \right)\left[ {1 + \large\frac{1}{{12n}}\normalsize + \large\frac{1}{{288{n^2}}}\normalsize - \large\frac{{139}}{{51840{n^3}}}\normalsize - \ldots } \right]\).

Данная формула с учетом лишь первого члена в разложении принимает вид \(n! \approx {n^n}\sqrt {2\pi n} \,\exp \left( { - n} \right)\).

Двойной факториал Двойной факториал представляет собой произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n\) той же самой четности, что и число \(n\). Двойной факториал обозначается как \(n!!\) \(\left( {2k} \right)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2k - 2} \right) \cdot 2k\) \(\left( {2k + 1} \right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2k - 1} \right) \cdot \left( {2k + 1} \right)\)