Произведением вектора \(\mathbf{u} \ne \mathbf{0}\) на число \(\lambda \ne 0\) называется вектор \(\mathbf{w}\), модуль которого равен \(\left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right|\), направление которого совпадает с вектором \(\mathbf{u}\) при \(\lambda>0\) и противоположно ему при \(\lambda<0\). \(\mathbf{w} = \lambda \mathbf{u},\;\;\left| \mathbf{w} \right| = \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right|\)

Произведение вектора \(\mathbf{u}\) на число \(\lambda\) при \(\lambda = 0\) и/или \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\) равно нулевому вектору \(\mathbf{0}\).

Операция умножения вектора на число обладает следующими линейными свойствами:

Коммутативность умножения вектора на число \(\lambda \mathbf{u} = \mathbf{u}\lambda \)

Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел \(\left( {\lambda + \mu } \right)\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{u}\)

Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов \(\lambda \left( {\mathbf{u} + \mathbf{v}} \right) = \lambda \mathbf{u} + \lambda \mathbf{v}\)

Ассоциативность умножения вектора на число \(\lambda \left( {\mu \mathbf{u}} \right) = \mu \left( {\lambda \mathbf{u}} \right) = \left( {\lambda \mu } \right)\mathbf{u}\)

Умножение вектора на единицу \(1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}\)

Умножение вектора на число в координатной форме \(\lambda \mathbf{u} = \left( {\lambda X,\lambda Y,\lambda Z} \right)\)