Тригонометрические пределы

Основной тригонометрический предел (первый замечательный предел) имеет вид \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1.\] Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов: \[{\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{x} = 1.}\] Здесь и далее предполагается, что углы измеряются в радианах.

Пример 1

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{4x}}{{\sin 3x}}\normalsize\). \[L = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{\sin 3x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{3 \cdot 4x}}{{3\sin 3x}} } = {\frac{4}{3}\lim\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{\sin 3x}} } = {\frac{4}{3}\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\large\frac{{\sin 3x}}{{3x}}\normalsize}} } = {\frac{4}{3}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} 1}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin 3x}}{{3x}}\normalsize}}.} \] Так как \(3x \to 0\) при \(x \to 0\), то \[L = \frac{4}{3}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} 1}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin 3x}}{{3x}}\normalsize}} = \frac{4}{{3\lim\limits_{3x \to 0} \large\frac{{\sin 3x}}{{3x}}\normalsize}} = \frac{4}{{3 \cdot 1}} = \frac{4}{3}. \]

Пример 2

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\cos {3x} - \cos x}}{{{x^2}}}\normalsize\). Преобразуем числитель в произведение: \[\cos{3x} - \cos x = { - 2\sin \frac{{3x - x}}{2}\sin \frac{{3x + x}}{2} } = { - 2\sin x\sin 2x. } \] В результате получаем \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\left( { - 2\sin x\sin 2x} \right)}}{{{x^2}}} } = {- 2\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{x} } = {- 2 \cdot 1 \cdot \lim\limits_{2x \to 0} \frac{{2\sin 2x}}{{2x}} } = {- 2 \cdot 2\lim\limits_{2x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{2x}} = - 4.} \]

Пример 3

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin5x - \sin 3x}}{{\sin x}}\normalsize\). Используем следующее тригонометрическое тождество: \[\sin x - \sin y = 2\sin \frac{{x - y}}{2}\cos \frac{{x + y}}{2}.\] Получаем \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin5x - \sin 3x}}{{\sin x}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \large\frac{{5x - 3x}}{2}\normalsize\cos \large\frac{{5x + 3x}}{2}\normalsize}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin x\cos 4x}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 4x} \right).} \] Поскольку \(\cos{4x}\) является непрерывной функцией при \(x = 0\), то \[\lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 4x} \right) = {2\lim\limits_{x \to 0} \cos 4x } = {2 \cdot \cos \left( {4 \cdot 0} \right) = 2 \cdot 1 = 2.} \]

Пример 4

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin \left( {x - a} \right) - \sin \left( {x + a} \right)}}{x}\normalsize\). Используя формулу \[\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\cos\frac{{\alpha + \beta }}{2},\] преобразуем данный предел следующим образом: \[L = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {x - a} \right) - \sin \left( {x + a} \right)}}{x} } = {\lim\limits_{x \to 0} \left[ {2\sin \frac{{x - a - \left( {x + a} \right)}}{2}\cos\frac{{x - a + x + a}}{2}} \right] } = {2\lim\limits_{x \to 0} \left[ {\sin \left( {\frac{{ - 2a}}{2}} \right)\cos\frac{{2x}}{2}} \right] } = {2\lim\limits_{x \to 0} \left[ {\sin \left( { - a} \right)\cos x} \right] } \] Здесь \(\sin\left( {-a} \right)\) является константой, не зависящей от \(x\). Поэтому, \[L = {2\lim\limits_{x \to 0} \left[ {\sin \left( { - a} \right)\cos x} \right]} = {2\sin \left( { - a} \right)\lim\limits_{x \to 0} \cos x } = {- 2\sin a \cdot 1 = - 2\sin a.} \]

Пример 5

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin ax}}{{\sin bx}}\normalsize\). \[L = \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{\sin bx}} = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin ax}}{{\sin bx}} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{{bx}}{{ax}}} \right) } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin ax}}{{ax}} \cdot \frac{{bx}}{{\sin bx}} \cdot \frac{a}{b}} \right) } = {\frac{a}{b}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin ax}}{{ax}}\normalsize}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin bx}}{{bx}}\normalsize}}.} \] Очевидно, что \(ax \to 0\) и \(bx \to 0\) при \(x \to 0\). Тогда \[L = \frac{a}{b}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax}}}}{{\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin bx}}{{bx}}}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}.\]

Пример 6

Найти предел \(\lim\limits_{x \to b} \large\frac{{\sin x - \sin b}}{{x - b}}\normalsize\). Используя формулу \[\sin x - \sin b = 2\sin \frac{{x - b}}{2}\cos\frac{{x + b}}{2},\] преобразуем предел: \[L = \lim\limits_{x \to b} \frac{{\sin x - \sin b}}{{x - b}} = {\lim\limits_{x \to b} \frac{{2\sin \large\frac{{x - b}}{2}\normalsize\cos\large\frac{{x + b}}{2}\normalsize}}{{x - b}} } = {\lim\limits_{x \to b} \frac{{\sin \large\frac{{x - b}}{2}\normalsize}}{{\large\frac{{x - b}}{2}\normalsize}} \cdot \lim\limits_{x \to b} \cos \frac{{x + b}}{2} } = {\lim\limits_{x \to b} \frac{{\sin \large\frac{{x - b}}{2}\normalsize}}{{\large\frac{{x - b}}{2}\normalsize}} \cdot \cos b.} \] Заменим переменную: \(\large\frac{{x - b}}{2}\normalsize = t\). Если \(x \to b\), то \(2t \to 0\) или \(t \to 0\). Тогда \[L = \lim\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{t} \cdot \cos b = {1 \cdot \cos b = \cos b.} \]

Пример 7

Найти предел \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}\normalsize\). Выполним следующие преобразования: \[L = \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\large\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\normalsize - \sin x}}{{{x^3}}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x\left( {\large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize - 1} \right)}}{{{x^3}}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{x^3}\cos x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right].} \] Поскольку \(1 - \cos x = 2{\sin ^2}\large\frac{x}{2}\normalsize\), то предел равен \[L = \lim\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right] = {\lim\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{2{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}\cos x}}} \right] } = {\frac{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize \cdot 2\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}}\normalsize}}{{\lim\limits_{x \to 0} \cos x}}.} \] Здесь \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\;\;\text{и}\;\;\lim\limits_{x \to 0} \cos x = 1.\] Следовательно, \[L = 2\lim\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}} = {2\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}} \cdot \frac{4}{4}} \right) } = {2\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{\large\frac{{{x^2}}}{4}\normalsize}} \cdot \frac{1}{4}} \right) } = {\frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{{\left( {\large\frac{x}{2}\normalsize} \right)}^2}}}.} \] Учитывая, что \(\large\frac{x}{2}\normalsize \to 0\) при \(x \to 0\), получаем окончательный ответ \[L = \frac{1}{2}\lim\limits_{\large\frac{x}{2}\normalsize \to 0} {\left( {\frac{{\sin \large\frac{x}{2}\normalsize}}{{\large\frac{x}{2}\normalsize}}} \right)^2} = {\frac{1}{2} \cdot {1^2} = \frac{1}{2}.} \]

Пример 8

Найти предел \(\lim\limits_{x \to \large\frac{1}{2}\normalsize} \large\frac{{1 - 4{x^2}}}{{\arcsin \left( {1 - 2x} \right)}}\normalsize\). Сделаем подстановку: \(x - \large\frac{1}{2}\normalsize = y\). Если \(x \to \large\frac{1}{2}\normalsize\), то \(y \to 0\). Тогда \[L = \lim\limits_{x \to \large\frac{1}{2}\normalsize} \frac{{1 - 4{x^2}}}{{\arcsin \left( {1 - 2x} \right)}} = {\lim\limits_{y \to 0} \frac{{1 - 4{{\left( {y + \large\frac{1}{2}\normalsize} \right)}^2}}}{{\arcsin \left( {1 - 2\left( {y + \large\frac{1}{2}\normalsize} \right)} \right)}} } = {\lim\limits_{y \to 0} \frac{{1 - 4\left( {{y^2} + y + \large\frac{1}{4}\normalsize} \right)}}{{\arcsin \left( {1 - 2y - 1} \right)}} } = {\lim\limits_{y \to 0} \frac{{1 - 4{y^2} - 4y - 1}}{{\arcsin \left( { - 2y} \right)}} } = {\lim\limits_{y \to 0} \frac{{ - 4{y^2} - 4y}}{{\arcsin \left( { - 2y} \right)}} } = {\lim\limits_{y \to 0} \frac{{ - 4{y^2} - 4y}}{{\large\frac{{\arcsin \left( { - 2y} \right)}}{{ - 2y}}\normalsize \cdot \left( { - 2y} \right)}} } = {\frac{{\lim\limits_{y \to 0} \large\frac{{ - 4{y^2} - 4y}}{{ - 2y}}\normalsize}}{{\lim\limits_{y \to 0} \large\frac{{\arcsin \left( { - 2y} \right)}}{{ - 2y}}\normalsize}} } = {\frac{{\lim\limits_{y \to 0} \left( {2y + 2} \right)}}{{\lim\limits_{ - 2y \to 0} \large\frac{{\arcsin \left( { - 2y} \right)}}{{\left( { - 2y} \right)}}\normalsize}} } = {\frac{{\lim\limits_{y \to 0} \left( {2y + 2} \right)}}{1} } = {\lim\limits_{y \to 0} \left( {2y + 2} \right) = 2. } \]

Пример 9

Найти предел \(\lim\limits_{x \to 0 + 0} \large\frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x}\normalsize\). Используем тригонометрическую формулу \[1 - \cos x = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}.\] Тогда предел можно преобразовать следующим образом: \[L = {\lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x}} = {\lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{\sqrt {2{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize} }}{x} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{\sqrt {{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize} }}{x} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}}} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}} \cdot \frac{4}{4}} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \left( {\sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{\large\frac{{{x^2}}}{4}\normalsize}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 4 }}} \right) } = {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\lim\limits_{x \to 0 + 0} \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{{\left( {\large\frac{x}{2}\normalsize} \right)}^2}}}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{{\left( {\large\frac{x}{2}\normalsize} \right)}^2}}}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{{\left[ {\lim\limits_{\large\frac{x}{2}\normalsize \to 0 + 0} \left( {\frac{{\sin \large\frac{x}{2}\normalsize}}{{\large\frac{x}{2}\normalsize}}} \right)} \right]}^2}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt {{1^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.} \] Здесь мы учли, что предел остается неизменным при замене предельного перехода \(x \to 0\) на \(\large\frac {x}{2}\normalsize \to 0\).