Простейшие тригонометрические неравенства
Неизвестные переменные (величины углов): \(x\) Множество целых чисел: \(\mathbb{Z}\) Целые числа: \(n\) Множество действительных чисел: \(\mathbb{R}\) Действительные числа: \(a\) Тригонометрические функции: \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cot x\) Обратные тригонометрические функции: \(\arcsin a\), \(\arccos a\), \(\arctan a\), \(\text {arccot } a\)

  1. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

  2. К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств: \(\sin x>a\), \(\sin x \ge a\), \(\sin x<a\), \(\sin x \le a\), \(\cos x>a\), \(\cos x \ge a\), \(\cos x<a\), \(\cos x \le a\), \(\tan x>a\), \(\tan x \ge a\), \(\tan x<a\), \(\tan x \le a\), \(\cot x>a\), \(\cot x \ge a\), \(\cot x<a\), \(\cot x \le a\). Здесь \(x\) является неизвестной переменной, \(a\) может быть любым действительным числом.

Неравенства вида \(\sin x>a\), \(\sin x \ge a\), \(\sin x<a\), \(\sin x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией синус
Рис.1
Рис.2
Неравенство \(\sin x>a\)

  1. При \(\left| a \right| \ge 1\) неравенство \(\sin x>a\) не имеет решений: \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a \lt -1\) решением неравенства \(\sin x>a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  3. При \(-1 \le a<1\) решение неравенства \(\sin x>a\) выражается в виде \(\arcsin a + 2\pi n<x<\pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.1).

Неравенство \(\sin x \ge a\)

  1. При \(a>1\) неравенство \(\sin x \ge a\) не имеет решений: \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a \le -1\) решением неравенства \(\sin x \ge a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  3. Случай \(a = 1\) \(x = \pi/2 +2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \ge a\) включает граничные углы и имеет вид \(\arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.1).

Неравенство \(\sin x<a\)

  1. При \(a>1\) решением неравенства \(\sin x<a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a \le -1\) у неравенства \(\sin x<a\) решений нет: \(x \in \emptyset\)

  3. При \(-1<a \le 1\) решение неравенства \(\sin x<a\) лежит в интервале \(-\pi - \arcsin a + 2\pi n<x<\arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.2).

Неравенство \(\sin x \le a\)

  1. При \(a \ge 1\) решением неравенства \(\sin x \le a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a<-1\) неравенство \(\sin x \le a\) решений не имеет: \(x \in \emptyset\)

  3. Случай \(a = -1\) \(x = -\pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \le a\) находится в интервале \(-\pi - \arcsin a + 2\pi n \le x \le \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.2).

Неравенства вида \(\cos x>a\), \(\cos x \ge a\), \(\cos x<a\), \(\cos x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией косинус
Рис.3
Рис.4
Неравенство \(\cos x>a\)

  1. При \(a \ge 1\) неравенство \(\cos x>a\) не имеет решений: \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a<-1\) решением неравенства \(\cos x>a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  3. При \(-1 \le a<1\) решение неравенства \(\cos x>a\) имеет вид \(-\arccos a + 2\pi n<x<\arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.3).

Неравенство \(\cos x \ge a\)

  1. При \(a>1\) неравенство \(\cos x \ge a\) не имеет решений: \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a \le -1\) решением неравенства \(\cos x \ge a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  3. Случай \(a = 1\) \(x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \ge a\) выражается формулой \(-\arccos a + 2\pi n \le x \le \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.3).

Неравенство \(\cos x<a\)

  1. При \(a>1\) неравенство \(\cos x<a\) справедливо при любом действительном значении \(x\): \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a \le -1\) неравенство \(\cos x<a\) не имеет решений: \(x \in \emptyset\)

  3. При \(-1<a \le 1\) решение неравенства \(\cos x<a\) записывается в виде \(\arccos a + 2\pi n<x<2\pi - \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.4).

Неравенство \(\cos x \le a\)

  1. При \(a \ge 1\) решением неравенства \(\cos x \le a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a<-1\) неравенство \(\cos x \le a\) не имеет решений: \(x \in \emptyset\)

  3. Случай \(a = -1\) \(x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \le a\) записывается как \(\arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.4).

Неравенства вида \(\tan x>a\), \(\tan x \ge a\), \(\tan x<a\), \(\tan x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией тангенс
Рис.5
Рис.6
Неравенство \(\tan x>a\)

  1. При любом действительном значении \(a\) решение строгого неравенства \(\tan x>a\) имеет вид \(\arctan a + \pi n<x<\pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.5).

Неравенство \(\tan x \ge a\)

  1. Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\tan x \ge a\) выражается в виде \(\arctan a + \pi n \le x<\pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.5).

Неравенство \(\tan x<a\)

  1. Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\tan x<a\) записывается в виде \(-\pi/2 + \pi n<x<\arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.6).

Неравенство \(\tan x \le a\)

  1. При любом \(a\) неравенство \(\tan x \le a\) имеет следующее решение: \(-\pi/2 + \pi n<x \le \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.6).

Неравенства вида \(\cot x>a\), \(\cot x \ge a\), \(\cot x<a\), \(\cot x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией котангенс
Рис.7
Рис.8
Неравенство \(\cot x>a\)

  1. При любом \(a\) решение неравенства \(\cot x>a\) имеет вид \(\pi n<x<\text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.7).

Неравенство \(\cot x \ge a\)

  1. Нестрогое неравенство \(\cot x \ge a\) имеет аналогичное решение \(\pi n<x \le \text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.7).

Неравенство \(\cot x<a\)

  1. Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\cot x<a\) лежит в открытом интервале \(\text {arccot } a + \pi n<x<\pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.8).

Неравенство \(\cot x \le a\)

  1. При любом \(a\) решение нестрогого неравенства \(\cot x \le a\) находится в полуоткрытом интервале \(\text {arccot } a + \pi n \le x<\pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\) (рис.8).