Точки разрыва функции
Если функция \(f\left( x \right)\) не является непрерывной в точке \(x = a\),
то говорят, что \(f\left( x \right)\) имеет разрыв в этой точке.
На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при \(x =a\),
а две имеют разрыв.
При этом возможно следующие два случая:
Функция \(f\left( x \right)\) имеет точку разрыва второго рода
при \(x =a\), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Непрерывна при \(x =a\).
Имеет разрыв при \(x =a\).
Непрерывна при \(x =a\).
Имеет разрыв при \(x =a\).
Рисунок 1.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Говорят, что функция \(f\left( x \right)\) имеет точку разрыва первого рода
при \(x = a\), если в это точке
- Существуют левосторонний предел \(\lim\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right)\) и правосторонний предел \(\lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right)\);
- Эти односторонние пределы конечны.
- Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: \[\lim\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right).\] Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
- Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: \[\lim\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right) \ne \lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right).\] Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов \(\left| \lim\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right) - \lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right) \right|\) называется скачком функции.
Пример 1
Исследовать функцию \(f\left( x \right) = {3^{\large\frac{x}{{1 - {x^2}}}\normalsize}}\) на непрерывность.
Решение.
Данная функция не определена в точках \(x = -1\) и \(x = 1\).
Следовательно, функция имеет разрывы в точках \(x = \pm 1\). Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
\[
{\lim\limits_{x \to - 1 - 0} {3^{\large\frac{x}{{1 - {x^2}}}\normalsize}} = {3^{\large\frac{{ - 1}}{{ - 0}}\normalsize}} = {3^\infty } = \infty ,\;\;}
{\lim\limits_{x \to - 1 + 0} {3^{\large\frac{x}{{1 - {x^2}}}\normalsize}} = {3^{\large\frac{{ - 1}}{{ + 0}}\normalsize}} = {3^{ - \infty }} = \frac{1}{{{3^\infty }}} = 0.}
\]
Поскольку левосторонний предел при \(x = -1\) равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
\[
{\lim\limits_{x \to 1 - 0} {3^{\large\frac{x}{{1 - {x^2}}}\normalsize}} = {3^{\large\frac{{ 1}}{{ +0}}\normalsize}} = {3^\infty } = \infty ,\;\;}
{\lim\limits_{x \to 1 + 0} {3^{\large\frac{x}{{1 - {x^2}}}\normalsize}} = {3^{\large\frac{{ 1}}{{ -0}}\normalsize}} = {3^{ - \infty }} = \frac{1}{{{3^\infty }}} = 0.}
\]
Аналогично, левосторонний предел в точке \(x = 1\) равен бесконечности. Эта точка также
является точкой разрыва второго рода.
Пример 2
Показать, что функция \(f\left( x \right) = \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize\) имеет устранимый разрыв в точке \(x = 0\).
Решение.
Очевидно, данная функция не определена при \(x = 0\). Поскольку \(\sin x\)
является непрерывной функцией для всех \(x\), то искомая функция \(f\left( x \right) = \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize\)
также непрерывна при всех \(x\) за исключением точки \(x = 0\).
Так как \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize = 1\), то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать
новую функцию
\[
{f_1}\left( x \right) =
\begin{cases}
\large\frac {\sin x}{x}\normalsize, & x \ne 0 \\
1, &x = 0
\end{cases}
,\]
которая будет непрерывной при любом действительном \(x\).
Пример 3
Найти точки разрыва функции
\(
f\left( x \right) =
\begin{cases}
1 - {x^2}, & x<0 \\
x +2, &x \ge 0
\end{cases}
,\,\)
если они существуют.
Решение.
Данная функция существует при всех значениях \(x\), однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является
элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки \(x = 0\), где ее аналитическое выражение
изменяется.
Вычислим односторонние пределы при \(x = 0\).
\[
{\lim\limits_{x \to 0 - 0} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to 0 - 0} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1,}\;\;\;
{\lim\limits_{x \to 0 + 0} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to 0 - 0} \left( {x + 2} \right) = 2.}
\]
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при \(x = 0\).
Скачок функции в этой точке равен
\[
{\Delta y = \lim\limits_{x \to 0 + 0} f\left( x \right) - \lim\limits_{x \to 0 - 0} f\left( x \right) }
{= 2 - 1 = 1.}
\]
При всех других значениях \(x\)функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки
\(x = 0\) представляют собой элементарные функции без точек разрыва.
Пример 4
Найти точки разрыва функции \(f\left( x \right) = \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize\), если они существуют.
Решение.
Данная элементарная функция определена для всех \(x\), исключая точку \(x = 0\), где
она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
\[
{\lim\limits_{x \to 0 - 0} \arctan \frac{1}{x} = \arctan \left( { - \infty } \right) = - \frac{\pi }{2},}\;\;
{\lim\limits_{x \to 0 + 0} \arctan \frac{1}{x} = \arctan \left( { + \infty } \right) = \frac{\pi }{2}.}
\]
Видно, что в точке \(x = 0\) существует разрыв первого рода (рисунок 2). Скачок функции равен \(\pi\).
Рис.2
Рис.3
Пример 5
Найти точки разрыва функции \(f\left( x \right) = \large\frac{{\left| {2x + 5} \right|}}{{2x + 5}}\normalsize\),
если таковые существуют.
Решение.
Функция определена и непрерывна при всех \(x\), за исключением точки \(x = - \large\frac{5}{2}\normalsize\), где существует разрыв.
Исследуем точку разрыва.
\[
{\lim\limits_{x \to - \frac{5}{2} - 0} \frac{{\left| {2x + 5} \right|}}{{2x + 5}} }
= {\lim\limits_{x \to - \frac{5}{2} - 0} \frac{{ - \left( {2x + 5} \right)}}{{2x + 5}} = - 1,}\;\;
{\text{если}\;\;x< - \frac{5}{2};}
\]
\[
{\lim\limits_{x \to - \frac{5}{2} + 0} \frac{{\left| {2x + 5} \right|}}{{2x + 5}} }
= {\lim\limits_{x \to - \frac{5}{2} + 0} \frac{{ \left( {2x + 5} \right)}}{{2x + 5}} = 1,}\;\;
{\text{если}\;\;x \ge - \frac{5}{2}.}
\]
Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке \(x = - \large\frac{5}{2}\normalsize\) существует разрыв первого рода.
График функции схематически показан на рисунке \(3\).
Вверх