Сфера и шар
Радиус шара: \(R\) Высота шарового сегмента или слоя: \(h\) Радиус основания шарового сегмента: \(r\) Площадь основания шарового сегмента: \({S_{\text{осн}}}\) Площадь поверхности сегмента: \({S_{\text{сегм}}}\)
Радиусы оснований шарового слоя: \({r_1}\), \({r_2}\) Площадь оснований шарового слоя: \({S_1}\), \({S_2}\) Площадь поверхности шарового слоя: \({S_{\text{сл}}}\) Площадь полной поверхности: \(S\) Объем: \(V\)

  1. Сфера − это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы). Расстояние между любой точкой сферы и ее центром называется радиусом. Геометрическое тело, ограниченное сферой, называется шаром.

    схематическое изображение сферы радиуса R

  2. Площадь сферы \(S = 4\pi {R^2}\)

  3. Объем шара \(V = {\large\frac{{4\pi {R^3}}}{3}\normalsize}\)

  4. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая плоскостью.

    шаровой сегмент

  5. Соотношение между высотой и радиусом основания сегмента и радиусом шара \(R = \large\frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}\normalsize\), где \(h\) − высота сегмента, \(r\) − радиус основания сегмента, \(R\) − радиус шара.

  6. Площадь основания шарового сегмента \({S_{\text{осн}}} = \pi {r^2}\)

  7. Площадь внешней поверхности шарового сегмента \({S_{\text{сегм}}} = \pi \left( {{h^2} + {r^2}} \right) \)

  8. Площадь полной поверхности шарового сегмента \(S = {S_{\text{осн}}} + {S_{\text{сегм}}} = \pi \left( {{h^2} + 2{r^2}} \right) = \pi \left( {2Rh + {r^2}} \right) \)

  9. Объем шарового сегмента \(V = \large\frac{{\pi {h^2}\left( {3R - h} \right)}}{6}\normalsize = \large\frac{{\pi h\left( {3{r^2} + {h^2}} \right)}}{6}\normalsize\)

  10. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями.

    шаровой слой

  11. Площадь внешней поверхности шарового слоя \({S_{\text{сл}}} = 2\pi Rh\), где \(h\) − высота шарового слоя, \(R\) − радиус шара.

  12. Площадь полной поверхности шарового слоя \(S = {S_{\text{сл}}} + {S_1} + {S_2} = \pi \left( {2Rh + r_1^2 + r_2^2} \right)\), где \(h\) − высота шарового слоя, \(R\) − радиус шара, \({r_1}\), \({r_2}\) − радиусы оснований шарового слоя, \({S_1}\), \({S_2}\) − площади этих оснований.

  13. Объем шарового слоя \(V = \large\frac{{\pi h\left( {3r_1^2 + 3r_2^2 + {h^2}} \right)}}{6}\normalsize\), где \({r_1}\), \({r_2}\) − радиусы оснований шарового слоя, \(h\) − его высота.

  14. Шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше полушара.

    шаровой слой

  15. Площадь полной поверхности шарового сектора \(S = \pi R\left( {2h + r} \right)\), где \(h\) − высота соответствующего шарового сегмента, \(r\) − радиус основания шарового сегмента (или конуса), \(R\) − радиус шара.

  16. Объем шарового сектора \(V = \large\frac{{2\pi {R^2}h}}{3}\normalsize\)