Соотношения между обратными тригонометрическими функциями
Действительные числа, аргументы функций: \(x\) Обратные тригонометрические функции: \(\arcsin x\), \(\arccos x\), \(\arctan x\), \(\text {arccot }x\)

  1. Арксинус отрицательного числа \(\arcsin \left( { - x} \right) = - \arcsin x\)

  2. Выражение арксинуса через арккосинус \(\arcsin x = -\pi/2 - \arccos x\)

  3. \(\arcsin x = \arccos \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1\)

  4. \(\arcsin x = -\arccos \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0\)

  5. \(\arcsin x = \arctan \large\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;\;{x^2} \le 1\)

  6. \(\arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0<x \le 1\)

  7. \(\arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize - \pi,\;\;-1 \le x \lt 0\)

  8. Арккосинус отрицательного числа \(\arccos \left( { - x} \right) = \pi - \arccos x\)

  9. Выражение арккосинуса через арксинус \(\arccos x = \pi/2 - \arcsin x\)

  10. \(\arccos x = \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1\)

  11. \(\arccos x = \pi - \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0\)

  12. \(\arccos x = \arctan \large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0<x \le 1\)

  13. \(\arccos x = \pi + \arctan \large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;-1 \le x<0\)

  14. \(\arccos x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;\; - 1<x<1\)

  15. Арктангенс отрицательного числа \(\arctan \left( { - x} \right) = - \arctan x\)

  16. Выражение арктангенса через арккотангенс \(\arctan x = \pi/2 - \text {arccot }x\)

  17. \(\arctan x = \arcsin \large\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize\)

  18. \(\arctan x = \arccos \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \ge 0\)

  19. \(\arctan x = -\arccos \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \le 0\)

  20. \(\arctan x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x>0\)

  21. \(\arctan x = -\large\frac{\pi }{2}\normalsize - \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x<0\)

  22. \(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x>0\)

  23. \(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize - \pi,\;\;x<0\)

  24. Арккотангенс отрицательного числа \({\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - x} \right) = \pi - {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x\)

  25. Выражение арккотангенса через арктангенс \({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi/2 - \arctan x\)

  26. \({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x>0\)

  27. \({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi - \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x<0\)

  28. \({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arccos \large\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize\)

  29. \({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x>0\)

  30. \({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi + \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x<0\)