Смешанное произведение векторов
Векторы: \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) Скалярное произведение: \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\) Векторное произведение: \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) Смешанное произведение: \(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)\)
Координаты векторов: \({X_1}\), \({Y_1}\), \({Z_1}\), \({X_2}\), \({Y_2}\), \({Z_2}\), \({X_3}\), \({Y_3}\), \({Z_3}\) Действительные числа: \(k\), \(\lambda\), \(\mu\) Объем: \(V\)

  1. Смешанным произведением трех векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) называется скалярное произведение вектора \(\mathbf{u}\) на векторное произведение векторов \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\): \(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = \mathbf{v} \cdot \left( {\mathbf{w} \times \mathbf{u}} \right) = \mathbf{w} \cdot \left( {\mathbf{u} \times \mathbf{v}} \right)\)

  2. Перестановочные свойства смешанного произведения \(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right) = \left( {\mathbf{w},\mathbf{u},\mathbf{v}} \right) = \left( {\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}} \right) = -\left( {\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{w}} \right) = -\left( {\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{u}} \right) = -\left( {\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v}} \right)\)

  3. Умножение смешанного произведения векторов на число \(k\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = k\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)\)

  4. Смешанное произведение в координатной форме \(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}}\\ {{X_3}} & {{Y_3}} & {{Z_3}} \end{array}} \right|, \\ \) где \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), \(\mathbf{w} = \left( {{X_3},{Y_3},{Z_3}} \right)\).

  5. Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\), равен модулю смешанного произведения этих векторов: \(V = \left| {\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)} \right| = \left| {\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right)} \right|\)

    векторная формула для объема параллелепипеда

  6. Объем пирамиды, построенной на трех векторах \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\), выражается формулой \(V = \large\frac{1}{6}\normalsize \left| {\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)} \right| = \large\frac{1}{6}\normalsize \left| {\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right)} \right|\)

    векторное соотношение для объема пирамиды

  7. Если смешанное произведение векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) равно нулю, то данные векторы являются линейно зависимыми (компланарными), то есть один из этих векторов можно выразить через два других: \(\mathbf{w} = \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{v}\), где \(\lambda\), \(\mu\) − некоторые действительные числа.

  8. Если смешанное произведение векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) не равно нулю, то данные векторы являются линейно независимыми.

  9. Двойным векторным произведением трех векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) называется векторное произведение \(\mathbf{u} \times \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = \left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}} \right)\mathbf{v} - \left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}} \right)\mathbf{w} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{v} & \mathbf{w}\\ {\left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}} \right)} & {\left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}} \right)} \end{array}} \right|\)