Скалярным произведением векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) называется произведение их модулей на косинус угла между ними. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left| \mathbf{u} \right|\left| \mathbf{v} \right|\cos \theta \)

Скалярное произведение в координатной форме Если \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = {X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}\).

Угол между двумя векторами Если \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то \(\cos \theta = \large\frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{\left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}}}{{\sqrt {X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2} \sqrt {X_2^2 + Y_2^2 + Z_2^2} }}\normalsize.\) Здесь предполагается, что векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) являются ненулевыми.

Коммутативность скалярного произведения \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}\)

Ассоциативность скалярного произведения \(\left( {\lambda \mathbf{u}} \right) \cdot \left( {\mu \mathbf{v}} \right) = \lambda \mu \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)

Дистрибутивность скалярного произведения \(\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} + \mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}\)

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно нулю, если векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) перпендикулярны, или если вектор \(\mathbf{u}\) или \(\mathbf{v}\) или оба вектора являются нулевыми. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\), если \(\mathbf{u} \bot \mathbf{v}\left( {\theta = \large\frac{\pi }{2}}\normalsize \right)\), или \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\) и/или \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\).

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) положительно, если угол \(\theta\) между векторами \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) острый. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}>0\), если \(0<\theta <\large\frac{\pi }{2}\normalsize\).

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) отрицательно, если угол \(\theta\) между векторами \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) тупой. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}<0\), если \(\large\frac{\pi }{2}\normalsize<\theta<\pi\).

Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей: \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \le \left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|\)

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно произведения их модулей, если только векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) параллельны: \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|\), если \(\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}\left( {\theta = 0} \right)\).

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: Если \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), то \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = {{\mathbf{u}}^2} = {\left| \mathbf{u} \right|^2} = X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2.\)

Скалярные квадраты единичных координатных векторов \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1\)

Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\)