Свойства неопределенного интеграла
Функции: \(f\), \(g\), \(u\), \(v\), \(F\) Независимые переменные: \(x\), \(t\)
Постоянные действительные числа: \(C\), \(a\), \(b\), \(k\)

  1. Первообразной функции \(y = f\left( x \right)\), заданной на некотором интервале \(\left( {a,b} \right)\), называется любая функция \(F\left( x \right)\), производная которой в любой точке данного интервала равна \(f\left( x \right)\): \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Если \(F\left( x \right)\) является первообразной функции \(f\left( x \right)\), то функция вида \(F\left( x \right) + C\), где \(C\) − произвольная постоянная, также является первообразной для \(f\left( x \right)\).

  2. Неопределенным интегралом функции \(f\left( x \right)\) называется совокупность всех первообразных этой функции: \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C,\;\ \text{если }\;F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

  3. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: \({\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = f\left( x \right).\)

  4. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов: \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} .\)

  5. Интеграл разности функций равен разности интегралов: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} .\)

  6. Постоянный коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} .\)

  7. \(\int {f\left( {ax} \right)dx} = \large\frac{1}{a}\normalsize F\left( {ax} \right) + C\)

  8. \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \large\frac{1}{a}\normalsize F\left( {ax + b} \right) + C\)

  9. \(\int {f\left( x \right)f'\left( x \right)dx} = \large\frac{1}{2}\normalsize {f^2}\left( x \right) + C\)

  10. \(\int {\large\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\normalsize dx} = \ln \left| {f\left( x \right)} \right| + C\)

  11. Метод подстановки \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {f\left( {u\left( t \right)} \right)u'\left( t \right)dt} ,\; \text{если }\;x = u\left( t \right).\)

  12. Метод интегрирования по частям \(\int {udv} = uv - \int {vdu} ,\)

    где \(u\left( x \right)\), \(v\left( x \right)\) − дифференцируемые функции.