Тройной интеграл от функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) в параллелепипеде \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {r,s} \right]\) определяется как предел интегральной суммы (суммы Римана): \(\require{AMSmath.js}\large\iiint\limits_{\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {r,s} \right]}\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} = \lim\limits_{\substack{ \text{max}\,\Delta {x_i} \to 0\\ \text{max}\,\Delta {y_j} \to 0\\ \text{max}\,\Delta {z_k} \to 0}} \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^p {f\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)\Delta {x_i}\Delta {y_j}\Delta {z_k}} } } \), где \({\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)}\) − некоторая точка в параллелепипеде \(\left( {{x_{i - 1}},{x_i}} \right) \times \left( {{y_{j - 1}},{y_j}} \right) \times \left( {{z_{k - 1}},{z_k}} \right)\), а соответствующие приращения переменных равны \(\Delta {x_i} = {x_i} - {x_{i - 1}}\), \(\Delta {y_j} = {y_j} - {y_{j - 1}}\), \(\Delta {z_k} = {z_k} - {z_{k - 1}}\).

Тройной интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций: \(\large\iiint\limits_G\normalsize {\left[ {f\left( {x,y,z} \right) + g\left( {x,y,z} \right)} \right]dV} = \large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} + \large\iiint\limits_G\normalsize {g\left( {x,y,z} \right)dV} \)

Тройной интеграл от разности функций равен разности интегралов от соответствующих функций: \(\large\iiint\limits_G\normalsize {\left[ {f\left( {x,y,z} \right) - g\left( {x,y,z} \right)} \right]dV} = \large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} - \large\iiint\limits_G\normalsize {g\left( {x,y,z} \right)dV} \)

Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла: \(\large\iiint\limits_G\normalsize {kf\left( {x,y,z} \right)dV} = k\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} \)

Если \({f\left( {x,y,z} \right)} \ge 0\), а \(G\) и \(T\) являются непересекающимися областями, то \(\large\iiint\limits_{G \cup T}\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} = \large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} + \large\iiint\limits_T\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} \) Здесь \(G \cup T\) обозначает объединение областей интегрирования \(G\) и \(T\).

Выражение тройного интеграла через двойной интеграл Если область интегрирования \(G\) состоит из множества точек \({\left( {x,y,z} \right)}\), удовлетворяющих условию \(\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R},\;\;{\lambda _1}\left( {x,y} \right) \le z \le {\lambda _2}\left( {x,y} \right)\), то тройной интеграл выражается в виде \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iint\limits_R\normalsize {\left[ {\large\int\limits_{{\lambda _1}\left( {x,y} \right)}^{{\lambda _2}\left( {x,y} \right)}\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dz} } \right]dxdy} ,\) где \(R\) − проекция области \(G\) на плоскость \(Oxy\).

Выражение тройного интеграла через повторный интеграл Если область интегрирования \(G\) состоит из множества точек \({\left( {x,y,z} \right)}\), таких что \(a \le x \le b,\;\;{\varphi _1}\left( x \right) \le y \le {\varphi _2}\left( x \right),\;\;{\lambda _1}\left( {x,y} \right) \le z \le {\lambda _2}\left( {x,y} \right),\) то тройной интеграл равен \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {\large\int\limits_{{\varphi _1}\left( x \right)}^{{\varphi _2}\left( x \right)}\normalsize {\left( {{\large\int\limits_{{\lambda _1}\left( {x,y} \right)}^{{\lambda _2}\normalsize}\left( {x,y} \right)} {f\left( {x,y,z} \right)dz} } \right)dy} } \right]dx} \)

Тройной интеграл в параллелепипеде Если \(G\) является параллелепипедом \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {r,s} \right]\), то \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {\large\int\limits_c^d\normalsize {\left( {\large\int\limits_r^s\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dz} } \right)dy} } \right]dx} \)

В частном случае, когда подынтегральная функция \({f\left( {x,y,z} \right)}\) представляет собой произведение \(g\left( x \right)h\left( y \right)k\left( z \right)\), тройной интеграл записывается в виде \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \left( {\large\int\limits_a^b\normalsize {g\left( x \right)dx} } \right)\left( {\large\int\limits_c^d\normalsize {h\left( y \right)dy} } \right)\left( {\large\int\limits_r^s\normalsize {k\left( z \right)dz} } \right)\)

Замена переменных \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iiint\limits_S\normalsize {f\left[ {x\left( {u,v,w} \right),y\left( {u,v,w} \right),z\left( {u,v,w} \right)} \right]\left|\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}\normalsize\right| dxdydz}, \) где \(\left| {\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}}\normalsize \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\large\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial x}}{{\partial w}}\normalsize}\\ {\large\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial w}}\normalsize}\\ {\large\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial z}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial z}}{{\partial w}}\normalsize} \end{array}} \right| \ne 0\) − якобиан преобразования \(\left( {x,y,z} \right) \to \left( {u,v,w} \right)\), а \(S\) является образом области интегрирования \(G\) и вычисляется подстановкой \(x = x\left( {u,v,w} \right)\), \(y = y\left( {u,v,w} \right)\), \(z = z\left( {u,v,w} \right)\) в определение \(G\).

Тройной интеграл в цилиндрических координатах Дифференциал \(dxdydz\) в цилиндрических координатах определяется выражением \(dxdydz = \left|\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta ,z} \right)}}\normalsize\right| drd\theta dz = rdrd\theta dz\)

Пусть область интегрирования \(G\) задана неравенствами \(\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R},\;\;{\lambda _1}\left( {x,y} \right) \le z \le {\lambda _2}\left( {x,y} \right)\), где \(R\) является проекцией области \(G\) на плоскость \(Oxy\). Тогда \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iiint\limits_S\normalsize {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta ,z} \right)rdrd\theta dz} = \large\iint\limits_{R\left( {r,\theta } \right)}\normalsize {\left[ {\large\int\limits_{{\lambda _1}\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)}^{{\lambda _2}\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)}\normalsize {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta ,z} \right)dz} } \right]rdrd\theta } \) Здесь \(S\) представляет собой образ области \(G\) в цилиндрических координатах.

Тройной интеграл в сферических координатах Дифференциал \(dxdydz\) в сферических координатах выражается формулой \(dxdydz = \left| {\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta ,\varphi } \right)}}}\normalsize \right|drd\theta d\varphi = {r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi \)

В сферических координатах тройной интеграл записывается как \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iiint\limits_S\normalsize {f\left( {r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta } \right){r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi },\) где \(S\) является образом области \(G\) в сферических координатах. Угол \(\theta\) изменяется от \(0\) до \(2\pi\), а угол \(\varphi\) − в пределах от \(0\) до \(\pi\).

Объем тела \(V = \large\iiint\limits_G\normalsize {dxdydz} \)

Объем тела в цилиндрических координатах \(V = \large\iiint\limits_{S\left( {r,\theta ,z} \right)}\normalsize {rdrd\theta dz} \)

Объем тела в сферических координатах \(V = \large\iiint\limits_{S\left( {r,\theta ,\varphi } \right)}\normalsize {{r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi } \)

Масса тела \(m = \large\iiint\limits_G\normalsize {\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), где тело занимает область \(G\), а его плотность в точке \({\left( {x,y,z} \right)}\) равна \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\).

Координаты центра масс тела \({x_C} = \large\frac{{{M_{yz}}}}{m}\normalsize\), \({y_C} = \large\frac{{{M_{xz}}}}{m}\normalsize\), \({z_C} = \large\frac{{{M_{xy}}}}{m}\normalsize\), где \({M_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {x\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({M_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {y\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({M_{xy}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {z\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \) − первые моменты относительно координатных плоскостей \(x = 0\), \(y = 0\) и \(z = 0\), а функция \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\) описывает плотность тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей \(Oxy\) (или \(z = 0\)), \(Oyz\) (\(x = 0\)), \(Oxz\)(\(y = 0\)) \({I_{xy}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {{z^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({I_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {{x^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({I_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {{y^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)

Моменты инерции тела относительно координатных осей \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) \({I_x} = {I_{xy}} + {I_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{z^2} + {y^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({I_y} = {I_{xy}} + {I_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{z^2} + {x^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({I_z} = {I_{xz}} + {I_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{y^2} + {x^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)

Полярный момент инерции \({I_0} = {I_{xy}} + {I_{yz}} + {I_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)