Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных членов и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным рядом.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница Признак Лейбница является достаточным условием сходимости знакочередующегося ряда. Пусть \(\left\{ {a_n} \right\} \) представляет собой положительный числовой ряд, такой, что

• \({a_{n + 1}}<{a_n}\) для всех \(n\); • \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).

Тогда знакочередующиеся ряды \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{a_n}} \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{a_n}} \) сходятся.

Оценка остатка знакочередующегося ряда Пусть знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница и его сумма равна \(S\). Обозначим через \({S_n}\) частичную сумму ряда, включающую \(n\) членов. Тогда остаток знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше модуля первого отброшенного слагаемого: \(\left| {S - {S_n}} \right|<\left| {{a_{n + 1}}} \right|\).

Абсолютная сходимость ряда Ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) называется абсолютно сходящимся, если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \), составленный из модулей членов \({a_n}\), также сходится. Если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Условная сходимость ряда Ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \), составленный из модулей членов \({a_n}\), расходится. Другими словами, ряд является условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно.