Определение бесконечного числового ряда Пусть задана числовая последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\). Бесконечным рядом называется сумма вида \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} + \ldots \)

Частичная сумма ряда \({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}\)

Сходимость бесконечного числового ряда Ряд сходится к \(L\), если его частичные суммы \({S_n}\) сходятся к \(L\) при \(n \to \infty \): \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = L\), если \(\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = L\).

Необходимый признак сходимости числового ряда Если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится, то \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\). Обратное утверждение неверно.

Достаточное условие расходимости ряда Если \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\) или данный предел не существует, то числовой ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится.

Линейные свойства сходящихся рядов Пусть даны два сходящихся ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = A\) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} = B\). Тогда справедливы следующие свойства: \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n} + {b_n}} \right)} = A + B\), \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {c{a_n}} = cA\), где \(c\) − действительное число.

Признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\) − такие, что для всех \(n\) выполняется условие \(0<{a_n} \le {b_n}\). Тогда справедливы следующие признаки сравнения: • Если \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\) сходится, то \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) также сходится; • Если \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится, то \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\) также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов Даны два ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\), у которых члены \({a_n}\) и \({b_n}\) положительны для всех \(n\). Тогда справедливы следующие предельные признаки: • Если \(0<\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize<\infty \), то оба ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\) либо сходятся, либо расходятся; • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = 0\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится, если сходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\); • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = \infty\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится, если расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}\).

Обобщенный гармонический ряд Обобщенный гармонический ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}}\normalsize \) сходится при \(p>1\) и расходится при \(0<p \le 1\).

Интегральный признак Коши Предположим, что \(f\left( x \right)\) является непрерывной, положительной и убывающей функцией для всех \(x \ge 1\). Тогда ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {f\left( n \right)} = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( n \right) + \ldots \) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\large\int\limits_1^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} \), и расходится, если \(\large\int\limits_1^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} \to \infty \).

Признак Даламбера Пусть \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) − числовой ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства: • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize<1\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится; • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize>1\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится; • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize = 1\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для исследования сходимости ряда нужно использовать другие признаки.

Радикальный признак Коши Рассмотрим ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) с положительными членами. В соответствии с признаком Коши: • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}<1\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится; • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}>1\), то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится; • Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = 1\), то здесь также, как и в случае признака Даламбера, вопрос о сходимости ряда остается открытым.