Определение бесконечного числового ряда Пусть задана числовая последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$. Бесконечным рядом называется сумма вида $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} + \ldots$

Частичная сумма ряда ${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}$

Сходимость бесконечного числового ряда Ряд сходится к $L$, если его частичные суммы ${S_n}$ сходятся к $L$ при $n \to \infty$: $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = L$, если $\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = L$.

Необходимый признак сходимости числового ряда Если ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ сходится, то $\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0$. Обратное утверждение неверно.

Достаточное условие расходимости ряда Если $\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0$ или данный предел не существует, то числовой ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ расходится.

Линейные свойства сходящихся рядов Пусть даны два сходящихся ряда $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = A$ и $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} = B$. Тогда справедливы следующие свойства: $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n} + {b_n}} \right)} = A + B$, $\sum\limits_{n = 1}^\infty {c{a_n}} = cA$, где $c$ − действительное число.

Признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ и $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ − такие, что для всех $n$ выполняется условие $0<{a_n} \le {b_n}$. Тогда справедливы следующие признаки сравнения: • Если $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ сходится, то $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ также сходится; • Если $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ расходится, то $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов Даны два ряда $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ и $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$, у которых члены ${a_n}$ и ${b_n}$ положительны для всех $n$. Тогда справедливы следующие предельные признаки: • Если $0<\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize<\infty$, то оба ряда $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ и $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$ либо сходятся, либо расходятся; • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = 0$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ сходится, если сходится ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$; • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = \infty$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ расходится, если расходится ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}$.

Обобщенный гармонический ряд Обобщенный гармонический ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}}\normalsize$ сходится при $p>1$ и расходится при $0<p \le 1$.

Интегральный признак Коши Предположим, что $f\left( x \right)$ является непрерывной, положительной и убывающей функцией для всех $x \ge 1$. Тогда ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {f\left( n \right)} = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( n \right) + \ldots$ сходится, если сходится несобственный интеграл $\large\int\limits_1^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx}$, и расходится, если $\large\int\limits_1^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} \to \infty$.

Признак Даламбера Пусть $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ − числовой ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства: • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize<1$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ сходится; • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize>1$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ расходится; • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize = 1$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для исследования сходимости ряда нужно использовать другие признаки.

Радикальный признак Коши Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ с положительными членами. В соответствии с признаком Коши: • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}<1$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ сходится; • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}>1$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}$ расходится; • Если $\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = 1$, то здесь также, как и в случае признака Даламбера, вопрос о сходимости ряда остается открытым.