Числовые последовательности: {an}, {bn}
Первые члены ряда: a1, b1N-ые члены ряда: an, bn
Частичная сумма ряда: Sn
Число членов ряда: n
Сумма бесконечного ряда: L, A, B
Действительное число: c
Непрерывная функция: f(x)
Независимая переменная: x
Определение бесконечного числового ряда
Пусть задана числовая последовательность {an}. Бесконечным рядом называется сумма вида
n=1∑∞an=a1+a2+…+an+…
Частичная сумма рядаSn=i=1∑nai=a1+a2+…+an
Сходимость бесконечного числового ряда
Ряд сходится к L, если его частичные суммы Sn сходятся к L при n→∞:
n=1∑∞an=L, если n→∞limSn=L.
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд n=1∑∞an сходится, то n→∞liman=0.
Обратное утверждение неверно.
Достаточное условие расходимости ряда
Если n→∞liman=0 или данный предел не существует, то
числовой ряд n=1∑∞an расходится.
Линейные свойства сходящихся рядов
Пусть даны два сходящихся ряда n=1∑∞an=A и n=1∑∞bn=B.
Тогда справедливы следующие свойства:
n=1∑∞(an+bn)=A+B, n=1∑∞can=cA,
где c − действительное число.
Признаки сравнения рядов
Пусть даны два ряда n=1∑∞an и n=1∑∞bn − такие, что для
всех n выполняется условие 0<an≤bn. Тогда справедливы следующие признаки сравнения:
•
Если n=1∑∞bn сходится, то n=1∑∞an также сходится;
•
Если n=1∑∞an расходится, то n=1∑∞bn также расходится.
Предельные признаки сравнения рядов
Даны два ряда n=1∑∞an и n=1∑∞bn,
у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
•
Если 0<n→∞limbnan<∞, то оба ряда
n=1∑∞an и n=1∑∞bn
либо сходятся, либо расходятся;
•
Если n→∞limbnan=0, то ряд
n=1∑∞an сходится, если сходится ряд n=1∑∞bn;
•
Если n→∞limbnan=∞, то ряд
n=1∑∞an расходится, если расходится ряд n=1∑∞bn.
Обобщенный гармонический ряд
Обобщенный гармонический ряд n=1∑∞np1 сходится при
p>1 и расходится при 0<p≤1.
Интегральный признак Коши
Предположим, что f(x) является непрерывной, положительной и убывающей функцией для всех
x≥1. Тогда ряд
n=1∑∞f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…
сходится, если сходится несобственный интеграл 1∫∞f(x)dx,
и расходится, если 1∫∞f(x)dx→∞.
Признак Даламбера
Пусть n=1∑∞an − числовой ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:
•
Если n→∞limanan+1<1,
то ряд n=1∑∞an сходится;
•
Если n→∞limanan+1>1,
то ряд n=1∑∞an расходится;
•
Если n→∞limanan+1=1,
то ряд n=1∑∞an может как сходиться, так и расходиться.
В этом случае для исследования сходимости ряда нужно использовать другие признаки.
Радикальный признак Коши
Рассмотрим ряд n=1∑∞an с положительными членами.
В соответствии с признаком Коши:
•
Если n→∞limnan<1, то ряд n=1∑∞an сходится;
•
Если n→∞limnan>1, то ряд n=1∑∞an расходится;
•
Если n→∞limnan=1, то здесь также, как и в случае признака Даламбера, вопрос
о сходимости ряда остается открытым.