Свойства бесконечных рядов
Числовые последовательности: {an}\left\{ {{a_n}} \right\}, {bn}\left\{ {{b_n}} \right\} Первые члены ряда: a1{a_1}, b1{b_1} NN-ые члены ряда: an{a_n}, bn{b_n} Частичная сумма ряда: Sn{S_n} Число членов ряда: nn
Сумма бесконечного ряда: LL, AA, BB Действительное число: cc Непрерывная функция: f(x)f\left( x \right) Независимая переменная: xx
  1. Определение бесконечного числового ряда Пусть задана числовая последовательность {an}\left\{ {{a_n}} \right\}. Бесконечным рядом называется сумма вида n=1an=a1+a2++an+\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} + \ldots

  2. Частичная сумма ряда Sn=i=1nai=a1+a2++an{S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}

  3. Сходимость бесконечного числового ряда Ряд сходится к LL, если его частичные суммы Sn{S_n} сходятся к LL при nn \to \infty : n=1an=L\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = L, если limnSn=L\lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = L.

  4. Необходимый признак сходимости числового ряда Если ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} сходится, то limnan=0\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0. Обратное утверждение неверно.

  5. Достаточное условие расходимости ряда Если limnan0\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0 или данный предел не существует, то числовой ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} расходится.

  6. Линейные свойства сходящихся рядов Пусть даны два сходящихся ряда n=1an=A\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = A и n=1bn=B\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} = B. Тогда справедливы следующие свойства: n=1(an+bn)=A+B\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n} + {b_n}} \right)} = A + B, n=1can=cA\sum\limits_{n = 1}^\infty {c{a_n}} = cA, где cc − действительное число.

  7. Признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} и n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} − такие, что для всех nn выполняется условие 0<anbn0<{a_n} \le {b_n}. Тогда справедливы следующие признаки сравнения: Если n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} сходится, то n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} также сходится; Если n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} расходится, то n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} также расходится.

  8. Предельные признаки сравнения рядов Даны два ряда n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} и n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}, у которых члены an{a_n} и bn{b_n} положительны для всех nn. Тогда справедливы следующие предельные признаки: Если 0<limnanbn<0<\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize<\infty , то оба ряда n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} и n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} либо сходятся, либо расходятся; Если limnanbn=0\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = 0, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} сходится, если сходится ряд n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}; Если limnanbn=\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize = \infty, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} расходится, если расходится ряд n=1bn\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}}.

  9. Обобщенный гармонический ряд Обобщенный гармонический ряд n=11np\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}}\normalsize сходится при p>1p>1 и расходится при 0<p10<p \le 1.

  10. Интегральный признак Коши Предположим, что f(x)f\left( x \right) является непрерывной, положительной и убывающей функцией для всех x1x \ge 1. Тогда ряд n=1f(n)=f(1)+f(2)+f(3)++f(n)+\sum\limits_{n = 1}^\infty {f\left( n \right)} = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( n \right) + \ldots сходится, если сходится несобственный интеграл 1f(x)dx\large\int\limits_1^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} , и расходится, если 1f(x)dx\large\int\limits_1^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} \to \infty .

  11. Признак Даламбера Пусть n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} − числовой ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства: Если limnan+1an<1\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize<1, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} сходится; Если limnan+1an>1\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize>1, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} расходится; Если limnan+1an=1\lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize = 1, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для исследования сходимости ряда нужно использовать другие признаки.

  12. Радикальный признак Коши Рассмотрим ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} с положительными членами. В соответствии с признаком Коши: Если limnann<1\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}<1, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} сходится; Если limnann>1\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}>1, то ряд n=1an\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} расходится; Если limnann=1\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = 1, то здесь также, как и в случае признака Даламбера, вопрос о сходимости ряда остается открытым.