Прямая в пространстве
Координаты точек: \(x\), \(y\), \(z\), \({x_1}\), \({y_1}\), \({z_1}\), \(\ldots\) Действительные числа: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \({A_1}\), \({B_1}\), \(t\), \(a\), \(b\), \(c\), \({a_1}\), \({b_1}\),\(\ldots\) Направляющие векторы прямых: \(\mathbf{s}\), \(\mathbf{s_1}\), \(\mathbf{s_2}\) Направляющие косинусы: \(\cos\alpha\), \(\cos\beta\), \(\cos\gamma\)
Вектор нормали к плоскости: \(\mathbf{n}\) Угол между прямыми: \(\varphi\)

  1. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору \(\large\frac{{x - {x_1}}}{a}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{b}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{c}\normalsize\), где точка \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) принадлежит прямой, а вектор \(\mathbf{s}\left( {a,b,c} \right)\) является направляющим вектором.

    уравнение прямой по точке и направляющему вектору

  2. Уравнение прямой, проходящей через две точки \(\large\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}\normalsize\)

    прямая в пространстве, проходящая через две заданные точки

  3. Уравнение прямой в параметрической форме \( \left\{ \begin{aligned} x &= {x_1} + t\cos\alpha \\ y &= {y_1} + t\cos\beta \\ z &= {z_1} + t\cos\gamma \end{aligned} \right.,\\\) где точка \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) лежит на прямой, \(\cos\alpha\), \(\cos\beta\), \(\cos\gamma\) являются направляющими косинусами вектора, направленного вдоль данной прямой, параметр \(t\) представляет собой любое действительное число.

    параметрическое уравнение прямой в пространстве

  4. Угол между прямыми в пространстве \(\cos \varphi = \large\frac{{{\mathbf{s_1}} \cdot {\mathbf{s_2}}}}{{\left| {{\mathbf{s_1}}} \right| \cdot \left| {{\mathbf{s_2}}} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\normalsize,\) где \({\mathbf{s_1}}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\), \({\mathbf{s_2}}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\) − направляющие векторы данных прямых.

    угол между двумя прямыми в пространстве

  5. Параллельные прямые Две прямые параллельны, если их направляющие векторы \({\mathbf{s_1}}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\) и \({\mathbf{s_2}}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\) коллинеарны: \({\mathbf{s_1}}\parallel {\mathbf{s_2}}\) или \(\large\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}\normalsize = \large\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\normalsize = \large\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\normalsize.\)

  6. Перпендикулярные прямые Две прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов \({\mathbf{s_1}}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\) и \({\mathbf{s_2}}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\) равно нулю: \({\mathbf{s_1}} \cdot {\mathbf{s_2}} = 0\) или \({a_1}{a_2} = {b_1}{b_2} = {c_1}{c_2} = 0.\)

  7. Пересечение двух прямых в пространстве Две прямые \(\large\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\normalsize\) и \(\large\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}}\normalsize = \large\frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}}\normalsize = \large\frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\normalsize\) пересекаются, если выполняется условие \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}} & {{y_2} - {y_1}} & {{z_2} - {z_1}}\\ {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}\\ {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}} \end{array}} \right| = 0.\)

  8. Параллельные прямая и плоскость Прямая и плоскость, заданные, соответственно, уравнениями \(\large\frac{{x - {x_1}}}{{a}}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{{b}}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{{c}}\normalsize\) и \(Ax + By + Cz + D = 0,\) являются параллельными, если \(\mathbf{n} \cdot \mathbf{s} = 0\) или \(Aa + Bb + Cc = 0.\)

    параллельные прямая и плоскость

  9. Перпендикулярные прямая и плоскость Прямая и плоскость, заданные, соответственно, уравнениями \(\large\frac{{x - {x_1}}}{{a}}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{{b}}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{{c}}\normalsize\) и \(Ax + By + Cz + D = 0,\) являются перпендикулярными, если \(\mathbf{n}\parallel \mathbf{s}\) или \(\large\frac{A}{a}\normalsize = \large\frac{B}{b}\normalsize = \large\frac{C}{c}\normalsize.\)

    перпендикулярные прямая и плоскость