Простейшие тригонометрические уравнения
Величины углов (аргументы функций): \(x\), \({x_1}\), \({x_2}\) Множество целых чисел: \(\mathbb{Z}\) Целые числа: \(n\) Действительные числа: \(a\) Тригонометрические функции: \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cot x\) Обратные тригонометрические функции: \(\arcsin a\), \(\arccos a\), \(\arctan a\), \(\text {arccot }a\)

  1. Уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим уравнением.

  2. К простейшим тригонометрически уравнениям относятся уравнения вида \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\tan x = a\), \(\cot x = a\), где \(x\) − неизвестная, \(a\) − любое действительное число.

    Уравнение \(\sin x = a\)

  3. При \(\left| a \right|>1\) уравнение \(\sin x = a\) не имеет решений.

  4. При \(\left| a \right| \le 1\) общее решение уравнения \(\sin x = a\) записывается в виде \(x = {\left( { - 1} \right)^n}\arcsin a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\) Данная формула содержит две ветви решений: \({x_1} = \arcsin a + 2\pi n\), \({x_2} = \pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

    5. решения простейшего тригонометрического уравнения sin x = a

  5. В частном случае \(\sin x = 1\) решение имеет вид \(x = \pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

  6. Аналогично, решение уравнения \(\sin x = -1\) записывается как \(x = -\pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

  7. Случай \(\sin x = 0\) (нули синуса) \(x = \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

    Уравнение \(\cos x = a\)

  8. При \(\left| a \right|>1\) уравнение \(\cos x = a\) решений не имеет.

  9. При \(\left| a \right| \le 1\) общее решение уравнения \(\cos x = a\) записывается в виде \(x = \pm \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\) Данная формула включает два множества решений: \({x_1} = \arccos a + 2\pi n\), \({x_2} = -\arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

    10. решения простейшего тригонометрического уравнения cos x = a

  10. В частном случае \(\cos x = 1\) решение имеет вид \(x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

  11. Случай \(\cos x = -1\) \(x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

  12. Случай \(\cos x = 0\) (нули косинуса) \(x = \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

    Уравнение \(\tan x = a\)

  13. При произвольном значении \(a\) общее решение уравнения \(\tan x = a\) имеет вид \(x = \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

    14. решения простейшего тригонометрического уравнения tan x = a

  14. Случай \(\tan x = 0\) (нули тангенса) \(x = \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

    Уравнение \(\cot x = 0\)

  15. При произвольном значении \(a\) общее решение уравнения \(\cot x = 0\) записывается в виде \(x = \text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

    16. решения простейшего тригонометрического уравнения cot x = a

  16. Случай \(\cot x = 0\) (нули котангенса) \(x = \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)