Пропорция − равенство двух отношений \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

Основное свойство пропорции Произведение крайних членов \(a\) и \(d\) равно произведению средних членов \(b\) и \(c\), т.е. произведения накрест-лежащих членов равны: \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d},\;\;\;\; \normalsize\Rightarrow \;\;ad = bc\)

Обратное соотношение Если \(ad = bc\), то \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

Обращение пропорции Если \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\large\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

Перестановка крайних членов Если \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\large\frac{d}{b} = \frac{c}{a}\)

Перестановка средних членов Если \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\large\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Увеличение пропорции Если \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\large\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)

Уменьшение пропорции Если \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\large\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}\)

Производные пропорции в общем случае Если \(\large\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\large\frac{{ma + nb}}{{pa + qb}} = \frac{{mc + nd}}{{pc + qd}}\;\;\normalsize\left( {{p^2} + {q^2} \ne 0} \right)\)

Свойство равных дробей \(\large\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \ldots = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{{\lambda _1}{a_1} + {\lambda _2}{a_2} + \ldots + {\lambda _n}{a_n}}}{{{\lambda _1}{b_1} + {\lambda _2}{b_2} + \ldots + {\lambda _n}{b_n}}}\), где \({\lambda _1}{b_1} + {\lambda _2}{b_2} + \ldots + {\lambda _n}{b_n} \ne 0\)