Произвольный треугольник
Стороны треугольника: \(a\), \(b\), \(c\) Углы треугольника: \(A = \alpha\) \(B = \beta\), \(C = \gamma\) Высоты к сторонам \(a\), \(b\), \(c\): \({h_a}\), \({h_b}\), \({h_c}\) Медианы к сторонам \(a\), \(b\), \(c\): \({m_a}\), \({m_b}\), \({m_c}\) Биссектрисы углов \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\): \({t_a}\), \({t_b}\), \({t_c}\)
Средняя линия треугольника: \(q\) Радиус описанной окружности: \(R\) Радиус вписанной окружности: \(r\) Полупериметр треугольника: \(p\) Площадь треугольника: \(S\)

  1. Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.

    произвольный треугольник

  2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\)

  3. Неравенство треугольника \(a + b>c\) \(b + c>a\) \(a + c>b\)

  4. \(\left| {a - b} \right|<c\) \(\left| {b - c} \right|<a\) \(\left| {a - c} \right|<b\)

  5. Средняя линия треугольника \(q = a/2,\;\;q\parallel a\)

    средняя линия в треугольнике

  6. Теорема косинусов \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha\) \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \beta \) \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma \)

  7. Теорема синусов \(\large\frac{a}{{\sin \alpha }}\normalsize = \large\frac{b}{{\sin \beta }}\normalsize = \large\frac{c}{{\sin \gamma }}\normalsize = 2R,\) где \(R\) − радиус описанной окружности.

  8. Радиус описанной окружности \(R = \large\frac{a}{{\sin \alpha }}\normalsize = \large\frac{b}{{\sin \beta }}\normalsize = \large\frac{c}{{\sin \gamma }}\normalsize = \large\frac{{bc}}{{2{h_a}}}\normalsize = \large\frac{{ac}}{{2{h_b}}}\normalsize = \large\frac{{ab}}{{2{h_c}}}\normalsize = \large\frac{{abc}}{{4S}}\normalsize\)

  9. Радиус вписанной окружности \({r^2} = \large\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{p}\normalsize,\;\;\large\frac{1}{r}\normalsize = \large\frac{1}{{{h_a}}}\normalsize + \large\frac{1}{{{h_b}}}\normalsize + \large\frac{1}{{{h_c}}}\normalsize\)

  10. Нахождение углов треугольника по известным сторонам \(\sin \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \sqrt {\large\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - c} \right)}}{{bc}}\normalsize} \) \(\cos\large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \sqrt {\large\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}\normalsize} \) \(\tan\large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \sqrt {\large\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p\left( {p - a} \right)}}\normalsize} \)

  11. Нахождение высот треугольника по известным сторонам \({h_a} = \large\frac{2}{a}\normalsize\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) \({h_b} = \large\frac{2}{b}\normalsize\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) \({h_c} = \large\frac{2}{c}\normalsize\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

  12. Нахождение высот треугольника по известной стороне и углу \({h_a} = b\sin \gamma = c\sin \beta \) \({h_b} = a\sin \gamma = c\sin \alpha \) \({h_c} = a\sin \beta = b\sin \alpha \)

  13. Нахождение медиан треугольника по известным сторонам \(m_a^2 = \large\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{{{a^2}}}{4}\normalsize\) \(m_b^2 = \large\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{{{b^2}}}{4}\normalsize\) \(m_c^2 = \large\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{{{c^2}}}{4}\normalsize\)

    точка пересечения медиан в треугольнике

  14. Расстояния от вершин до центра пересечения медиан \(AM = \large\frac{2}{3}\normalsize{m_a}\), \(BM = \large\frac{2}{3}\normalsize{m_b}\), \(CM = \large\frac{2}{3}\normalsize{m_c}\)

  15. Нахождение биссектрис треугольника по известным сторонам \(t_a^2 = \large\frac{{4bcp\left( {p - a} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\normalsize\) \(t_b^2 = \large\frac{{4acp\left( {p - b} \right)}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}}\normalsize\) \(t_c^2 = \large\frac{{4abp\left( {p - c} \right)}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\normalsize\)

  16. Площадь треугольника \(S = \large\frac{{a{h_a}}}{2}\normalsize = \large\frac{{b{h_b}}}{2}\normalsize = \large\frac{{c{h_c}}}{2}\normalsize\) \(S = \large\frac{{ab\sin \gamma }}{2}\normalsize = \large\frac{{ac\sin \beta }}{2}\normalsize = \large\frac{{bc\sin \alpha }}{2}\normalsize\) \(S = pr\) \(S = \large\frac{{abc}}{{4R}}\normalsize\) \(S = 2{R^2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \) \(S = {p^2}\tan\large\frac{\alpha }{2}\normalsize \tan\large\frac{\beta }{2}\normalsize \tan\large\frac{\gamma }{2}\normalsize\)

  17. Формула Герона \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)