Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой (начиная со второго) получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия имеет вид: \({a_1}\), \({a_1} + d\), \({a_1} + 2d\), \({a_1} + 3d, \ldots\; \), где \({a_1}\) − первый член, \(d\) − разность прогрессии.

\(N\)-ый член арифметической прогрессии \({a_n} = {a_{n - 1}} + d = {a_{n - 2}} + 2d = {a_{n - 3}} + 3d = \ldots \)

Формула общего (\(n\)-го) члена арифметической прогрессии \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Арифметическая прогрессия является возрастающей при \(d>0\) и убывающей при \(d<0\). Если \(d = 0\), то последовательность является стационарной.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии Любой член арифметической прогрессии равен полусумме (т.е. среднему арифметическому) равноудаленных от него членов: \({a_i} = \large\frac{{{a_{i - 1}} + {a_{i + 1}}}}{2}\normalsize = \large\frac{{{a_{i - 2}} + {a_{i + 2}}}}{2}\normalsize = \large\frac{{{a_{i - 3}} + {a_{i + 3}}}}{2}\normalsize = \ldots \)

Сумма любых двух членов, равноудаленных от начала и конца арифметической прогрессии, одинакова: \({a_1} + {a_n} = {a_2} + {a_{n - 1}} = \ldots = {a_i} + {a_{n + 1 - i}}\)

Сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии \({S_n} = \large\frac{{{a_1} + {a_n}}}{2}\normalsize \cdot n = \large\frac{{2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2}\normalsize \cdot n\)

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждое из которых (начиная со второго) равно предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия имеет вид: \({b_1}\), \({b_1}q\), \({b_1}{q^2}\), \({b_1}{q^3}, \ldots\;\), где \({b_1}\) − первый член, \(q\) − знаменатель прогрессии.

\(N\)-ый член геометрической прогрессии \({b_n} = {b_{n - 1}}q = {b_{n - 2}}{q^2} = {b_{n - 3}}{q^3} = \ldots \)

Формула общего (\(n\)-го) члена геометрической прогрессии \({b_n} = {b_1}{q^{n - 1}}\)

Геометрическая прогрессия является возрастающей при \(q>1\) и \({b_1}>0\). Соответственно, геометрическая прогрессия является убывающей при \(0<q<1\) и \({b_1}>0\). Если \({b_1}<0\), прогрессия будет знакочередующейся.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии Любой член геометрической прогрессии равен квадратному корню из произведения (т.е. среднему геометрическому) равноудаленных от него членов: \({b_i} = \sqrt {{b_{i - 1}} \cdot {b_{i + 1}}} = \sqrt {{b_{i - 2}} \cdot {b_{i + 2}}} = \sqrt {{b_{i - 3}} \cdot {b_{i + 3}}} = \ldots \)

Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии \({S_n} = \large\frac{{{b_n}q - {b_1}}}{{q - 1}}\normalsize = \large\frac{{{b_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\normalsize\)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(S = \lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = \large\frac{{{b_1}}}{{1 - q}}\normalsize\) Здесь предполагается, что знаменатель прогрессии удовлетворяет условию \(\left| q \right|<1\).