Скорость и ускорение Пусть функция \(s\left( t \right)\) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени \(t\). Тогда первая производная функции \(s\left( t \right)\) является мгновенной скоростью объекта: \(v = s^{\,\prime} = f'{\left( t \right)}\) Вторая производная функции \(s\left( t \right)\) представляет собой мгновенное ускорение объекта: \(w = v^{\,\prime} = s^{\,\prime\prime} = f''{\left( t \right)}\)

Уравнение касательной \(y - {y_0} = f^\prime {\left( {x_0} \right)} {\left( x - {x_0}\right)},\) где \(\left( {x_0},{y_0} \right)\) − координаты точки касания, \(f^\prime {\left( {x_0} \right)}\) − значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке касания.

Уравнение нормали \(y - {y_0} = - \large\frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\normalsize \left( {x - {x_0}} \right),\)

где \(\left( {x_0},{y_0} \right)\) − координаты точки, в которой проведена нормаль, \(f^\prime {\left( {x_0} \right)}\) − значение производной функции \(f\left( x \right)\) в данной точке.

Возрастание и убывание функции Если \(f'\left( {{x_0}} \right)>0\), то функция возрастает в точке \({x_0}\). На рисунке ниже функция является возрастающей при \(x<{x_1}\) и \(x>{x_2}\). Если \(f'\left( {{x_0}} \right)<0\), то функция убывает в точке \({x_0}\) (интервал \({x_1}<x<{x_2}\)). Если \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке \({x_0}\).

Локальные экстремумы функции Функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный максимум в точке \({x_1}\), если существует такая окрестность точки \({x_1}\), что для всех \(x\) из этой окрестности выполняется неравенство \(f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( x \right)\). Аналогично, функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный минимум в точке \({x_2}\), если существует такая окрестность точки \({x_2}\), что для всех \(x\) из этой окрестности выполняется неравенство \(f\left( {{x_2}} \right) \le f\left( x \right)\).

Критические точки Точка \({x_0}\) является критической точкой функции \(f\left( x \right)\), если производная \(f'\left( {x_0} \right)\) в ней равна нулю или не существует.

Первый достаточный признак существования экстремума Если функция \(f\left( x \right)\) возрастает (\(f'\left( x \right)>0\)) для всех \(x\) в некотором интервале \(\left( {a,{x_1}} \right]\) и убывает (\(f'\left( x \right)<0\)) для всех \(x\) в интервале \(\left[ {{x_1},b} \right)\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный максимум в точке \({x_1}\). Аналогично, если функция \(f\left( x \right)\) убывает (\(f'\left( x \right)<0\)) для всех \(x\) из интервала \(\left( {a,{x_2}} \right]\) и возрастает (\(f'\left( x \right)>0\)) для всех \(x\) из интервала \(\left[ {{x_2},b} \right)\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный минимум в точке \({x_2}\).

Второй достаточный признак существования экстремума Если \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) и \(f''\left( {{x_1}} \right)<0\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный максимум в точке \({x_1}\). Если \(f'\left( {{x_2}} \right) = 0\) и \(f''\left( {{x_2}} \right)>0\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный минимум в точке \({x_2}\).

Выпуклость функции Функция \(f\left( x \right)\) является выпуклой вверх (или вогнутой) в точке \({x_0}\), если производная \(f'\left( x \right)\) в этой точке убывает (промежуток \(x<{x_3}\) на приведенном выше рисунке). Аналогично, функция \(f\left( x \right)\) является выпуклой вниз (или просто выпуклой) в точке \({x_0}\), если производная \(f'\left( x \right)\) в этой точке возрастает (промежуток \(x>{x_3}\)).

Достаточные условия выпуклости функции вверх и вниз Если \(f''\left( {{x_0}} \right)>0\), то функция \(f\left( x \right)\) выпукла вниз в точке \({x_0}\). Если \(f''\left( {{x_0}} \right)<0\), то функция \(f\left( x \right)\) выпукла вверх в точке \({x_0}\). Если \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) или производная не существует в точке \({x_0}\), то данный признак не позволяет определить характер выпуклости функции в этой точке.

Точка перегиба Если первая производная \(f'\left( {x_3} \right)\) существует в точке \({x_3}\), а вторая производная \(f''\left( {x_3} \right)\) меняет знак при переходе через \(x = {x_3}\), то точка \(\left( {{x_3},f\left( {{x_3}} \right)} \right)\) называется точкой перегиба графика функции \(f\left( x \right)\). Если вторая производная \(f''\left( {x_3} \right)\) существует в точке перегиба, то она равна нулю: \(f''\left( {x_3} \right) = 0\).

Правило Лопиталя \(\lim\limits_{x \to c} \large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize = \lim\limits_{x \to c} \large\frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}\normalsize,\;\text {если}\;\lim\limits_{x \to c} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to c} g\left( x \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ \infty \end{array}} \right..\)