Признак Даламбера. Радикальный признак Коши

Пусть \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize}<1,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится;

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize}>1,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится;

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\normalsize} = 1,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.

Снова рассмотрим ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) с положительными членами. Согласно признаку Коши:

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{{a_n}}}<1,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) сходится;

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{{a_n}}}>1,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) расходится;

• Если \(\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{{a_n}}} = 1,\) то вопрос о сходимости ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}},\) также как для признака Даламбера, остается открытым.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{3^n}}}{{{n^2}}}\normalsize}.\) Воспользуемся признаком Даламбера. \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{3^n}}}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} \cdot \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {3{{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}^2}} \right] } = {3\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{n + 1 - 1}}{{n + 1}}} \right)^2} } = {3\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right)^2} = 3.} \] Следовательно, данный ряд расходится по признаку Даламбера.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^3}}}{{{{\left( {\ln 3} \right)}^n}}}\normalsize}.\) Применим признак Даламбера. \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}}{{{{\left( {\ln 3} \right)}^{n + 1}}}}}}{{\frac{{{n^3}}}{{{{\left( {\ln 3} \right)}^n}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{{\left( {\ln 3} \right)}^n}}}{{{{\left( {\ln 3} \right)}^{n + 1}}}} \cdot \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}}{{{n^3}}}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{{\ln 3}} \cdot {{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^3}} \right] } = {\frac{1}{{\ln 3}}\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^3} } = {\frac{1}{{\ln 3}} \cdot 1 = \frac{1}{{\ln 3}}.} \] Так как \(\ln 3>\ln e = 1\) и \(\large\frac{1}{{\ln 3}}\normalsize<1,\) то заданный ряд сходится.

Пример 3

Определить, сходится или расходится ряд \[\frac{{{{\left( {1!} \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\left( {2!} \right)}^2}}}{{4!}} + \ldots + \frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n} \right)!}} + \ldots \] В соответствии с признаком Даламбера, вычислим следующий предел: \[\require{cancel} {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{{\left( {\left( {n + 1} \right)!} \right)}^2}}}{{\left( {2\left( {n + 1} \right)} \right)!}}}}{{\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n} \right)!}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{{\left( {\left( {n + 1} \right)!} \right)}^2}}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}} \cdot \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n + 2} \right)!}}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{{\left( {n!\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}} \cdot \frac{\cancel{{\left( {2n} \right)!}}}{{\cancel{\left( {2n} \right)!}\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{\cancel{{\left( {n!} \right)}^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\cancel{{\left( {n!} \right)}^2}}} \cdot \frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{4{n^2} + 2n + 4n + 2}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{4{n^2} + 6n + 2}}.} \] Разделим числитель и знаменатель на \({n^2}:\) \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{{n^2}}}}}{{\frac{{4{n^2} + 6n + 2}}{{{n^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{4}<1.} \] Следовательно, ряд сходится.

Пример 4

Исследовать на сходимость ряд \[\frac{{3 \cdot 1!}}{1} + \frac{{{3^2} \cdot 2!}}{{{2^2}}} + \frac{{{3^3} \cdot 3!}}{{{3^3}}} + \ldots + \frac{{{3^n} \cdot n!}}{{{n^n}}} + \ldots \] Применим признак Даламбера и вычислим соответствующий предел: \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{3^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}}}{{\frac{{{3^n}n!}}{{{n^n}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{3^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{3^n}n!}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{3\cancel{n!}\cancel{\left( {n + 1} \right)}}}{\cancel{n!}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^n}\cancel{\left( {n + 1} \right)}}}} \right] } = {3\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^n}}} } = {3\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^n} } = {\frac{3}{{\lim\limits_{n \to \infty } {{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^n}}} } = {\frac{3}{{\lim\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}}} = \frac{3}{e}.} \] Поскольку отношение \(\large\frac{3}{e}\normalsize\) больше \(1,\) то данный ряд будет расходиться.

Пример 5

Определить, сходится или расходится ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^n}}}{{{2^{3n - 1}}}}\normalsize} .\) Используем радикальный признак Коши. \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{\frac{{{n^n}}}{{{2^{3n - 1}}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{{2^{3 - \large\frac{1}{n}\normalsize}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{{2^3} \cdot {2^{ - \large\frac{1}{n}\normalsize}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{n \cdot {2^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}}}{8} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{n}{8} \cdot \lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{2} } = {\infty \cdot 1 = \infty >1.} \] Как видно, данный ряд расходится.

Пример 6

Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{n}\normalsize} \right)}^n}}.\) Применяя признак Коши, вычислим следующий предел: \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{{{\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{n}} \right)}^n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{n}} \right) } = {\frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}<1.} \] Следовательно, ряд сходится.

Пример 7

Исследовать на сходимость следующий ряд: \[\frac{1}{{{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\ln 3} \right)}^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {\ln 4} \right)}^4}}} + \ldots \] Общий член ряда выражается формулой \({a_n} = \large\frac{1}{{{{\left( {\ln n} \right)}^n}}}\normalsize.\) Применим радиальный признак Коши: \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{{a_n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt[\large n\normalsize]{{\frac{1}{{{{\left( {\ln n} \right)}^n}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}} = 0<1.} \] Поскольку предел меньше \(1,\) то данный ряд сходится.